ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Теория массового обслуживания – специальный раздел теории систем – это раздел теории вероятности, в котором изучаются системы массового обслуживания с помощью математических моделей.
Система массового обслуживания (СМО) - это модель, включающая в себя: 1) случайный поток требований, вызовов или клиентов, нуждающихся в обслуживании; 2) алгоритм осуществления этого обслуживания; 3) каналы (приборы) для обслуживания. Примерами СМО являются кассы, АЗС, аэропорты, продавцы, парикмахеры, врачи, телефонные станции и другие объекты, в которых осуществляется обслуживание тех или иных заявок.
Задача теории массового обслуживания состоит в выработке рекомендаций по рациональному построению СМО и рациональной организации их работы с целью обеспечения высокой эффективности обслуживания при оптимальных затратах. Главная особенность задач данного класса – явная зависимость результатов анализа от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности заказов (а значит и времени их исполнения).
В качестве характеристик СМО рассматриваются: средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему не обслуженными; среднее время «простоя» отдельных каналов и системы в целом; среднее время ожидания в очереди; вероятность того, что поступившая заявка будет немедленно обслужена; закон распределения длины очереди и другие.
Заявки (требования) поступают в СМО случайным образом (в случайные моменты времени), с точками сгущения и разрежения. Время обслуживания каждого требования также является случайным, после чего канал обслуживания освобождается и готов к выполнению следующего требования. Каждая СМО, в зависимости от числа каналов и их производительности, обладает некоторой пропускной способностью. Пропускная способность СМО может быть: абсолютной (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени) относительной (среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных).
Каждую СМО может характеризовать выражением: ( a / b / c ) : ( d / e / f ), где a - распределение входного потока заявок; b - распределение выходного потока заявок; c - конфигурация обслуживающего механизма; d - дисциплина очереди; e – блок ожидания; f - емкость источника.
Входной поток заявок – количество поступивших в систему заявок. Характеризуется интенсивностью входного потока . Выходной поток заявок – количество обслуженных системой заявок. Характеризуется интенсивностью выходного потока . Конфигурация системы подразумевает общее число каналов и узлов обслуживания. СМО может содержать: один канал обслуживания (одна взлетно-посадочная полоса, один продавец); один канал обслуживания, включающий несколько последовательных узлов (столовая, поликлиника, конвейер); несколько однотипных каналов обслуживания, соединенных параллельно (АЗС, справочная служба, вокзал). Таким образом, можно выделить одно- и многоканальные СМО. С другой стороны, если все каналы обслуживания в СМО заняты, то подошедшая заявка может остаться в очереди, а может покинуть систему (например, сбербанк и телефонная станция). В этом случае мы говорим о системах с очередью (ожиданием) и о системах с отказами.
Очередь – это совокупность заявок, поступивших в систему для обслуживания и ожидающих обслуживания. Очередь характеризуется длиной очереди и ее дисциплиной. Дисциплина очереди – это правило обслуживания заявок из очереди. К основным типам очереди можно отнести следующие: ПЕРППО (первым пришел – первым обслуживаешься) – наиболее распространенный тип; ПОСППО (последним пришел – первым обслуживаешься); СОЗ (случайный отбор заявок) – из банка данных. ПР – обслуживание с приоритетом.
Длина очереди может быть неограничена - тогда говорят о системе с чистым ожиданием; равна нулю – тогда говорят о системе с отказами; ограничена по длине (система смешанного типа). Примером СМО с чистым ожиданием можно считать погрузочноразгру зочное депо. В основном же ограничение на длину очереди накладывает размер места для размещения очереди (например, автостоянки или помещения). Блок ожидания – «вместимость» системы - общее число заявок, находящихся в системе (в очереди и на обслуживании). Емкость источника, генерирующего заявки на обслуживание – это максимальное число заявок, которые могут поступить в СМО. Например, в аэропорту емкость источника ограничена количеством всех существующих самолетов, а емкость источника телефонной станции равна количеству жителей Земли, т. е. ее можно считать неограниченной. Количество моделей СМО соответствует числу всевозможных сочетаний этих компонент.
![С каждым отрезком времени [a, a+T ], свяжем случайную величину Х, равную числу](https://present5.com/presentation/26249918_170431629/image-11.jpg "С каждым отрезком времени [a, a+T ], свяжем случайную величину Х, равную числу")
С каждым отрезком времени [a, a+T ], свяжем случайную величину Х, равную числу требований, поступивших в систему за время Т. Поток требований называется стационарным, если закон распределения не зависит от начальной точки промежутка а, а зависит только от длины данного промежутка Т. Например, поток заявок на телефонную станцию в течение суток (Т=24 часа) нельзя считать стационарным, а вот с 13 до 14 часов (Т=60 минут) – можно. Поток называется без последействия, если предыстория потока не влияет на поступления требований в будущем, т. е. требования не зависят друг от друга. Поток называется ординарным, если за очень короткий промежуток времени в систему может поступить не более одного требования. Например, поток в парикмахерскую – ординарный, а в ЗАГС – нет. Но, если в качестве случайной величины Х рассматривать пары заявок, поступающих в ЗАГС, то такой поток будет ординарным (т. е. иногда неординарный поток можно свести к ординарному). Поток называется простейшим, если он стационарный, без последействия и ординарный.
![Основная теорема. Если поток – простейший, то с. в. Х[a. a+T] распределена по](https://present5.com/presentation/26249918_170431629/image-12.jpg "Основная теорема. Если поток – простейший, то с. в. Х[a. a+T] распределена по")
Основная теорема. Если поток – простейший, то с. в. Х[a. a+T] распределена по закону Пуассона, т. е. Следствие 1. Простейший поток также называется пуассоновским. Следствие 2. M(X)=M(Х[ a, a+T ] )= T, т. е. за время Т в систему в среднем поступает T заявок. Следовательно, за одну единицу времени в систему поступает в среднем заявок. Эта величина и называется интенсивностью входного потока.
Задача: В ателье поступает в среднем 3 заявки в день. Считая поток простейшим, найти вероятность того, что в течение двух ближайших дней число заявок будет не менее 5.
условию задачи, =3, Т=2 дня, входной поток пуассоновский, n 5. при решении удобно ввести противоположное событие, состоящее в том, что за время Т поступит меньше 5 заявок. Следовательно, по формуле Пуассона, получим По
ОДНОКАНАЛЬНЫЕ СМО С ОТКАЗАМИ. Будем рассматривать системы, удовлетворяющие требованиям: (Р/Е/1): (–/1/ ). Предположим также, что время обслуживания требования не зависит от количества требований, поступивших в систему. Здесь и далее «Р» означает, что входной поток распределен по закону Пуассона, т. е. простейший, «Е» означает, что выходной поток распределен по экспоненциальному закону. Также здесь и далее основные формулы даются без доказательства.
Вероятность, Вероятность что система свободна: отказа системы: где , коэффициент загрузки системы: - производительность каждого канала (среднее число заявок, обслуживаемых непрерывно занятым каналом в единицу времени); - интенсивность входного потока.
ПРИМЕР. На автомойке один блок для обслуживания. Автомобили прибывают по пуассоновскому распределению с интенсивностью 5 авто/час. Среднее время обслуживания одной машины – 10 минут. Найти вероятность того, что подъехавший автомобиль найдет систему занятой, если СМО работает в стационарном режиме.
По условию задачи, =5, =60 мин/10 мин = 6. Коэффициент загрузки =5/6. Надо найти вероятность р1 – вероятность отказа системы. . Решение.
ОДНОКАНАЛЬНЫЕ СМО С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНОЙ ОЧЕРЕДИ. Будем рассматривать системы, удовлетворяющие требованиям: (Р/Е/1): (d/ / ). За счет неравномерного поступления требований в систему и колебания времени обслуживания, в системе образуется очередь. Для такой системы можно исследовать:
За счет неравномерного поступления требований в систему и колебания времени обслуживания, в системе образуется очередь. Для такой системы можно исследовать: n – количество требований, находящихся в СМО (в очереди и на обслуживании); v – длину очереди; w – время ожидания начала обслуживания; w 0 – общее время нахождения в системе. Нас будут интересовать средние характеристики (т. е. берем математическое ожидание от рассматриваемых случайных величин, и помним, что 1).
- среднее число заявок в системе. - средняя длина очереди. - среднее время ожидания начала обслуживания, т. е. время ожидания в очереди. - среднее время, которое заявка проводит в системе – в очереди и на обслуживании.
ПРИМЕР. На автомойке один блок для обслуживания и есть место для очереди. Автомобили прибывают по пуассоновскому распределению с интенсивностью 5 авто/час. Среднее время обслуживания одной машины – 10 минут. Найти все средние характеристики СМО.
МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СМО С ОТКАЗАМИ. Будем рассматривать системы (Р/Е/s): (-/s/ ) в предположении, что время обслуживания не зависит от входного потока и все линии работают независимо. Исследуя многоканальные СМО, получим следующие формулы (формулы Эрлáнга) для вероятности нахождения системы в состоянии Еk в случайный момент времени: s – количество каналов.
Как и для одноканальных систем, увеличение коэффициента загрузки ведет к увеличению вероятности отказа системы. С другой стороны, увеличение количества линий обслуживания ведет к увеличению вероятности простоя системы или отдельных каналов. Таким образом, необходимо найти оптимальное количество каналов обслуживания данной СМО. Среднее число свободных линий обслуживания можно найти по формуле Введем С(s) – функцию стоимости СМО, зависящую от с1 – стоимости одного отказа (потери за невыполненную заявку) и от с2 – стоимости простоя одной линии за единицу времени. Для поиска оптимального варианта надо найти (и это можно сделать) минимальное значение функции стоимости: С(s) = с1* *ps+с2*
С(s) Сmin sоптим s Поиск минимального значения функции стоимости состоит в том, что мы находим ее значения сначала для s =1, затем для s =2, потом для s =3, и т. д. до тех пор, пока на каком-то шаге значение функции С(s) не станет больше предыдущего. Это и означает, что функция достигла своего минимума и начала расти. Ответом будет то число каналов обслуживания (значение s), для которого функция стоимости минимальна.
ПРИМЕР. Сколько линий обслуживания должна содержать СМО с отказами, если =2 треб/час, =1 треб/час, штраф за каждый отказ составляет 7 тыс. тг. , стоимость простоя одной линии – 2 тыс. тг. в час?
МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СМО С ОЧЕРЕДЬЮ. Будем рассматривать системы (Р/Е/s): (d/d+s/ ) в предположении, что время обслуживания не зависит от входного потока и все линии работают независимо. Будем говорить, что в системе установился стационарный режим работы, если среднее число поступающих требований меньше среднего числа требований, обслуженных на всех линиях системы, т. е. s
Как и одноканальные СМО с ожиданием, многоканальные СМО характеризуются некоторыми характеристиками. Нас интересуют средние значения этих величин. – количество занятых линий обслуживания – число свободных линий, – длина очереди, – время ожидания начала обслуживания, – вероятность ожидания начала обслуживания.
Последняя характеристика позволяет решать задачу об определении оптимального числа каналов обслуживания с таким расчетом, чтобы вероятность ожидания начала обслуживания была меньше заданного числа. Для этого достаточно просчитать вероятность ожидания последовательно при s =1, s =2, s =3 и т. д.
ПРИМЕР. СМО – станция скорой помощи небольшого микрорайона. =3 вызова в час, а = 4 вызова в час для одной бригады. Сколько бригад необходимо иметь на станции, чтобы вероятность ожидания выезда была меньше 0. 01?
Скачать презентацию ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Теория массового обслуживания
prezentatsia_7_SMO.pptx