ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Основные понятия Лекция 3
Основные понятия Теория массового обслуживания (ТМО) – теория, используемая для анализа и синтеза систем обслуживания с учетом вероятностного характера протекающих в них процессов. Предмет ТМО – построение математических моделей, связывающих заданные условия работы системы массового обслуживания (СМО) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок. Задача применения моделей в ТМО – нахождение оптимальных стратегий обслуживания, минимизирующих потери либо максимизирующих доходы. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, лекция 3 2
Основные понятия Система массового обслуживания (СМО) – динамическая система, предназначенная для эффективного обслуживания случайного потока заявок (требований на обслуживание) при ограничениях на ресурсы системы. Совокупность взаимосвязанных СМО называется сетью массового обслуживания (Ст. МО) или стохастической сетью. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, лекция 3 3
МОДЕЛЬ СМО Входящий поток заявок Источник заявок очередь Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, лекция 3 Поток обслуженных заявок Устройство обслуживания Поток отказов 4
Представление службы поддержки ИТ-сервисов в виде Ст. МО Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, лекция 3 5
Основные понятия 1. Источник заявок – первопричина заявок, какова бы ни была ее физическая природа. 2. Входящий поток – последовательность во времени моментов поступления заявок на обслуживание. 3. Очередь. 4. Поток отказов в обслуживании. 5. СМО с отказами (число мест в очереди ограничено, время пребывания заявки в очереди или в СМО ограничено). 6. СМО без отказов – нет ограничений на ресурсы. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, лекция 3 6
Основные понятия 7. Обслуживающая система (устройство): 1. Одноканальная. 2. Многоканальная (полнодоступная или избирательная при многомерном потоке заявок). 8. Дисциплины обслуживания: 1. Бесприоритетные (FIFO, LIFO, случайный порядок) 2. Приоритетные (абсолютные приоритеты, относительные приоритеты). 9. Системы с прерыванием: 1. Повторное обслуживание. 2. Дообслуживание. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, лекция 3 7
Основные понятия 10. Разомкнутые СМО (неограниченное число заявок) – поведение источника заявок никак не связано с состоянием СМО. 11. Замкнутые СМО (ограниченное число заявок) поведение источника заявок является функцией состояния СМО F(S). F(S) Источник заявок СМО Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, лекция 3 8
Потоки требований на обслуживание t = {t 1, t 2, t 3, t 4, t 5, . . . , tn} - поток требований (заявок) на обслуживание; • Поток событий - поток, который описывается совокупностью интервалов времени (τ1= t 1– t 0 , τ2 = t 2 – t 1, …, τi = ti – ti-1, … ) между соседними моментами (событиями); • Интенсивность потока событий λ – среднее число событий в единицу времени. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, лекция 3 9
Свойства потоков событий: • стационарность; • отсутствие последействия; • ординарность (невозможность появления одновременно двух или более требований). Пример: поток клиентов в супермаркете; поток пассажиров в метро и т. д. (t) Tоткр Tзакр Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, лекция 3 t 10
Простейший поток • пуассоновский поток ( t)k F(t) = рk(t) = —— e- t k! - интенсивность; k – уровень дискретности. При k = 1 • экспоненциальное распределение f(t) = e- t (плотность) F(t) = 1 - e- t (Функция распределения) M[ ] = 1/ , D[ ] = 1/ 2 , [ ] = 1/ 11
Свойства простейшего потока. 1. Сумма M независимых стационарных ординарных потоков с интенсивностями i = 1/ i (i=1, . . . , М) сходится к простейшему потоку c = i , (i=1, . . . , М). Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, лекция 3 12
Свойства простейшего потока 2. Поток заявок, полученный путем случайного разрежения исходного потока, когда каждая заявка с определенной вероятностью р удаляется из потока независимо от того, исключены другие заявки или нет, образует также простейший поток с интенсивностью р = p . 3. Поступление заявок через короткие промежутки времени ( < 1/ - p = 0. 63 ) более вероятны, чем через длинные ( > 1/ - p = 0. 37 ). Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, лекция 3 13
4. Интервал времени между произвольным моментом времени и моментом поступления очередной заявки имеет также экспоненциальное распределение - следствие отсутствия последействия. Длительность обслуживания заявок Случайная величина: М[ обсл] ; D[ обсл] ; . Среднее время обслуживания : обсл = 1/. Распределения обслуживания – равномерное, экспоненциальное, эрланговское и гамма-распределение. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, лекция 3 14
Режимы функционирования СМО. Стационарный режим. l(t) l = const t 1 t 2 t t < t 1, t > t 2 – участки нестационарного, переходного режима (t 1, t 2) – СМО находится в стационарном режиме, т. е. в режиме, когда ее характеристики не зависят от времени. Условие существования стационарного режима – загрузка меньше единицы. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, лекция 3 15
Основные характеристики простейших СМО 1) Коэффициент загрузки устройства или канала 2) Время пребывания заявки в системе w - время ожидания заявки в очереди на обслуживание среднее время обслуживания 3) Длина очереди 4) Среднее число заявок в системе Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2008, лекция 3 16
Система обозначений СМО (Нотация Кэндалла) Входной поток / время обслуживания/ число каналов/ емкость накопителя/ число заявок в источнике Входной поток {M, Ek, D, G, …} время обслуживания {M, Ek, D, G, …} число каналов {0, 1, 2, …, N, …} емкость накопителя {0, 1, 2, …, N, …} число заявок в источнике {0, 1, 2, …, N, …} Распределения: M – Марковское (простейший входной поток, экспоненциальное время обслуживания) Ek – Эрланга k – го порядка D – детерминированное (не случайное) G – произвольное (General) Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2008, лекция 3 17
Примеры: 1) М/M/N/0 - СМО с простейшим входным потоком, экспоненциальным временем обслуживания, N – канальная, с накопителем нулевой емкости; 2) Ek/G/2 или Ek/G/2/ - СМО с эрланговским входным потоком, произвольным распределением времени обслуживания, 2 – канальная, с неограниченным накопителем (по умолчанию символ не указывается). Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2008, лекция 3 18
Простейшая СМО с отказами (задача Эрланга) Имеется N каналов (линий связи), на которые поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Время обслуживания – экспоненциальное с интенсивностью μ, т. е. со средним значением υ = 1/ μ. Найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности: 1) Ротк - вероятность отказа; 2) Рпрост – вероятность простоя; Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2008, лекция 3 19
Простейшая СМО с отказами (задача Эрланга) 3) Q – относительную пропускную способность, т. е. вероятность того, что заявка будет обслужена; 4) А – абсолютную пропускную способность, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; 5) R – среднее число занятых каналов. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2008, лекция 3 20
Решение. М/М/N/0 Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов): S 0 – в СМО нет ни одной заявки; S 1 –в СМО находится одна заявка ( занят один канал, остальные свободны); … Sk - в СМО находится k заявок ( занято k каналов, остальные свободны); … Sn - в СМО находится n заявок ( все n каналов заняты). Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2008, лекция 3 21
Граф состояний и переходов СМО: Уравнения Колмогорова в стационарном режиме: λ Р 0 = μ Р 1 (λ+ (N-1)μ) Рn-1 = λ Рn-2 + N μ РN (μ + λ) Р 1 = λ Р 0 + 2μ Р 2 … N μ РN = λ Рn-1 (λ + i μ) Рi = λ Рi-1 + (i +1) μ Рi+1 … Р 0 + Р 1 + … + РN = 1 Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2008, лекция 3 22
Решая методом последовательной подстановки, получаем формулы для финальных вероятностей состояний (Формулы Эрланга): Р 0 = [ 1 + ρ2/ 2! + ρ3/ 3! +… + ρN/ N! ] – 1 Рi = ρi/ i! * [ 1 + ρ2/ 2 + ρ3/ 3! +… + ρN/ N! ] -1 = ρi/ i! * Р 0; где ρ = λ/μ – приведенная интенсивность потока заявок, среднее число заявок, приходящее за время обслуживания одной заявки. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2008, лекция 3 23
Характеристики эффективности: 1) Вероятность отказа (заняты все каналы) Ротк = РN = ρN/ N! * Р 0 2) Вероятность простоя Рпрост = Р 0 = [ 1 + ρ2/ 2! + ρ3/ 3! +… + ρN/ N! ] -1; 3) Относительная пропускная способность: Q = 1 - Pотк = 1 - ρN/ N! * Р 0; • 4) Абсолютная пропускная способность • А = λ *Q = λ (1 - ρN/ N! * Р 0); 5) Среднее число занятых каналов R = 0*Р 0 + 1* Р 1 + … + N*РN = ρ (1 - ρN/ N! * Р 0). Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2008, лекция 3 24
Скачать презентацию ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Основные понятия Лекция 3
Лекция 3 - Теория массового обслуживания .ppt