ТЕОРИЯ МАКРОСИСТЕМ и ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ Проф

ТЕОРИЯ МАКРОСИСТЕМ и ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ Проф. , чл. -корр. РАН Попков Юрий Соломонович popkov@isa. ru

макросистемный мир Биологическая система Физическая система части и целое темп индивидуальное и коллективное микро- и макродинамика молекулы газа пчелы мед макроструктура Экономическая система Транспортная система Преобразование транспортный поток микродвижения цены на товар экономические агенты 2

Содержание курса Введение Математические модели стационарных макросостояний (MCC) • Принципы построения, характеристики, вариационный принцип, условия оптимальности • Параметрические свойства мсс с полным и неполным использованием ресурсов • Вычислительные методы мультипликативного типа, классификация, сходимость • Управление стационарными состояниями, двухуровневая оптимизация, численные методы • Структура, элементы, модели поведения • Примеры: физика, химия, биология, экономика, транспорт ТЕОРИЯ МАКРОСИСТЕМ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ Прикладные задачи • Транспортные потоки • Компьютерная томография • Пространственная демоэкономика Математические модели нестационарных макросостояний(МНС) • Принципы построения динамических моделей • Динамические системы с энтропийным оператором (ДСЭО), численные методы • Оценивание параметров ДСЭО по реальным данным, робастность оценок, • Управление ДСЭО, структуры, методы, алгоритмы 3

Лекция 1 1. 1 Феноменологическое определение макросистемы Система (детерминированное поведение) Элемент (недетермирированное поведение) Макросистема – динамическая система • С большим количеством элементов • Состояние (поведение) элементов – недетерминировано • Состояние (поведение) системы как целого – детерминировано (квазидетерминировано) 1. 2 Модели поведения элементов Стохастическое Поведение элемента, так и совокупности элементов, предполагается случайным и характеризуется терминами теории вероятности и теории случайных процессов Целесообразное Поведение элемента характеризуется максимизацией собственной функции полезности, а их совокупности – максимизацией общей функции полезности Хаотическое Поведение элемента, так и совокупности элементов моделируется траекториями динамического хаоса 4

1. 3 Структура макросистемы Лекция 1 Абстрактная система – преобразователь информации, вещества, энергии, действующих на ее входе , в их аналоги на выходе X система Н Y вход X Преобразование «вход-выход» характеризуется отображением Н выход Н 1 вход U Н 2 состояние Y Декомпозиция отображения Н на отображение «вход-состояние» Н 1 и «состояние-выход» Н 2 выход макросистема X Н 11 вход элемент s 1 G стохастическое состояние G t 1 s 2 s 3 Пространство микроуровня (стохастических состояний G(t)) G(t) Н 12 U Н 2 состояние U 1 U 2 Un Y выход U(t) Распределение элементов по подмножествам U(t) Y=F(Y, U) Траектории макросостояний Дуализм макросистемы моделируется декомпозицией отображения Н 1 на отображение «вход-стохастическое состояние» Н 11 и отобраджение «стохастическое состояние» Н 12 Н 11 : ансамбли траекторий элементов Н 12 : распределения количеств элементов по подмножествам Н 2 : динамика макросостояний 5

Лекция 1 1. 4 Примеры реализации макросистемной модели 1. 4. 1 Магнитные материалы спин домены спин + N-доменов • Взаимодействие доменов слабое • Смена ориентации (спина) случайная Большое количество реализаций детерминированное направление магнитного поля Магнитный материал - система из N частиц каждая из которых имеет спин, равный ± , и магнитный момент µ 0. Такими частицами являются электроны или атомы, имеющие непарный электрон. Наличие у частицы спина означает, что измерение составляющей момента количества движения (относительно выделенного направления в пространстве) может дать только два возможных значения: + или - (где h – постоянная Планка). Система из N частиц со спином похожа на N намагниченных стержней с моментом µ 0 , направленным либо влево, либо вправо. Частицы находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга и взаимодействие между ними мало. Изменение ориентации их магнитных моментов происходит случайным образом и независимо от других частиц. В результате реализации большого количества случайных ориентаций возникает определенное направление магнитного поля. 6

Лекция 1 1. 4. 2 Экономический обмен Регион № 1 Пространственно распределенная потребители экономическая система содержит N регионов, каждый из которых производит товар одного типа, используя товары других регионов. Обмен товарами происходит на Регион № 2 рынке и предполагается, что пара «произодитель-потребитель» образуется на рынке случайно и независимо от других подобных пар. При этом существуют различные Поток 1→ 4 регламентирующие правила, свойственные рыночной экономической системе. Многочисленные реализации указанных товарных обменов приводят к устойчивым товарным Детерминированное межрегиональным потокам распределение товарных Регион № 4 производители Регион № 3 Большое количество реализаций 1 1 4 Поток 1← 4 потоков 2 3 7

Лекция 1 1. 4. 3 Пассажирские транспортные потоки Коммуникационная сеть Транспортная система является одним из важнейших видов Транспортные коммуникаций. Современное решения представление о ней пассажиров складывается из трех компонент: сети, транспортных средств и Время поездки ресурсов. Последние две являются источниками потока в транспортной сети. Коммуникационная сеть определяет топологию связей между местами жительства и местами работы. В пассажирской транспортной системе элементы Большое количество пассажиры обладают значительной «свободой воли» при транспортных решений выборе маршрута поездки. Городская транспортная Детерминированное система позволяет пассажиру выбирать различные распределение маршруты в зависимости от своих предпочтений и транспортных потоков воздействий внешней среды. Индивидуальное решение о выборе пути следования обусловлено набором многих факторов, часто Транспортные потоки недетерминированных. Многочисленная реализация таких индивидуальных выборов порождает распределение потоков в транспортной сети. Поскольку поток есть некоторая интегральная характеристика системы, то в нем недетерминизм проявляется в существенно меньший степени, чем в поведении элемента пассажира. Места жительства Места работы % пассажиров 8

1. 4. 4 Компьютерная томография Лекция 1 Схема томографического исследования Скрытый образ Y l Объект O q(l) F(x, y) – плотность образа Детектор D q(l) - средняя интенсивность в направлении l X Источник S Процесс абсорбирования фотонов Слой в объекте Поток фотонов детектор отражение абсорбирование переход в слой Большое число N 1 N 2 переход в ячейку реализаций … Nm … Детерминированнное распределение поглощения фотонов в объекте N 11 N 12 … … N 1 m N 21 N 22 … … N 2 m … … … Nn 1 Nn 2 … … Nnm F(x, y) Случайные события Исследуемый объект скрыт от прямого визуального наблюдения: пространственная структура кристалла, конфигурация внутренних органов человека, структура звездных скоплений, география месторождений полезных ископаемых и т. д. Томография – один из методов исследования таких объектов. Изображение объекта получают по его проекциям. Источник S излучает поток рентгеновских фотонов в направлении l. Часть излучаемых фотонов отражается от объекта. Но некоторое количество проходит через объект и попадает на детектор D. Для каждого фотона нельзя предсказать что с ним произойдет: будет ли он поглощен в объекте, отразится от его границ, или попадет в детектор. Эти процессы зависят от свойств объекта и энергии фотона. И то и другое непредсказуемо. Удобной моделью этих процессов является стохастическая модель: для каждого значения энергии фотона существует вероятность прохождения объекта, т. е. вероятность попадания его на детектор. Скрытый образ характеризуется функцией плотности F(x, y). Поскольку количество N фотонов пучке большое, то в результате в каждой ячейке объекта сосредотачивается определенное количество фотонов, которое зависит от плотности ячейки объекта. Распределение абсорбированных фотонов трансформируется в изображение - скрытый образ объекта. 9

1. 4. 5 Химическая кинетика Лекция 1 ES P 1 S Химическая реакция А 1 E ES ES P 3 S S E P 2 E А 3 реактор А 2 - молекулы катализатора - молекулы P 1 - молекулы P 2 - молекулы P 3 реактор реакции Е – общий катализатор P 1, P 2, P 3 - продукты химической реакции А 1 А 2 … … Аn N 1 N 2 … Nn Детерминированное размещение молекул катализатора Случайное попадание молекул катализатора в реакции В химическом реакторе происходят реакции, в которых участвуют различные исходные вещества S и общий для все реакция катализатор Е. Молекулы катализатора Е присоединяются к молекулам исходного вещества S. Образованный молекулярный комплекс SE в результате химической реакции превращается в молекулу продукта Р, а молекула катализатора Е освобождается. Если этот продукт конечный, то его молекулы накапливаются в реакторе. Если он промежуточный, то он используется в качестве исходного вещества в других реакциях. Молекулы катализатора случайным образом попадают в соответствующие реакции. В результате реализаций многочисленных событий возникает детерминированное распределение количеств молекул катализатора по реакциям. Это распределение определяет скорость химических реакций в реакторе, и следовательно, скорость получения конечного продукта. 10

Феноменология и вероятностные характеристики макросистем Лекция 2 Множество неразличимых однородных элементов I Множество состояний S • Sj • • • Gi Si Распределение элементов по состояниям 2. 1 Определения Емкость подмножества Подмножества близких, различимых состояний D Состояния элементов F Фермисостояния Один или ноль элементов P Парасостояния E Эйнштейнсостояния s< ∞ элементов B Больцмансостояния Подмножество Si В среднем мало элементов в Si Состояния систем Микросостояние (N) S 1 S 2 3 й 10 й элемент … Макросостояние (N) Sm 1027 й элемент Список пронумерованных элементов S 1 S 2 N 1 N 2 … Sm Nm Распределения количеств элементов Однородная макросистема содержит Y неразличимых элементов со стохастическим поведением, которые могут оккупировать случайно и независимо друг от друга состояния в множестве состояний S, состоящем из m непересекающихся (различимых) подмножеств S 1, …, Sm. Состояния в указанных подмножествах предполагаются «близкими» по какому-то показателю. Важной характеристикой подмножеств являются их емкости G 1, …, Gm, измеряемые количеством элементов, которые могут разместиться в каждой из них. Состояния элементов могут быть следующих четырех типов: ферми-состояния, когда в состоянии может быть только 1 и 0 элементов (F-макросистема); парасостояния, когда в состоянии может быть фиксированное количество s элементов (P-макросистема); эйнштейн- состояния, когда емкость состояния неограничена (Eмакросистема); больцман-состояния, когда «в среднем» содержит малое количество элементов в состояние Si (Bмакросистема). Состояние макросистемы: МИКРОСОСТОЯНИЕ – размещение помеченных элементов (различных) по подмножествам G 1, …, Gm; МАКРОСОСТОЯНИЕ – распределение количеств элементов по подмножествам S 1, …, Sm. Одному макросостонию может соответствовать неединственное микросостояние. Количество микросостояний, соответствующих макросостоянию называется статистическим весом Z последнего. Ансамбль макросостояний характеризуется функцией распределения вероятностей P(N); функцией энтропии H(N), или функционалом энтропии Н[P(N)]. Множество возможных макросостояний N. 12

2. 2 Распределение вероятностей макросостояний Лекция 2 a 1 1 -a 1 Подмножество состояний N 1 S 1 Элемент № 1 S 2 am 1 -am Sm a 1 1 -a 1 N 2 Элемент № 2 am 1 -am Nm Структура функций распределения вероятностей макросостояний (ФРВ-S) - независимость - полный ансамбль событий Распределение элементов по подмножествам характеризуется априорными вероятностями ai попасть в состояние из подмножества Si и (1 - ai) – не попасть в состояние из подмножества Si. Вероятности а 1, …, am есть характеристики пустых подмножеств. Элементы распределяются по состояниям Si независимо друг для друга, и подмножества не пересекаются. Функция распределения макросостоями макросистемы (ФРВ-S) имеет мультипликативную структуру, в которой компонентами являются функии распределения вероятностей компонент макросостония (ФРВ- Si) для подмножеств Si. Структура ФРВ-Si x Zi(Ni, Gi, si ) x Ψi(Ni, Gi, si ) 13

2. 3 Энтропия Лекция 2 Термодинамическая энтропия Статистическая энтропия Р. Клаузиус в 1865 г. : ∆Q – приращение количества тепла Т – абсолютная температура Л. Больцман в 1877 г. установил связь энтропии с вероятностью макросостояния. Формула Планка: ∆ Q, T k - постоянная Больцмана Энтропийное измерение неопределенности Статистический вес рассматривают как меру беспорядка, атрибутом которого является большое количество возможных состояний информации Информация – величина противоположная по знаку энтропии. Если информация растет, то энтропия уменьшается, т. е. степень беспорядка уменьшается мотивации Коллективное поведение элементов со свободной воли (людей) приводит к пространственной структуре, которая имеет максимальную вероятность (энтропию) 14

2. 4 Функции распределения вероятностей и энтропии макросостояний Лекция 2 a 1 S 1, N 1 a 2 am (1 -a 1) S 2, N 2 (1 -a 2) Sm, Nm (1 -am) макросостояния «микросостояния» Для каждого подмножества Si с емкостью Gisi существует априорная вероятность ai того, что элемент окажется в Si и априорная вероятность (1 -ai) того, что элемент не окажется в Si. Вероятность (априорная) того, что в подмножестве Si содержащем Gi si состояний, Ni состояний будет занято и (Gisi -Ni) состояний будет свободно, равна Вероятность микросостояния Z 1 2 3 4 5 1 6 2 7 3 8 4 1, 3, 8 где ФРВ для неравных априорных вероятностей 3, 5, 7 1, 2, 6 5 6 7 8 Количество «микросостояний» Z 1 для «макросостояния» N 1=3 колическво микросостояний (или число способов), реализующих макросостония N ФРВ для равных априорных вероятностей 15

2. 4. 1 Функция распределения вероятности Лекция 2 Количество способов заполнения Ni элементами F-состояний (si=1) в подмножестве Si (или количество Zi(Ni, Gi, 1) микросостояний) определяется числом сочетаний из Gi по Ni: F - состояния 1 0 Вероятность микросостония, в котором Ni элементов окажутся в Si и Gi. Ni – вне Si равна Согласно общей структуре ФНС-Si (слайд 13) ФРВ-Fi имеет вид: Pi Полученная функция распределения вероятностей представляет классическое распределение (Бернули), определяемое двумя параметрами Gi и ai, и где бернули Ni Pi - оператор математического ожидания. Асимптотика ФРВ-Fi Нормальное распределение (Gi→∞, Giai→∞) Пауссоновское распределение (Gi→∞, Giai→λ) Гаусс Ni Pi ФРВ-F - макросистемы λ Пуассон Ni 16

2. 4. 2 Энтропия F-макросистемы Лекция 2 Статистическая энтропия (слайд 14) F - состояния 1 0 Аппроксимация Стирлинга для больших чисел x. HF(N) Обобщенная (для неравных априорных вероятностей) информационная энтропия Ферми-Дирака Область определения (возможных макросостояний) G 1 G 2 N 1 Абсолютный максимум N 0 Множество возможных макросостояний NF Абсолютный максимум 17

Лекция 2 E-состояние 2. 4. 3 Функция распределения вероятностей для Е-макроситемы Количество микросостояний, реализующих макросостояние Ni, эквивалентно размещению Ni элементов во вспомогательном подмножестве Si с F-состояниями и емкостью Ri=Ni+Gi-1 равно любое число элементов Вероятность микросостояния, в котором Ni элементов окажутся в Si и (Ri. Ni) окажутся вне Si равна Модель Ландау Ni=11 шаров, размещенных в Gi=5 ящиках 4=Gi-1 Общее количество мест равно 16=Ni+Gi-1=Ri 1 0 1 0 Ri Согласно общей структуре ФРВ-Si (слайд 13) ФРП-Еi имеет вид: Полученная функция является классическим распределением Паскаля с двумя параметрами Gi, ai, и ФРП-Е макросистемы фермисостояния 18

2. 4. 4 Энтропия Е-макросостояния Лекция 2 Статистическая энтропия (слайд 14) E- состояния 1 0 Аппроксимация Стирлинга. Обобщенная информационная энтропия Бозе-Эйнштейна HЕ(N) Область определения (возможных макросостояний) G 1 G 2 N 1 Множество возможных макросостояний NЕ Абсолютный максимум N 0 Абсолютный максимум 19

2. 4. 5 Функция распределения вероятностей для P-макросистемы Лекция 2 Вспомогательная макросистема с F-состояниями и емкостью si. Gi подмножеств Si (i=1, m). Количество микросостояний для вспомогательного подмножества Si во вспомогательной F-макросистеме, реализующих макросостояние Ni. P - состояние s< ∞ элементов Вероятность микросостояния в котором Ni элементов окажутся в Si и (si. Gi Ni) элементов – вне Si равна Согласно общей структуре ФРВ-Si (слайд 13) ФРВ-Pi имеет вид: Pi Асимптотика ФРВ-Pi: • нормальное распределение (si. Gi →∞, si. Gi ai→∞) Ni • пауссоновское распределение(si. Gi →∞, si. Gi ai→λ) Pi ФРВ-P имеет вид: λ Ni 20

2. 4. 6 Энтропия P-макросистемы Лекция 2 Статистическая энтропия (слайд № 14) P - состояние s< ∞ элементов Аппроксимация Стирлинга Hp(N) Обобщенная информационная Р-энтропия n Область определения(возможных макросостояний) G 1 G 2 s 2 G 2 s 1 G 1 N 2 N 1 Множество возможных макросостояний NP Абсолютный максимум N 0 Абсолютный максимум 21

2. 4. 7 Функция распределения вероятностей для В-макросистемы Лекция 2 Для В-макросистем Ni<

Лекция 3 априорные вероятности ai Вероятностные характеристики парамакросистем с неоднородными элементами и состояниями Распределение элементов по состояниям 3. 1 Классификация Подмножество Si парасостояний с емкостью Si Ø неразличимых (I) Øразличимых (D) De. Ds – различимые элементы (е) и события (s) De. Is – различимые элементы, неразличимые состояния Ie. Ds – неразличимые элементы, различимые состояния Ie. Is – неразличимые элементы и состояния (s) Множество элементов Ø различимых (D) Øнеразличимых (I) Пример Распределение специалистов (элементы) по вакансиям (состояния) на рынке труда De. Ds Ie. Ds Специалисты имеют различные профессии, вакансии, имеют различную заработную плату Специалисты примерно одинаковый уровень квалификации, вакансии с разной з/п De. Is Специалисты имеют различные профессии, вакансии, с одинаковой з/п Ie. Is Специалисты имеют примерно одинаковый уровень квалификации, вакансии с одинаковой з/п Зал с компьютерами Метал. цех Автоконвейер 23

3. 2 ФРВ макросостояний (слайд 15) Лекция 3 1, 2, 10, 22 Макросостояния Ni=4 3, 4, 5, 6 Ni 43, 46, 50, 51 микросостояния Zi(4) Zi(Ni) – количество микросостояний, порождающих компоненту макросостояния Ni Распределение элементов реализуется в два этапа: по подмножествам Zi(1)(Ni); по состояниям Zi(2)(Ni) . Поэтому Zi(Ni)= Zi(1)(Ni) • Zi(2)(Ni) Для подсчета Zi(Ni) используется метод производящих функций (см. Дж. Риордан «Введение в комбинаторный анализ» , М. Изд. иностранной литературы, 1965 г. ) 3. 2. 1 Метод производящий функций Обычная производящая функция для последовательности a 0, a 1, a 2, … Экспоненциальная производящая функция для последовательности a 0, a 1, a 2, … Общая производящая функция для последовательности a 0, a 1, a 2, … обычная экспоненциальная t – абстрактная переменная, предназначенная для осуществления различных преобразований Производящие функции для непрерывных переменных a(s), 0≤s<∞ t - действительная переменная p - комплексная переменная (преобразование Лапласа) t - действительная переменная 24

Лекция 3 элементы 1 различимы состояния различимы ai 3. 3 Вероятностные характеристики De. Ds-парамакросистем Первый этап S 2 способов размещения Y различных элементов по подмножествам S 1, …, Sm с числами заполнения N 1, …, Nm (количество {N 1}-, {N 2}-, …{Nm} перестановок): S 1 Y Функция Z(1)(N) (слайд 24) определяет количество Sm Второй этап Распределение по подмножествам Z(1)(Ni) Функция WDD(Ni, Gi, Si) определяет количество способов размещения различных Ni элементов по Gi различным состояниям с емкостью Si. В силу независимости состояний ai 2 si si Состояния в подмножестве Si Экспоненциальная производящая функция (для перестановок) Распределение по подмножествам Z(2)(Ni) Пример. Ni 1 2 3 4 5 6 7 WDD(Ni, 7, 2) 7 49 336 2226 14070 83790 463680 Ni 8 9 10 11 12 13 14 WDD(Ni, 7, 2) 2346120 10636920 42071400 13970880 366735600 681080400 25

Лекция 3 3. 3. 1 ФРВ-De. Ds-парамакросистемы с неравными априорными вероятностями De. Ds -ферми (F)-макросистема F - состояния 1 0 E-состояние De. Ds – эйнштейн(Е)-макросистема эквивалентны Поскольку элементы и состояния различны, то распределения Ni элементов любое число по Gi состояниями есть перестановка с элементов неограниченным возвращением. Емкость состояния не ограничена; каждый элемент после удаления из состояния может быть заменен другим. Каждое место в перестановке может быть заполнено Gi путями. Количество таких перестановок 26

Лекция № 3 3. 3. 2 Энтропия De. Ds-парамакросистемы с неравными априорными вероятностями Статистическая энтропия Обобщенная информационная энтропия F - состояния 1 0 De. Ds -ферми (F)-макросистема Согласно определению PF(N) (слайд 26) и применяя аппроксимацию Стирлинга обобщенная информационная энтропия Ферми. Стирлинга E-состояние любое число элементов De. Ds – эйнштейн(Е)-макросистема Согласно определению PF(N) (слайд 26) и применяя аппроскимацию Стирлинга обобщенная информационная энтропия Бозе. Эйнштейна 27

3. 4 Вероятностные характеристики Ie. Ds-парамекросистем Лекция 3 состояния неразличимы si. Gi ai s 1 G 1 Состояния различимы s 2 G 2 Вектор состояния Nij – количество элементов в jсостоянии, подмножества Ni Вектор макросостояния Количество микросостояний, порождающих макросостояния Ni - число размещений Ni неразличимых элементов по Gi различным состояниям с емкостью Si Обычная производящая функция WID Ni 1 2 3 4 5 6 7 WID(Ni, 7, 2) 7 28 77 161 266 357 393 Ni 8 9 10 11 12 13 14 WID(Ni, 7, 2) 357 266 161 77 28 7 1 Ni 28

Лекция 3 Ie. Ds -ферми (F)-макросистема 3. 4. 1 ФРВ-Ie. Ds-парамакросистемы E-состояние Ie. Ds – эйнштейн(Е)-макросистема F - состояния 1 0 любое число элементов 29

Лекция 3 3. 4. 2 Энтропия Ie. Ds-парамакросистемы с неравными априорными вероятностями Статическая энтропия Обобщенная информационная энтропия F - состояния 1 Is. De -ферми (F)-макросистема E-состояние Is. De – эйнштейн(Е)-макросистема 0 любое число элементов 30

3. 5 Вероятностные характеристики De. Is-парамакросостояний Лекция 3 Элементы различимы ai si Gi s 1 G 1 Состояния неразличимы De. Is – микросостояния есть классы эквивалентно силе в множестве De. Ds-микросостояний. Эквивалентными считаются те микросостояния, которые можно перевести одно в другое путем перестановок состояний внутри Si. - число размещений Ni различных элементов по Gi неразличимым состояниям с емкостью . s 2 G 2 Квази-экспоненчиальная производящая функция WID Пример. Ni 1 2 3 4 5 6 7 WID(Ni, 7, 2) 1 2 4 10 26 76 232 Ni 8 9 10 11 12 13 14 WID(Ni, 7, 2) 763 2583 8820 27720 72765 135135 Ni 31

Лекция 3 F - состояния 1 3. 5. 1 ФРВ – De. Is - парамакросистемы Is. De -ферми (F)-макросистема E-состояние Is. De –эйнштейн(Е)-макросистема 0 любое число элементов Числа Стирлинга 32

3. 5. 2 Энтропия De. Is-парамакросистемы Лекция 3 Статическая энтропия Обобщенная информационная энтропия F - состояния 1 Is. De -ферми (F)-макросистема E-состояние Is. De – эйнштейн(Е)-макросистема 0 любое число элементов F F E E 33

3. 6 Вероятностые характеристики Ie. Is-парамакросистем Лекция 3 Элементы неразличимы ai s 1 G 1 Состояния неразличимы si Gi Ie. ID – микросостояния есть классы эквивалентности в множестве Ie. Ds -микросостояний. Эквивалентными являются Ie. Ds-микросостояния, которые можно перевести одно в другое путем перестановок внутри Si. - число разбиений числа Ni. Разбиением числа Ni называется представление в виде суммы неупорядоченного набора целых чисел mj(i). s 2 G 2 Обычная производящая функция Пример. Wi Ni 1 2 3 4 5 6 7 WID(Ni, 7, 2) 1 2 2 3 3 4 4 Ni 8 9 10 11 12 13 14 WID(Ni, 7, 2) 4 3 3 2 2 1 1 Ni 34

3. 6. 1 ФРВ и энтропия – Ie. Is-парамакросистемы Лекция 3 ФРВ Статистическая энтропия Ie. Is-ферми (F)-макросистема si=1 ai - различимые ai=a F F Макросостояния равновероятны PFII N 1 N 2 Макросостояния неравновероятные PFII N 1 N 2 35

Лекция 3 3. 7 Пример: распределения пассажиров в трамвае a 2 a 1 am m - вагонов Q – мест 1 го типа R-Q – мест 2 го типа R – пассажиров ( «сидячих» ) ( «стоячих» ) го и 2 го типов различаются по положению в вагоне места 1 ai – априорная вероятность выбора пассажирами вагона I (1 -ai) - априорная вероятность невыбора пассажирами вагона I различимые D пассажиры неразличимые I различимые D Места в вагоне Пара-макросистемная модель m 1 2 1 2 Q Q Q S 1 S 1 1 m=2, G 1=G 2=G=2, s 1=s 2=s=Q=3, R=6, R-Q=3, a 1=0, 4, a 2=0, 8 Ψ(a 1)=0, 67, ψ(a 2)=4 Неравные априорные вероятности 2 m=2, G 1=G 2=G=2, s 1=s 2=s=Q=3, R=6, R-Q=3, a 1=a 2 Подмножество Si содержит Gi=2 типа состояний, каждое из которых имеет емкость si=Q Равные априорные вероятности 36

Лекция 3 3. 7. 1 DD-парамакросистемная модель пассажиры различны и места в вагоне различимы 1 Неравные априорные вероятности 2 Равные априорные вероятности Производящая функция 37

Лекция 3 1 3. 7. 2 ID-парамакросистемная модель Неравные априорные вероятности 2 Равные априорные вероятности Производящая функция 38

Лекция 4 Модели стационарных состояний (МСС) 4. 1 Обобщенный вариационный принцип По опредлению Р. Клаузиуса (1865 г. ) стационарным считается состояние системы, в котором термодинамическая энтропия максимальна. Эволюция системы сопровождается монотонным ростом термодинамической энтропии, вплоть до достижения максимума. Аналогичное определение было введено Л. Больцманом (1887 г. ), используя понятие статистической энтропии: стационарное состояние соответствует максимуму статистической энтропии или максимуму верятности. Обоснование физической природы, статистических закономерностей, анализ математических проблем протекающих при этом процессов остаются незавершенными (см. Ландау, Лифшиц 1964, Пригожин 1985, Климонтович 1995). Принцип максимизации энтропии или принцип наиболее вероятного макросостояния порождает процедуру вычисления стационарного макросостояния. Первый ее этап состоит в рассмотрении абстрактной макросистемы, в которой случайный механизм распределения элементов по состояниям происходит в условиях неограниченных ресурсов. Определяется вид функции распределения вероятностей и энтропии на множестве возможных макросостояний. На втором этапе рассматриваются ресурсные ограничения, которые выделяют в множестве возможных состояний подмножество макросостояний, для которых расход ресурсов согласован с их предельным количеством. Количество элементов в макросистеме велико, вклад каждого мал, поэтому ограничесния на «средние» ресурсы оказывают малое влияние на стохастические свойства распределительного механизма. Обобщенный вариационный принцип: стационарное состояние макросистемы соответствует максимуму статистической энтропии на допустимом (ресурсном) множестве. 39

Лекция 4 4. 2 Множество допустимых макросотояний Множество возможных макросостояний N F-макросистема Ресурсные множества D Характеристики: функции потребления ресурсов φ1(N), …, φr(N); запасы ресурсов q 1…. qr Макросистемы с • полным расходованием ресурсов P-макросистема • неполным расходованием ресурсов E-макросистема • смешанным расходованием ресурсов B-макросистема Множество допустимых макросостояний 40

Лекция 4 F-МСС 4. 3 Математические модели стационарных состояний (МСС) P-МСС E-МСС B-МСС Допустимые множества Полное расходование ресурсов Неполное расходование ресурсов Линейные функции потребления Смешанное расходование ресурсов Линейные функции потребления 41

4. 4 Редукция МСС Лекция 4 4. 4. 1 Граничные свойства энтропийных функций Множество возможных макросостояний N N=0 N=G N 2 G 1 F-МСС Направление Производная по направлению в точке HF N 1 Направление Производная по направлению в точке HF HF dα N 1 G 1 N 1 42

Лекция 4 4. 4. 2 Граничные свойства энтропийных функций Р-МСС = F-МСС с емкостью подмножеств si. Gi, E-ММС В-ММС Направление Производная по направлению в точке HE dα Производная по направлению в точке HB dα HE N 1 HB N 1 43

4. 4. 3 Редуцированные МСС Лекция 4 Лемма 1. 1 Пусть ресурсное множество D обладает следующими свойствами : а) б) D не есть множество изолированных точек Тогда решения для: F, P-МСС удовлетворяют условию E, B-МСС удовлетворяют условию Лемма 1. 2 Пусть выполняются условия Леммы 4. 1 и допустимое множество Тогда редуцированные МСС имеют вид: F-МСС P-МСС или E-МСС B-МСС или 44

Экстремальные свойства МСС Лекция 5 5. 1 Условия оптимальности МСС Функция Лагранжа МСС Теорема(Куна-Такера) Пусть N* - точка локального максимума для МСС, функции и - непрерывно дифференциальные в окрестности N*, градиенты - линейно независимы. Тогда векторы и такие, что где F-MMC P-MMC E-MMC B-MMC 45

Лекция 5 F-MСC 5. 2 Линейные функции потребления и полное расходование ресурсов P-MСC E-MСC B-MСC Функция Лагранжа Условия стационарности L: Прямые переменные Действенные переменные 46

Лекция 5 5. 3 «Острота» условного максимума энтропии Оценки абсолютных флуктуаций d d 2 T – матрица (rxm) q – вектор (r) Smax a d 1 Условие оптимальности b Smin Лемма. Пусть матрица Т имеет полный ранг и H(N) – строго вогнутая. Тогда матрица положительно определена. Определение dmin, dmax Ортогональное преобразование собственные числа Теорема Гешторина Вогнутость функции H(N) «Острота» (F-, P-, E-, B-MCC) Энтропийное условие 47

Лекция 6 Параметрические свойства МСС Физические параметры А) Случайного распределенного механизма a – априорные вероятности G – емкости подмножества s – емкости состояний количество 2 m Б) Потребления и расходования ресурсов t – параметры функции Ф q – запасы ресурсов Реализуемое макросостояние Внешние параметры количество (m+1)r МСС описывается задачами на условный экстремум или математического программирования с соответствующим набором физических параметров, характеризующих случайный распределенный механизм и потребление и расходование ресурсов. В первую группу входят априорные веростности а 1…. аm; емкости подмножеств G 1, …, Gm и состояний s 1, …, sm. Во вторую группу входят параметры функций потребления ресурсов tk=(tk 1…tkm), (k=1, m) и запасов ресурсов q 1, …, qr. Реализуемое макросостоние N* является функцией всех указанных параметров. Под параметрическими свойствами МСС имеются в виду свойства функции N(a, G, s, t, q) как функции параметров МСС. Размерность вектора параметров равна M=m(2+r)+r. Допустим, что существует набор внешних параметров x 1, …, xp, где p<

Лекция 6 6. 1 Качественный анализ параметрических свойств МСС а) ММС с полным использованием ресурсов Ф(N, x)=q б) ММС с неполным использованием ресурсов Ф(N, x)≤q Условия оптимальности Пусть существует и , для которых выполняются условия оптимальности. Что может происходить в окрестности Неявные функции N 2 Пусть существует N 2 A B Окресность x 0: Допустипое множество невыпуклое Неявные функции N S x 0 N 1 Линии уровня N 1 x 1 N 1 H N N 2 F X β B x 0 x N x 0 x Допустипое множество невыпуклое N 1 x 0 x 49

Справочный материал к лекции 6 6. 2 Теоремы о неявных функциях Приведем список теорем, характеризующих свойства неявных функций. Доказательства можно найти в указанных ниже ссылках. Рассмотрим уравнение А и матрицу В этом уравнении z – вектор переменных, х – вектор параметров. I. Локальные свойства. Полагаем что существует точка (z 0, x 0), в которой W(z 0, x 0)=0 и J(z 0, x 0) существует, непрерывна и . Обозначим: 1. Существование, единственность, непрерывность. Теорема 1. [1] Пусть выполнены условия: а). для и б). в). Функция непрерывна в точке х 0. 51

Справочный материал к лекции 6 6. 2 Теоремы о неявных функциях Приведем список теорем, характеризующих свойства неявных функций. Доказательства можно найти в указанных ниже ссылках. Рассмотрим уравнение А и матрицу В этом уравнении z – вектор переменных, х – вектор параметров. I. Локальные свойства Полагаем, что существует точка (z 0, x 0), в которой W()=0 и J(z 0, x 0) существует, непрерывна Обозначим: 1. Существование, единственность, непрерывность. Теорема 1. [1] Пусть выполнены условия: а) для б) в) функция W(z 0, x 0) непрерывна в точке x 0. Тогда существуют ε ≤ β и η ≤ ρ такие, что при уравнение А имеет в шаре S(z 0, η) единственное z(x), причем 2. Дифференцируемость. Теорема 2. [2] Пусть выполнены условия теоремы 1 и функция W (z, x) имеет в шаре S(z 0, ρ)x. S(z 0, β) производные до порядка q, причем . Тогда неявная функция z(x) имеет в S(z 0, β) производные до порядка q. II. Глобальные свойства. Вектор параметров , т. е. его компоненты-параметры могут принимать любые значения в R ρ. Теорема 3. [2] Пусть функция W(z, x) непрерывна по совокупности переменных и для любого выполняются следующие условия: а). б). в). Тогда существует неявная функция z(x), определенная на Rm. Теорема 4. [2] Пусть выполнены условия теоремы 3 и в каждой точке z(x, x), где функция W(z, x) имеет производные до порядка q по обоим аргументам. Тогда неявная функция z(x) имеет производные до порядка q. Список литературы [1] Красносельский М. А. и др. Приближенные решения нелинейных операторных уравнений М. Наука, 1969 [2] Попков Ю. С. Теория макросистем. М. УРСС, 1999 51

Лекция 6 6. 3. Параметрические свойства В-МСС с полным использованием и линейным потреблением ресурсов Теорема 1. Пусть функции непрерывные и матрица Т имеет полный ранг r для всех . Тогда уравнение определяет единственную неявную функцию и, следовательно . Теорема 2. Пусть функции - Условия оптимальности аналитические в Х. Тогда неявная функция - аналитическая. Параметрическая чувствительность Квадратичная форма Пример: r=1, p=1 52

Лекция 6 6. 4 Параметрические свойства F-МСС с полным использованием и линейным потреблением ресурсов Теорема 3. Пусть функции непрерывные и матрица Т имеет полный ранг r для всех . Тогда уравнение определяет единственную неявную функцию и, следовательно . Условия оптимальности Теорема 4. Пусть функции - аналитические в Х. Тогда неявная функция - аналитическая. Квадратичная форма 53

6. 5 Параметрические свойства МСС с неполным использованием ресурсов Лекция 6 Изучение параметрических свойств МСС с неполным использованием ресурсов опирается на результаты теории возмущенных задач математического программирования. В общем случае математическая модель МСС указанного класса характеризует отображение множества параметров Х на множество реализуемых макросостонияй N. Это отображение может быть точно- множественным или точечноточечным. В первом случае каждому вестору параметров соответствует ограниченное множество реализуемых макросостояний N(х). Во втором – каждому вектору х соответствует единственный вектор N(х). Если вектор параметров фиксирован х0, то МСС называется невозмущенной и соответствующие макросостояния N(х0). Многозначное отображение называется полунепрерывным сверху в точке х0, если для любой окрестности DN(N(х0)) множества N(х) существует окрестность Dx точки х0 такая, что Отображение X N Точечномножественное Х х0 N N(х0) Точечноточечное Х х0 для всех . Многозначное отображение называется полунепрерывным снизу в точке х0, если для любого х0 ∊ N(х0) и любой окрестности DN(х0) существуют окрестность Dx точки х0 такая, что для всех х ∊ Dх N N(х0) 54

Справочный материал к лекции 6 6. 6 Теоремы об отображениях, описываемых МСС с неполным использованием ресурсов Приведем список теорем теории возмущенных задач математического программирования, полезных для исследования свойств МСС с неполным использованием ресурсов. Обозначения: • множество оптимальных решений возмущенной задачи • множество допустимых решений возмущенной задачи • Функция возмущения . 1. Полунепрерывность. Свойсьво полунепрерывности сверху соответствующих множеств означает, что при возмущениях их конфигурация может меняться скачком, но возмущенные множества находятся в окрестности невозмущенного. Теорема 1. [1] Пусть а) функция Ф(N, x) непрерывна по совокупности переменных; б) существует окрестность Dx точки х такая, что – ограниченное множество; в) для некоторого существует последовательность такая, что Ф(Ns, x 0)<0. Тогда отображение N(x) полунепрерывно сверху. Одно из условий теоремы 1, а именно «б)» форулируется в терминах ограниченности множества N(Dx). Будут полезными достаточные признаки ограниченность этого множества. Рассмотрим скалярную функцию , и поределим множество Теорема 2. [1] Пусть выполняются следующие условия: а) для некоторого х* существует последовательность такая, что б) скалярная функция равномерна по N и непрерывна по х; в) множество ограничено для . Тогда множество ограничено. Теорема 3. [1] Пусть выполняются следующие условия: а)множество б) множество Х – выпуклое; в) функция Ф(N, x) непрерывны по по х для и выпуклы по N для . Тогда множество X(x) непрерывно а точке x. 2. Непрерывность Теорема 4. [1] Пусть выполняются условия теоремы 3 и Слейтера для невозмущенной задачи. Тогда множество X(x) непрерывно а точке x. 3. Дифференцируемость. Теорема 4. [1] Пусть в задаче (слайд 54) функция H(N, x); Ф(N, x) – s-раз дифференцируема по обоим аргументам и для невозмущенной задачи выполняются следующие условия: а) решение N*(x 0) существует и единственное; б) множители Лагранжа, соответствующие активным ограничениям (равенствам) в точке N*(x 0) положительные; в) гессиан функции Лагранжа для активных ограничений невырожденный. Тогда существует окрестность Dx точки х0 такая, что для всех точки х0 решение возмущенной задачи s-раз дифференцируемо. Список литературы [1] Попков Ю. С. Теория макросистем. М. УРСС, 2012 55

Лекция 6 6. 6 B-MCC с неполным использованием ресурсов Теорема 5. Пусть В-МСС обладает следующими свойствами: а) функции - р-раз дифференцируемы по х. б). функции : б 1) дважды дифференцируемы по N б 2) неотрицательны, т. е. б 3) монотонно возрастают Невозмущенное макросостояние б 4) матрица регулярна (ее ранг равен r) б 5) гессиан б 6) удовлетворяет условиям Тогда в Х существует окрестность Dх точки х, в которой N*(x), z*(x) р-раз дифференцируемы 56

Вычислительные методы Лекция 7 7. 1 Классификация нелинейные уравнения f(x)=1 Схемы итерационных процессов а) Параллельная б) Покоординатная x*>0 Оператор итерационного процесса аддитивный в) С р-активными переменными мультипликативный Связь мультипликативного и аддитивного операторов Мультипли кативный х lnx Аддитив ный y 57

Лекция 7 7. 2 Исследование сходимости мультипликативных алгоритмов Процедура исследования Мультипликатиыный алгоритм (МА) Аддитивный эквивалент (АА) Вспомогательное диф. ур-е (ДА) Устойчивость решений ДУ (АА) МА – разностная схема для ДУ G - сходимость Пусть и существуют положительные числа a(G) и Υ такие, что для всех , МА сходится к решению х*, причем в окрестности х* сходимость линейная 58

Справочный материал к лекции 7 7. 2 Исследование сходимости мультипликативных алгоритмов Приведем список теорем, полезных для исследования сходимости мультипликативных алгоритмов (МА). Рассмотрим аддитивный эквивалент МА: и вспомогательное дифференциальное уравнение (ВДУ): получаемое из МА при γ→ 0. Теорема 1. [1] Пусть: а) функция F – дважды непрерывно-дифференцируема; б) якобиан - гурвицева матрица; в) множество G – компактно; г) существует ε>0 такое, что для всех , начиная с некоторого t>0, , где y(t) – решение ВДУ с начальным условием y(0)=y 0. Тогда МА (слайд 58) G-сходится. Нелинейные уравнения. Рассмотрим уравнение: Полагаем, что уравнение имеет единственное решение х*≠ 0. Для поиска этого решения используем МА: Теорема 2. [1] Пусть: а) функция f – дважды непрерывно-дифференцируема; б) матрица гурвицева; в) существуют числа ε>0 и γ(ε) такие, что для всех и , начиная с некоторого s, . Тогда МА G – сходится. Выпуклое программирование. Рассмотрим задачу выпуклого программирования: где: f(x) – строго выпуклая, дважды непрерывно-дифференцируемая функция, gi(x) - вогнутые функции. Определим функцию Лагранжа в виде: Обозначим: Положительные решения задачи выпуклого программирования будем искать, применив МА следующего вида: Исследование G-сходимости этого алгоритма основано на анализе решений системы вспомогательных дифференциальных уравнений: на Лемма 1. [1] Решение системы вспомогательных дифференциальных уравнений асимптотически устойчиво для любых начальных условий Лемма 2. [1] Якобиан вспомогательной системы дифференциальных уравнений и точке ( х*, λ) – гурвицев. Лемма 3. [1] Для любого ограниченного множества МА (*, ***) G-сходится к точке (х*), λ*, являющейся решением задачи выпуклого программирования. Список литературы [1] Попков Ю. С. Теория макросистем. М. УРСС, 1999 59

Лекция 7 7. 4 МСС с линейным потреблением и полным расходованием ресурсов матрица ранга r F-МСС E-МСС B-МСС 60

Лекция 7 7. 5 Мультипликативные алгоритмы С параллельной схемой Аддитивные алгоритм (АА) С р-активными переменными Вспомогательное ДУ (ВДУ) Лемма 1. (Попков 2012) Решения ВДУ Теорема 1. (Попков 2012) для F-, E-, B-MCC асимптотически мультипликативный алгоритм G - сходятся при любых сходится для F-, E-, B-MCC. 61

Лекция 7 7. 6 МСС с линейным потреблением и неполным расходованием ресурсов Условия оптимальности Мультипликативный алгоритм с параллельной схемой Теорема. Мультипликативный алгоритм G – сходится к решению МСС N*(λ) для F-, E-, B-МСС (слайд 60) 62

Лекция 8 Динамические модели макросистем 8. 1 Проблемы моделирования динамики макросистем Теория равновесных, а точнее стационарных состояний, в макросистемах базируется на определенных гипотезах, отмеченных в первой части курса и постулирующих свойства равновесного состояния. Однако, при этом выпадает из рассмотрения процесс его достижения. Часто он оказывается весьма важным, так как равновесие достигается в бесконечной временной перспективе, а реальные времена функционирования или жизни систем конечны. Поэтому изучение динамики макросистем с целью моделирования соответствующих процессов приобретает и научный интерес, и прагматическую актуальность. Необходимо отметить, что проблемы динамики макросистем весьма сложные. Одно из направлений в их исследовании состоит в построении подходящих кинетических уравнений, описывающих эволюцию функции распределения вероятностей состояний. Все существующие на сегодняшний день достижения в этом направлении именные: кинетические уравнения Леонитивича [1], Стратоновича [2], Хельбинга [3], Климонтовича [4]. Эти результаты основаны в той или иной степени на теории нелинейных марковских процессов и уравнении Больцмана. Другое направление базируется на уравнениях макродинамики, оперирующих интенсивными (температура, давление, состав) и экстенсивными (энтропия, объем, энергия) переменными [5]. Прекрасные обзоры современных методов и моделей макродинамики содержатся в [6]. И наконец, третье направление в исследовании динамики макросистем связано с моделированием и анализом некоторых классов макросистем. Первые работы в этой области появились в 1980 -1981 гг [7], [8]. В рассматривались процессы, имеющие «быстрые» процессы. Эти особенности системы позволили применить известный в неравновесной термодинамики принцип локальных равновесий [9], и рассматривать пространственно-временную эволюцию системы как последовательность локально-стационарных состояний, каждое из которых характеризуется максимум энтропии [10]. Во всех перечисленных задачах в той или иной степени использовалась одна и та же, но отличная от существующих, математическая конструкция нелинейной динамической системы. Она держит специфическую нелинейность, которая описывает возмущенной задачей математического программирования с энтропийной целевой функцией. По-существу, она представляет собой энтропийный оператор, и системы, содержащие такой оператор, названы, динамическими системами с энтропийным оператором (ДСЭО). Литература 1. Леонитович М. А. Основное уравнение кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов. ЖЭТФ. 1935. Т. 5. No 3, 4 с. 211 -231. 2. Стратонович Р. Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. М. : Наука, 1985. 3. Helbing D. A. Mathematical Model for the Behavior of Individuals in Social Field //J. Math. Soci. 1994. V. 19(3). P. 189 -219 4. Климатович Ю. Л. Статистическая теория открытых систем. М. : ТОО «Янус» , 1995 5. Цирлин А. М. Оптимальные процессы в необратимой термодинамике и экономике. М. : Физматлит, 2002 6. Variational and Extremum Principles in Macroscopic Systems// Ed. Sieniutez S. , Farkas H. , Amsterdam: Elsevier, 2005. 7. Wilson A. G. Gatastrorophy theory and Bifurcations. Applications to Urban and Regional Systems, London, Croom Helm, 1981. 8. Popkov Y. S. , Ryazantsev A. N. Spatio-functional Models of Demographic Process// Preprint, United Nations Fund for Population Activity, NY, 1980. 9. Де Гроот С. Т. , Мазур П. Неравновесная термодинамика. М. : Мир, 1964. 10. Попков Ю. С. Локально-стационарные модели неравновесных динамики макросистем с самовоспроизведением // ДАН СССР. 1988. Т. 303, No 3. c. 14 -16. 63

Лекция 8 Структура Спецефические элементы 8. 2 Принципы построения динамических моделей макросистема Рассматриваются макросистемы, в которых Связь (I, j) Блок Универсальный продукт Специфические элементы Процессы В блоках Между блоками Природа самовоспроизведение перераспределение Участники Специфические и неспецифические элементы Порции универсального продукта Факторы неопределенно сти Квазидетерминированные Стохастические Динамические характеристики процессы протекают в двух временных шкалах – «медленной» и «быстрой» . Носителями медленного процесса являются блоки, а быстрого – связи между блоками. В блоках размещаются элементы макросистемы – специфические для каждого блока и неспецифические (одинаковые) для всех блоков. В блоках указанные элементы взаимодействуют друг с другом, в результате чего производится универсальный продукт, перераспределяемый между блоками. Предполагается, что универсальный продукт имеет дискретную структуру, т. е. состоит из количества порций. Процессы в блоках являются процессами квазидетерминированного самовоспроизведения, а между блоками – стохастическими процессами перераспределения порций универсального продукта. Динамические характеристики указанных процессов, измеренные в величинах времен релаксации, существенно отличаются друг от друга: время релаксации процессов самовоспроизведения существенно больше времени релаксации процессов перераспределения. Это свойство позволяет представить временную эволюцию макросистемы временной последовательностью локально стационарных состояний Медленные Быстрые 64

Лекция 8 8. 3 Пространство состояний динамической модели макросистем Состояние блоков (обобщенные координаты) «Медленные» переменные x(1)(t) L 1 y 12(t) L 2 y 24(t) y 31(t) x(3)(t) L 3 Состояние связей (матрица потоков) «Быстрые» переменные Y*(t) – локальностационарное состояние распределительного процесса x(2)(t) y 34(t) L 4 x(4)(t) «производственные операторы» блоков Для построения математической модели динамической макросистемы необходимо придать абстрактному векторному пространству некий содержательный смысл, связанный с интерпритацией его компонент. Состояния блоков характеризуются обобщенными координатами В качестве компонент этих векторов могут быть количества элементов в блоках, объемные концентрации веществ, стоимостные показания экономической деятельности и др. Вектора состояния блоков xi(t) являются «медленными» переменными. Состояния связей между блоками характеризуется потоковыми величинами, измеряемыми в количестве перемещаемого универсального продукта в единицу времени. Матрица потоков как функция времени является «быстрой» переменной. В качестве компонент матрицы потоков может быть количество элементов, перемещающихся по каналу связи в единицу времени, объемно-временная концентрация вещества, скорости изменения стоимостных показателей и др. Таким образом пространство состояний системы имеет в качестве координат пару (x(t), Y(t)), где блочный вектор x(t)={x 1(t), …, xm(t)}. Размерность пространства состояний равна m(m+n). В блоках реализуются процессы самовоспроизведения, которые будем характеризовать «производственными операторами» Li(xi, Y(t)), (i=[1, n]), которые определяют поток (в частности, материальный поток), влияющий на изменения скоростей обобщенных координат 65

8. 3 Математическая модель процесса самовоспроизведения Лекция 8 Процесс самовоспроизведения ( «медленный» процесс), носителями Сепарабельный (S) Мультипликативный (M) «производственный оператор» которого являются блоки, предполагается квазидетерминированным. В зависимости от конкретной его реализации математическая модель может быть описана разными типами дифференциальных и интегральных уравнений. Наиболее распространенной является модель, описываемая обыкновенными дифференциальными уравнениями, в правую часть которых входит «производственный оператор» L(x(t), Y*(t)). Заметим, что он зависит от локально-стационарных потоков универсального продукта, являющихся элементами матрицы Y*(t). Последнюю редукцию можно сделать, так как время релаксации распределительного процесса существенно меньше, чем время релаксации процесса самовоспроизведения. 8. 4 Математическая модель распределительного процесса (1) Блок 1 Порции универсального продукта Блок 1 Блок n распределительный процесс Распределительный процесс предполагается случайным. Порции универсального продукта в течении малого интервала ∆t в шкале «медленного» времени случайным образом перераспределяются между блоками. Количество порций, попавших из iго блока в jй блок, равно , где yij(t) – поток универсального продукта в момент времени t. процесс в блоках ∆t t «медленные» процессы 66

Лекция 8 8. 6 Математическая модель распределительного процесса (2) Распределительный механизм Распределение порций универсального продукта осуществляется случайным образом, случайно, независимо друг не зависимо друг от друга, с априорной от друга с априорной вероятностью aij. Порции попадают в вероятностью каналы связи, которые имеют емкость Eij=∆Gij, где Gij - максимальный поток, j который может пропустить канал (I, j). Распределительный процесс сопровождается расходованием r видов ресурсов. Запасы ресурсов ∆tq 1… ∆tqr, порции связь где qk – количество kго ресурса, универсального которое может быть израсходовано в продукта единицу времени (потоковая величина). емкость связи Параметры распределительного процесса (aij, Gij, cijk, qk) зависят от cijk – удельное состояния блоков, и соответствующие потребление зависимости предполагаются запасы ресурсов ресурса k известными. Стохастический распределительный механизм позволяет использовать МСС со смешанным расходованием ресурсов в качестве модели локальностационарных потоков универсального Предположения продукта. Отличие от МСС состоит в том, что параметры модели зависят от состояния блоков макросистемы. Целевой функцией в этой модели может быть как энтропия Больцмана, так и энтропия Ферми. Модель локально-стационарного распределения Классификация 67

Лекция 8 8. 7 Динамическая модель макросистемы (ДММ) (динамическая система с энтропийным оператором (ДСЭО)) Автономная ДММ (ДСЭО) Управляемая ДММ (ДСЭО) энтропийный оператор x(t) ν U Y*(t) x(t) Динамическая модель макросистемы принадлежит к более общему классу динамических систем с энтропийным оператором (ДСЭО). ДСЭО – нелинейные динамические системы, нелинейность в которых описывается возмущенной задачей математического программирования. Последняя, в общем случае, характеризует точечно-множественное отображение. Классификация L Y* EQ IEQ MX S S-EQ S-IEQ S-MX M M-EQ M-IEQ M-MX 68

Лекция 9 Качественные свойства энтропийного оператора 9. 1 Определения Определим энтпропийный оператор общего вида, предварительно осуществив переход к одноиндексному описанию потоков универсального продукта. Для этого введем переменную p=(i-1)n+j, (I, j)=[1, n], s=n 2 и вектору y с компонентами Энтропийный оператор общего вида Функция Ф(x, y) а) дважды непрерывнодифференцируемая и монотонновозрастает по y; б) гессиан – положительно определен; в) существует подмножество , где якобиан имеет ранг r для всех y∊M(x) EQ – энтропийный оператор Теорема 1. Пусть H(y, x) и Ф(y, x) – непрерывные по х. Тогда существует непрерывный EQ-оператор y*(x). Теорема 2. Пусть H(y, x) и Ф(y, x) имеют порядок гладкости w для всех . Тогда EQоператор y*(x) имеет порядок гладкости w. Теорема 3. Пусть Ф(y, x) обладает свойствами а), б), в). Тогда EQ-оператор ограничен, т. е. В доказательствах этих утверждений используются теоремы о неявных функциях (см. слайд 51) 69

Лекция 9 9. 2 Константа Липшица EQ-энтропийного оператора Оценка локальной константы Липшица EQ-энтропийного оператора представляет собой аналитико-численную процедуру, которая имеет свой особенности для энтропии Больцмана и Ферми. Для операторов обеих типов будем полагать, что переменными в них являются априорные вероятности a(x) и запасы ресурсов q(x). Операторы будем обозначать соответственно. Будут даны математические определения этих операторов, их нормальных , установлены связи между ними и их основные свойства, а именно существование и единственность. Все дельнейшие исследования будут проводиться для нормальных форм и основываться на использование следующего «классического» неравенства [1]: Это неравенство позволяет построить линейный оператор, мажорирующий нормальные операторы. Линейная мажоранта используется для определения размеров так называемого инвариантного отрезка [2]. Локальная оценка константы Липшица строятся через оценивание норм производных соответствующих операторов на областях их определения. [1] Беккенках Э. , Беллман Р. Неравенства. М. : наука, 1965. [2] Красносельский М. А. и др. Приближенные решения нелинейных операторный уравнений. М. : Наука, 1969. где Bν, q-энтропийный оператор Fν, q-энтропийный оператор Локальная константа Липшица 70

9. 2. 1 Схема исследования Лекция 9 Bν, q-энтропийный оператор Fν, q-энтропийный оператор Определение и свойства Нормальный -оператор Нормальный - оператор Мажоранта для Оценка нормы производной для -мажоранта Мажоранта для Локализация собственных чисел матрицы Оценка локальной константы Липшица Оценка нормы производной для Оценка локальной константы Липшица 70

Лекция 9 9. 3 Bν, q-энтропийный оператор 9. 3. 1 Нормальный энтропийный оператор B 0, q ν er – единичный r-вектор; es – единичный s-вектор; (r, s) – размерность векторов 9. 3. 2 Соотношение Обратимся к ограничениям By=q, входящим в описание Bν, q-энтропийного оператора (слайд 70). Умножим это равенство слева на невырожденную матрицу P, размерности (rxr): Подберем матрицу Р так, чтобы выполнять условие нормировки столбцов матрицы РВ. Умножая это равенство справа на В’, и переходя к вектору p размерности r 2 вместо матрицы Р, получим: Система имеет множество решений. Например, можно выбрать решение, максимизирующее энтропию при условии, что . Решение задачи имеет вид: Вектор ω имеет размерность r, и W-(rхr 2) – невырожденная матрица ранга r: 71

Лекция 9 9. 4 Свойства B 0ν, q-энтропийного оператора 9. 4. 1 Существование и единственность Функция Лагранжа Условия стационарности относительно множителей Лагранжа λ Лемма 1. [1] Пусть матрица Т имеет неотрицательные элементы и полный ранг r. Тогда неотрицательные функции Г 0(ν, λ), k∊[1, r] k строго монотонно-убывающие по переменным λ, q и строго монотонно возрастающее по переменным ν, а неотрицательные функции ψ0(ν, λ), k∊[1, r] строго монотонно-убывающие по k переменным q и строго монотонновозрастающие по переменным z, ν. Условия стационарности относительно экспоненциальных множителей Лагранжа Лемма 2. [2] Пусть выполняются условия леммы 1. Тогда приведенные выше системы уравнений определяют единственные неявные дифференцируемые функции λ(ν, q) и z(ν, q) ((ν, q)∊N∪Q) соответственно. [1] Попков Ю. С. , Рублев М. В. Оценка локальной константы Липшица Bq-энтропийного оператора. Автоматика и Телемеханика, 2005, № 7, с. 54 -56 [2] Попков Ю. С. Теория макросистем, равновесные модели. М. , УРСС, 2012. 72

9. 4. 2 Мажоранта Лекция 9 Преобразование условий стационарности к стандартной форме Система имеет нулевое решения и z*>0 Свойства функции А Лемма 3. [1] Функции A 1(ν, q, z), …, Ar(ν, q, z) строго монотонно-возрастающие по переменным q для всех (ν, q)∊S=П∪Q. Мажоранта в терминах z Теорема 1. [1] Существуют два r-мерных положительных вектора z 1 и z 2 такие, что решение z(ν, z) системы уравнений ψ0(ν, q, z)=1 (слайд 72) принадлежат векторному отрезку где: • вектор z 1=z(σ, ε) – решение указанных уравнений, соответствующее границе множества S, т. е. ν=σ={σ1, …. , σs}, q=ε={ε 1, …, εr}; σi и εk – малые величины; • вектор - решение уравнения: Мажоранта оператора B 0 q ν , матрица С имеет элементы [1] Попков Ю. С. Математическая демоэкономика. Макросистемный подход. М. , УРСС, 2013. 73

Лекция 9 9. 4. 3 Оценка нормы производной B 0, q(1) ν Константа Липшица Оценка константы Липшица спектральная матричная норма Блочная (s x (s+r)) - матрица • спектральная Матричные нормы ||A||: (см. [1]) где ρmax – максимальное по модулю собственное число матрицы А; • максимальная [1]. Воеводин В. В. , Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М. , Наука, 1984 • евклидова Между указанными нормами существуют следующие соотношения: 74

Лекция 9 9. 4. 3 Оценка нормы производной B 0ν, q(2) Спектральная норма блочной матрицы Согласно условиям стационарности функции Лагранжа Оценка локальной константы Липшица 75

Лекция 9 9. 5 Fν, q – энтропийный оператор 9. 5. 1 Нормальный энтропийный оператор F 0ν, q er – единичный r-вектор; es – единичный s-вектор; (r, s) – размерность векторов определение матрицы Р - слайд 71 9. 5. 2 Свойства оператора F 0ν, q Функция Лагранжа Условия стационарности относительно множителей Лагранжа λ Условия стационарности относительно экспоненциальных множителей Лагранжа z Существование и единственность Лемма 1. [1] Пусть матрица Т имеет Лемма 2. [1] Пусть выполняются условия леммы 1. Тогда неотрицательные элементы и полный ранг r. Тогда приведенные выше системы уравнений определяю неотрицательные функции строго единственные неявные функции λ(ν, q) и z(ν, q) соответственно. монотонно убывающие по переменным λ и строго монотонно возрастающие по переменным ν, а неотрицательные функции строго [1] Попков Ю. С. Математическая демоэкономика. монотонно возрастающие по обеим переменным Макросистемный подход. М. , УРСС, 2012 76

Лекция 9 9. 5. 3 Мажоранта для F 0ν, q (1) Лемма 1. [1] Функция W(ν, q, z), строго монотонно возрастающая по переменным z и ν, и строго монотонно убывающая по переменным q для всех Производные - по переменным z - по переменным ν Условие стационарности функций Лагранжа (слайд 76) - по переменным q [1] Попков Ю. С. Математическая демоэкономика. Макросистемный подход. М. , УРСС, 2012 77

Лекция 9 9. 5. 3 Мажоранта для F 0ν, q (2) Оценка области решения уравнения W(ν, q, z)=z А(ν, q, z) - мажоранта Теорема 1. [1] Функция A(ν, q, z) является мажорантой по переменной z для функции W(ν, q, z) Теорема 2. [1] Для оператора F 0ν, q существует два положительных оператора z 0 и z*, такие, что решение системы уравнений W(ν, q, z)=z принадлежит векторному отрезку где переменная где вектор z 0 имеет компоненты и параметры вектор z* имеет компоненты где вектор является решением линейной системы в которой матрица С(ν) имеет следующие элементы: [1] Попков Ю. С. Математическая демоэкономика. Макросистемный подход. М. , УРСС, 2012 78

Лекция 10 Качественный анализ автономных ДСЭО 10. 1 ДСЭО с Bq-энтроипйным оператором Модель Классы ДСЭО с сепарабельным потоком непрерывнодифференцируемые функции ДСЭО с мультипликативным потоком Задачи Сингулярные точки Устойчивость x 2 x 1 x 3 79

10. 2 Сингулярные точки Лекция 10 10. 2. 1 Существование и единственность Сингулярные точки определяются уравнениями, полученными на основе условий стационарности функции Лагранжа для ДСЭО с Bq-энтропийным оператором. Переменные z=exp(λ) – экспоненциальные множители Лагранжа. Пусть произвольный вектор, и уравнение определяет зависимость (не явную функцию) x(y) Лемма 1. Пусть для всех L(x, y) непрерывна; Элементы Якобиана Функция y(z) – строго монотонно-возрастающая. Если то Зависимость Уравнения для всех Тогда на Y существует единственная неявная функция x*(y) Теорема. Пусть выполнены условия лемм 1 -3. Тогда в ДСЭО с Bq-энтропийным оператором существует единственная сингулярная точка 80

10. 2. 2 Локализация Лекция 10 Под исследованием локализации сингулярной точки понимается возможность установления размеров прямоугольной области, в которой она находится y-, y+ определены на слайде 80. сингулярная точка область локализации Теорема 1. Пусть вектор-функция L(x, y) непрерывнодифференцируема и монотонно возрастающая по обоим переменным, т. е. Тогда решение системы по переменной х принадлежит интервалу где х и x+ – компоненты решений следующиx уравнений i i соответственно. Доказательства утверждений на сл. 80, 81 можно найти в [1]. Список литературы [1] Попков Ю. С. Качественный анализ динамических систем с Bq-энтропийным оператором. Автоматика и телемеханика, 2007, № 1, с41 -56. 81

Устойчивость ДСЭО Лекция 11 11. 1. ДСЭО с сепарабельным потоком «в малом» модель линеаризация Теорема 1. ДСЭО с сепарабельным потоком имеет устойчивую «в малом» сингулярную точку , если матрицы линеаризованной системы имеют максимальные вещественное и различные собственные числи , такие, что Доказательство теоремы можно найти в [1] Список литературы [1] Попков Ю. С. Качественный анализ динамических систем с Bq-энтропийным оператором. Автоматика и телемеханика, 2007, № 1, с41 -56. 82

Лекция 11 11. 2 ДСЭО с мультипликативным потоком «в малом» модель линеаризация Теорема 1. Пусть - максимальное собственное число матрицы . Тогда ДСЭО с мультипликативным потоком имеет устойчивую «в малом» сингулярную точку , если Доказательство теоремы можно найти в [1]. Список литературы [1] Попков Ю. С. Качественный анализ динамических систем с Bq-энтропийным оператором. Автоматика и телемеханика, 2007, № 1, с41 -56. 83

11. 3 Устойчивость ДСЭО «в большом» Лекция 11 модель отклонения уравнения для отклонений от сингулярной точки Задача исследования устойчивости сингулярной точки указанной системы эквивалентна исследованию нулевого положения равновесия (сингулярной точки) для системы *. Устойчивость сингулярности точки «в большом» предполагает существование в фазовом пространстве системы ограниченного множества Г точек, содержащего нулевую сингулярную точку, и такого, что все траектории системы, начинающиеся из точек этого множества, асимптотически сходятся к сингулярной точке. Принципиальной характеристикой устойчивости «в большом» является размер указанного множества. При этом нужно иметь в виду, что здесь речь идет об оценки этого размера, т. е. о достаточных условиях, которые можно получить при некоторых дополнительных условиях: функция такая, что - удовлетворяет условию Липшица по переменной ζ: - при где - гурвицева матрица с постоянными элементами, т. е. ее собственные числа ωi различные и - вектор-функция удовлетворяет условию Гельдера с показателем α: Bq-энтропийный оператор y(x) обладает следующими свойствами: - матрица Т имеет нормированные по столбцам элементы, т. е. - для квадратной матрицы ТТ выполняется условие доминирующей диагонли: - функции - непрерывно дифференцируемые и монотонно возрастающие, т. е. Из свойств ДСЭО следуют некоторые полезные оценки: - нормы матричной экспоненты: - условия Липшица для Bq-энтропийного оператора (см. слайд 75): Теорема 1. Пусть выполнены перечисленные выше условия и . Тогда сингулярная точка асимптотически устойчива, если начальные отклонения x 0 принадлежат шару Доказательство можно найти в [1]. Список литературы [1] Попков Ю. С. Качественный анализ динамических систем с Bq-энтропийным оператором. Автоматика и телемеханика, 2007, № 1, с41 -56. 84

Прикладные задачи 85

Лекция 12 Компьютерная томография Проблема восстановления изображений скрытых от прямого наблюдения объектов возникает в самых разных областях науки, в технике, медицине, искусстве, радиоастрономии, геофизике и др. Кроме отсутствия прямого доступа к объекту, информация, которую удается получить о нем, искажена шумами, часто значительными. Однако из направлений в решении этой проблемы основано на томографическом исследовании объекта, т. е. построении его послойных проекций. Эта операция может осуществляться как с помощью внешних источников облучения (Х-лучи, ультразвуковая томография), а также их комбинации (ядерный магнитный резонанс) (см. [1], [2]). Важным элементом томографического инструментария являются методы восстановления изображений по проекциям (ВИП). Одна из групп таких методов основывается на вариационном принципе условной максимизации обобщенной энтропии [3]. Обобщение состоит во включении дополнительных параметров в энтропийные функции, посредством которых можно учитывать априорную информацию (априорное изображение Е 0) об исследуемом объекте. Энтропийная процедура компьютерной томографии состоит в определении комплекта проекций u с помощью внешнего облучения исследуемого объекта и решении задачи максимизации энтропии на множестве, сформированном проекциями. В результате для Е 0 получаем энтропийно-оптимальное апострориорное изображение Ψ 0. Статическое ВИП: накопление полного комплекта проекций, и затем восстановление апостериорного изображения. Динамическое ВИП: последовательное улучшение апостериорного изображения по мере получения проекций. Список литературы [1] Терещенко С. А. Методы вычислительной томографии. М. , Физматлит, 2004. [2] Сейсмическая томография. Сб. статей под ред. G. Honeta. Изд. «Мир» 1990. [3] Попков Ю. С. Теория макросистем. М. , УРСС, 2 -ое издание, 2012. 86

12. 1 Статические процедуры энтропийного восстановления изображений Лекция 12 12. 1. 1 Математическое описание томографического исследования проекция y u(ρ, θ) Ψ(x, y) l где (ρ, θ) θ источник Помехи ξ(ρ, θ) возникают в детекторе. Поэтому измеряемые проекции детектор объект x Общая схема с внешним источником пучка фотонов в направлении l обычно описывается полярными координатами (ρ, θ). Объект монохромный, характеризуется функцией плотности ψ(x, y) в системе декартовых координат (x, y): Имея геометрические размеры поля томографа, размер пикселя и соотношение между декартовыми и полярными координатами, можно перейти к векторным представлениям функции плотности ψ, проекции v и помех η, ξ, ς. Связь между вектором плотности изображения ψ и наблюдаемой проекцией u характеризует матрица T=[tki] размером (r x n), элементы которой определяются конструкцией проекционного устройства томографа. Так для ортогонального проекционного устройства матрица Наблюдаемые проекции u(ρ, θ) связаны с функцией плотности преобразованием Радона: Томографическое исследование происходит в присутствии помех. Помехи η(x, y), сопровождающие объект, искажают его функцию плотности Цифровая модель формирования проекций: где r – количество измеряемых проекций. Помехи имеют компоненты с нулевыми средними и конечными дисперсиями 87

Лекция 12 Стохастическая модель распределения фотонов по пикселям объектов генератор функции плотности ψ 12. 1. 2 Модель статической процедуры Энтропия распределения фотонов H(ψ, E) Обобщенный вариационный принцип: максимизация энтропии на множестве измеренных проекций априорное изображение Е Измеренные проекции апосториорное изображение Метод энтропийного восстановления изображений, т. е. функций плотности Ψ, базируется на обобщенном вариационном принципе ([1], [2]. [1]), в основе которого лежит стохастическая модель распределения абсорбированных в объекте фотонов. Предполагается существование априорных характеристик распределительного процесса, а именно, априорных вероятностей поглощения фотонов в пикселях цифровой модели объекта. Априорные вероятности отождествляются с функцией плотности априорного изображения Естественными функционалами для стохастического распределительного процесса являются обобщения информационная энтропия Ферми-Дирака (см. слайд 16) или обобщенная информационная энтропия Больцмана (см. слайд 22) для слабо «серых» изображений Энтропийное восстановление скрытых от прямого наблюдения изображений, реализованное в рамках статической процедуры, состоит в формировании полного комплекта измеренных проекций v, и в поледующем решении задачи максимизации энтропии на множестве D, определяемом проекциями v. Решение этой задачи – апостериорное изображение Ψ*(E, v) зависит от априорного изображения E и проекций v. Список литературы [1] Попков Ю. С. Вариационный принцип восстановления изображений по проекциям. Автоматика и Телемеханика, 1997, № 12, с. 131 -139 [2] Byrne C. L. Signal Processing. Wellesley Mass. A. K. Peters, 2005, 385 p. [3] Попков А. Ю. , Попков Е. Ю. , Попков Ю. С. Мультипликативные алгоритмы для восстановления изображений по проекциям. Автоматика и Телемеханика, 1997, № 1, с. 60 -77. 88

12. 2 Динамическая процедура энтропийного восстановления изображений Лекция 12 Модель динамической процедуры 1 априорное изображение 0 12. 2. 1 Общая структура апостериорное изображение 1 1 1 апостериорное изображение 2 2 априорное изображение 1 2 2 m априорное изображение(m-1) На каждом этапе t определяются апостериорное изображение m детектор m восстановленные изображения Структура динамической процедуры E 0 vt Динамическая процедура состоит в последовательном по времени облучении объекта пучками фотонов малой интенсивности и многократном последовательном восстановлении изображений путем решения последовательности задач максимизации энтропии. Динамическая процедура состоит из этапов t=1, 2, 3, …r, на входе которых имеются t-априорное изображение Et и проекции , а на входе – t-апостериорное изображение ψt. Проекции измеряются с ошибками На этапе t допустимое множество t Ψ* L Et Реализация основной идеи динамической процедуры заключаются в формировании априорного для следующего (t+1)-го этапа изображения Et+1 на основе t, t-1, t-2, …- априорных изображений. Структура процедуры представляет собой замкнутый контур из двух блоков, в одном из которых по измеренному вектору проекций vt и t – априорному изображению Et вычисляется t-апостериорное изображение , а во втором формируется (t+1)-априорное характеризуется оператором L. 89

Лекция 12 12. 2. 2 Информационные массивы «Текущее апостериорное изображение» ТА Et L E t+1 «Текущее среднее апостериорного изображения» ТС Et L E t+1 «Текущее среднее+дисперсия апостериорного изображения» ТА Et L Для определения априорного изображения на t+1 -ом этапе процедуры в общем случае используются информационные массивы, в которые входят наборы апостериорных изображений на t, t-1, …, этапах измерения проекций. Рассмотрим некоторые полезные частные случаи. В массиве «текущее апостериорное изображение» для формирования (t+1)-го априорного изображения Et+1 используется только их t-апостериорное изображение: В массиве «текущее среднее апостериорного изображения» используются апостериорные изображения на t, t-1, t-2, … этапах, для определения текущего среднего : В массиве «текущее среднее + дисперсия апостериорного изображения» используется апостериорные изображения на t, t-1, t-2, … этапах, для определения текущих среднего и дисперсии : E t+1 90

Лекция 12 12. 2. 3 Классы динамических процедур Классы операторов L (обратная связь) Динамическая процедура с Т-обратной связью E 0 Т-обратная связь Et T vt НП-обратная связь Динамическая процедура с НП-обратной связью vt НА-обратная связь E 0 TС vt-s Et+1 НП Динамическая процедура с НА-обратной связью vt E 0 TС+ТД vt-s Список литературы [1] Попков Ю. С. , Рублев М. В. Динамические процедуры восстановления изображений по проекциям (компьютерная томография). Автоматика и Телемеханика, 2006, № 2, с. 69 -79 Et+1 α НА 91

Лекция 12 12. 3 Экспериментальное исследование динамических процедур Экспериментальные исследования проводились для ортогонального проекционного устройства с матрицей Т с использованием динамической процедуры с комбинированной «Т» - и «НП» -обратными связями. Вектор плотности изображения помехи η=0. Использовалась стандартная для IEEE Image Processing тест ЛЕНА, на которой было нанесено пятно (левое верхнее окно). Справа и внизу этого окна показаны проекции с шумом ς. Отношение шум/сигнал составляло 0, 3. За 0 -априорное изображение E 0 была принята «чистая ЛЕНА» (второе верхнее окно). На каждом этапе t формировался вектор ω максимальных невязок между Et и : Параллельно вычисляются текущее среднее компонент вектора ω: Динамическая процедура с «Т» - и «НП» -обратной связью имеет вид: В правом верхнем окне показано восстановленное изображение с помощью статической процедуры. В нижних окнах экрана показаны результаты восстановления стандартной динамической процедурой с Тобратной связью (левое окно) и модифицированной процедурой (правое окно). Качество последней очевидно. 92

Лекция 13 Транспортные потоки Проблема моделирования распределения потоков в коммуникации «наложение» на сеть Распределение по коммуникациям картограмма транспортных сетях является весьма сложной и многоаспектной. В особенности эти ее качества проявляются в городских транспортных сетях, где «свобода выбора» транспортными единицами путей следования, т. е. их транспортное поведение, являются принципиальными при моделировании потока. Моделирование транспортного поведения пассажиров является одним из традиционных приложений теории макросистем, а именно моделей стационарных состояний. В основе его лежит коммуникационная сеть, где места проживания индивидов и возможные места их работы связаны «воздушными» коммуникациями. На этой сети моделируется выбор индивидом пары «дом-работа» . Выбор предполагается случайным и независимым от выборы других индивидов, но с элементами регламентации. Последние связаны с априорной информацией об индивидуальной мобильности, особенностях индивидуального выбора (время, комфорт, и т. д. ) и о технических возможностях коммуникационной сети (пропускная способность, средняя скорость и др. ). МСС позволяет воспроизвести матрицу коммуникационных потоков (корреспонденций). Дальнейшая процедура связана с «наложением» этих потоков на реальную транспортную сеть, где существенную роль играют маршруты между домом и работой и принципы «расщепления» коммуникационного потока на маршрутные потоки. Здесь так же МСС позволяют моделировать некоторые принципы «расщепления» . В результате возникает «картограмма» транспортных потоков в сети. Транспортному моделированию посвящено огромное количество оригинальных работ. Некоторое представление о проблеме можно составить по [1, 2]. Литература [1] Швецов В. И. Математические модели транспортных потоков. Автоматика и телемеханика, 2003, № 11, с. 341. [2] Введение в математическое моделирование транспортных потоков. Уч. пособие. Под ред. Гасникова А. В. М. . МЦНМО, 2012 93

13. 1 Модель корреспонденций Лекция 13 Схема коммуникаций Р 1 Q 1 Р 2 Q 2 aij Рn Qm i места жительства j места работы Транспортные ресурсы r типов С 1…С 2 Кривая рассеивания F Математическая модель корреспонденций строится на основе пространственной схемы локализации мест жительства и мест работы. Параметрам этой схемы являются емкости мест жительства Р 1, …, Рn и работы Q 1, …, Qm. Элементами этой схемы являются индивиды, пользующиеся транспортом для поездок «домработа» . Предполагается, что индивид выбирает (i, j) случайным образом, независимо от других, с известной априорной вероятностью aij. Данный выбор сопровождается потреблением r «транспортных» ресурсов: времени, стоимости, комфортности и др. Параметрами потребления являются удельное потребление cijk и запас k-го ресурса Сk. Важной компонентой этой схемы являются коммуникационная сеть, так как ее характеристики существенно влияют на выбор индивидом пары (i, j). В частности, время проезда τ является принципиальным для выбора пары. Зависимость количества индивидов от используемого ими времени поездки τ – кривая рассеивания F(τ) – является одной из характеристик коммуникационной сети. Другой характеристикой является зависимость N(τ) количества путей в сети, которые имеют одинаковое время проезда τ. Полагая, что распределение индивидов по путям с одинаковым временем поездки происходит с равными вероятностями, априорные вероятности выбора пары (i, j) τ Распределение связей Другие способы определения априорных вероятностей можно найти в [1]. N Список литературы τ [1] Швецов В. И. Алгоритмы распределения транспортных потоков. Автоматика и Телемеханика, 2003, № 11, с. 148 -157. 94

Лекция 13 13. 2 Энтропийные модели распределения корреспонденций Энтропийная модель для «малых» потоков в коммуникациях Энтропийная модель для ограниченной пропускной способности коммуникаций B-MCC F-MCC Ограничения а) балансы по выезду и въезду б) потребление транспортных ресурсов Список литературы [1] Wilson A. G. Entropy in Urban and Reqional Modelling, London, Pion Ltd, 1970 [2] Попков Ю. С. , Посохин М. В. , Гупунов А. Э. , Шмульян Б. Л. Системный анализ и проблемы развития городов. М. Наука, 1983 [3] Chi Xie, Kochelman K. M. , Waller S. T. A Maximum Entropy Method for Subnetwork Origin-Destination Trip Matrix Estimation. Transportation Research Record, 2010, № 2196, p. 111 -119 95

Лекция 13 13. 3 Математическая модель для прогноза транспортных и пассажирских потоков в Москве (2000 -2011) Институт Системного Анализа РАН (ИСА РАН) совместно с Центром исследований транспортной инфраструктуры (ЦИТИ) и экспертами Российской академии архитектуры и строительных наук (РААСН) Модель позволяет прогнозировать автомобильные и пассажирские потоки в транспортной сети, включая улично-дорожную сеть, метро, поезда пригородного сообщения. Моделирование всех видов передвижений: легковые и грузовые автомобили, общественный пассажирский транспорт, пешеходные передвижения. Учет их взаимного влияния. Возможность моделирования транспортных и пассажирских потоков в разное время суток, в зависимости от дня недели и времени года. Модель реализована с использованием программного обеспечения Trans. Net (ИСА РАН Москва) 96

Лекция 13 13. 4 Какие задачи поможет решить комплексная модель Общественный транспорт • Оптимизация системы маршрутов общественного транспорта. • Приоритет для движения общественного транспорта: эффективность для пассажиров, влияние на автомобильный транспорт. • Прогноз загрузки проектируемых линий и станций метро, оценка влияния на наземный транспорт. • Взаимодействие ж. д. транспорта пригородного сообщения со внутригородской транспортной системой. • Оптимальное размещение авто и ж. д. вокзалов. • Размещение перехватывающих стоянок. Оценка эффекта. Автомобильный транспорт • Прогноз загрузки проектируемых улиц, дорог, мостов и тоннелей. • Оценка общих параметров, характеризующих работу транспортной сети: суммарный пробег, затраты времени, средняя скорость. • Сравнение и выбор вариантов. • Где разрешить или запретить движение отдельных видов транспорта или типов транспортных средств? 97

Лекция 13 13. 5 Результаты калибровки моделей Расчетные автомобильные потоки (для примера показан утренний час пик) Сравнение расчетных потоков вечером и утром (модель воспроизводит суточную динамику) 98

Демоэкономика Лекция 14 Потребление товаров Население Трудовые ресурсы Труд Товар Экономика Население – уникальная компонента мироздания, снабженная интеллектом. Будучи инструментом саморазвития, интеллект порождает различные виды человеческой деятельности и совершенствуется, расширяя свои возможности в процессе их реализации. Население, вовлекаемое в какую-либо деятельность, испытывает влияние от нее и изменяет свой статус. Имеет место своеобразный замкнутый контур – население, деятельность, обратная связь – который является источником развития человеческой цивилизации. таким образом, существует система «население-экономика» , в которой подсистемы «население» и «экономика» образуют замкнутый контур. Система «население-экономика» погружена в метасистему, которая оказывает влияние на ее состояние (см. [1]). Материальные ресурсы Экономика как один из видов деятельности населения преобразует его «труд» и материальные ресурсы в товар. Товар, производимый экономикой и потребляемый населением, изменяет его структуру, количественное и статусное оформление групп населения. В результате, на новом витке развития иные группы и в ином количестве участвуют в экономических процессах. Население потребление DE-система труд Экономика МЕТАСИСТЕМА Материальные ресурсы Список литературы [1] Попков Ю. С. Математическая демоэкономика (макросистемный подход). М. УРСС, 2012 99

Лекция 14 14. 1 Феноменология DE-системы Население Экономика Воспроизводство миграция Миграция населения происходит на некоторой территории, разделенной на регионы. Важным обстоятельством в миграционном процессе является мотивация каждого потенциального мигранта. Многочисленные миграционные акты образуют поток, который в течении определенного интервала времени оказывается стационарным. Для моделирования этого локально-стационарного миграционного потока продуктивной является гипотеза о случайном поведении потенциальных мигрантов, т. е. случайным считается решение о смене одного региона проживания на другой [1]. Однако случайный характер миграционных решений регламентирован разными априорными вероятностями. Усредненной характеристикой распределения миграционных потоков является энтропия. Энтропия связывает показатели индивидуального поведения – априорные вероятности миграционных решений, с показателями коллективного поведения миграционной системы – распределением миграционных потоков. Априорные вероятности зависят от экономических факторов. Поэтому вероятности в энтропийной концентрации играют еще роль параметров, посредством которых осуществляется связь демографических и экономических процессов. Производство обмен Экономический обмен является одним из основных процессов в пространственнораспределенной экономической системе. В рыночной экономике пара «производитель-потребитель» образуется случайным образом, но с учетом различных априорных факторов. Это означает, что каждая порция продукта будет «принадлежать» какой-то паре с некоторой априорной вероятностью, которая в определенном смылсе регламентирует «индивидуальное поведение» порции продукта. В результате многочисленных событий случайного распределения порций по парам «производитель-потребитель» образуется стационарное распределение количеств продукта по совокупности пар, усредненной характеристикой которого служит энтропия [2]. Устойчивое распределение решения a 1 a 2 структура Оператор преобразования an Население производители Список литературы [1] Вайдлих В. Социодинамика. М. УРСС, 2004 [2] Попков Ю. С. Макросистемные модели пространственной экономики. М. , Ком. Книга, 2007 Элементы со стохастическим поведением 100

14. 2 Структура модели Лекция 14 BR M INTERACTION P FM E DM P MM ECONOMY P LM CM E MS Энтропийная демо-экономическая модель (EDEM) ориентирована на демографический анализ и прогнозирование развития населения и экономики. EDEM состоит из трех блоков: POPULATION, ECONOMY и INTER-ACTION. Блок POPULATION моделирует пространственную динамику половозрастной структуры населения, которая есть результат процессов биологического воспроизводства (BR) и миграции (M). Биологическое воспроизводство населения определяется соотношением процессов рождаемости и смертности. Миграция населения связана с его перемещениями в некотором пространстве. Это пространство представляется набором пространственных единиц, и рассматривается два типа миграционных процессов: внутренняя миграция, происходящая внутри рассматриваемого пространства между его пространственными единицами, и внешняя миграция, происходящая между пространственными единицами. Важным вопросом является миграционная мотивация населения. В данной модели предполагается, что она связана с экономическим статусом пространственной единицы и общим системным статусом пространства, на котором происходит миграция. Здесь имеются ввиду неэкономические факторы, такие как, религиозная и национальная нетерпимость, военные конфликты, экстремальные традиции и др. Блок ECONOMY моделирует пространственную динамику m-секторной экономики. Он включает динамические модели производства (P) и рынка труда (LM), и модель рынка товаров (CM). Производство описывается в терминах производственных функций, учитывающих технологический уровень производства, характеристик занятости и безработицы, рентабельности, цен, аммортизации и обновления производственных мощностей. Рынки товаров и труда, как основные элементы рыночной экономики, являются элементами ценообразования и рентабельного распределения трудовых ресурсов. Блок ECONOMY использует информацию о поло-возрастной структуре трудоспособного населения и преобразует ее в показатели экономического статуса (индексы душевого дохода, ВВП, безработицы) рассматриваемого пространства, которые влияют на параметры блока POPULATION. Это влияние реализуется через блок INTERACTION. Он состоит из вспомогательных моделей рождаемости (FM), смертности (DM) и миграции(MM). В этих моделях соответствующие наборы экономических факторов преобразуются в параметры рождаемости, смертности и миграционной мобильности блока POPULATION. 101

Лекция 14 14. 3 Основные уравнения блока «POPULATION» 14. 3. 1 Пространственно-временная эволюция численности K(1, t) K(j, t) Биологическое воспроизводство 1 K(2, t) n 2 Yjn j Sms(t) 3 регион n Внутренняя миграция Внешняя миграция Пространство демоэкономической системы представлено совокупностью регионов n = 1, N. Состояние населения в регионах характеризуется вектором возрастной структуры K(n, t) = {K(n, 0, t), . . . , K(n, A+, t)}, компоненты которого есть численность населения в соответствующей возрастной группе a = 0, A+. Изменение во времени численности регионального населения происходит под влиянием процессов биологического воспроизводства (рождаемости, старения и смертности) и миграции. Биологическое воспроизводство характеризуется матрицей G(n, t), элементы которой зависят от специфицированных по возрасту коэффициентов рождаемости b(n, a, t) и смертности d(n, a, t). Элементы нулевой строки матрицы G(n, t) определяют численность новорожденных, которые появляются только в интервале фертильных возрастов. Элементы остальных строк характеризуют уменьшение численности возрастных групп из-за смертности. Миграция имеет две компоненты - внутреннюю (межрегиональную) и внешнюю ( в и из метасистемы). Межрегиональная миграция характеризуется специфицированными по возрасту потоками мигрантов Ynj = {Ynj(0, t), . . . , Y nj(A+, t)}. Внешняя миграция характеризуется специфицированным по возрасту сальдо SMS(n, t) 102

Лекция 14 Регион n априорные вероятности αnj 14. 3. 2 Энтропийная модель внутренней миграции Многочисленные исследования миграционной мобильности Регион j αjn Ресурсы: Ø экономические Øсоциальные Øэкологические Модель локально-стационарного распределения потоков внутренней миграции демонстрируют большую скорость по сравнению со скоростью процессов биологического воспроизводства. Это позволяет применить принцип локальных равновесий для моделирования миграционных процессов, представив их временной последовательностью локально-стационарных состояний. Предполагается, что миграционные решения индивида носят случайный характер, регламентированный априорными вероятностями αnj реализации этих решений. В общем случае априорные вероятности зависят от состояний населения в регионах, т. е. αnj = αnj[K(t)], где K(t) = {K(1, t), . . . , K(N, t)}. Мобильная часть населения считается экономически мотивированной, т. е. на значения априорных вероятностей оказывают влияние экономические факторы: индексы душевого дохода ω(n, t), ВВП ϑ(n, t), безработицы ν(n, t) и др. Реализация миграционных решений сопряжена с потреблением определенных ресурсов, связанных с обеспечением мигрантов местами жительства, рабочими местами, медицинским обслуживанием, образованием. В общем случае таких ресурсов может быть r, и по каждому из них может быть известно удельное потребление cnjk и запас qk, k = 1, r. Параметры ресурсопотребления зависят от показателей состояния регионов, т. е. cnjk = cnjk[K(t)], qk = qk[K(t)]. Если миграционные потоки небольшие, то энтропия их распределения. Если миграционные потоки значительные и их приходиться регламентировать некоторыми фиксированными значениями, то энтропия имеет 103

14. 4 Основные уравнения блока ECONOMY Лекция 14 Системное экономическое пространство В экономическом блоке моделируются пространственнораспределенная, многосекторная производственная экономика «РЕ» , рынок товаров CM и равновесные цены PR, связанные друг с другом. Рассматривается системное пространство с региональными индексами , в каждом элементе которого размещается К секторов, производящих К единиц продукции. 14. 4. 1 Производственная экономика (PE) - производство - рынок товаров - рынок труда Производственная единица, расположенная в регионе n и принадлежащая сектору k, выпускает единицу продукции, используя при этом λk(n, t) работников в момент времени t. Величина λk(n, t) является характеристикой технологического уровня производства [1], [2]. Распределение производственных единиц по технологиям характеризует функция gk(λk, n, t). Производственная мощность сектора - биржа gk Выпуск Структура блока Производящая экономика PE Равновесные цены PR Рынок товаров CM Потребность в рабочей силе λ λmin Условие рентабельности цена технологические затраты λ* λmax уровень рентабельности оплата труда [1] Петров А. А. , Поспелов И. Г. , Шананин А. А. Опыт математического моделирования экономики. М. , Энергоматиздат, 1996 [2] Попков Ю. С. Макросистемные модели пространственной экономики. М. , УРСС, 2007 104

Лекция 14 Поток товаров fk(n, i, t) 14. 4. 2 Рынок товаров (СМ) регион j регион n Процессы обмена товарами между секторами реализуются на рынке товаров CM. Моделирование этих процессов основано на предположении об их стохастической природе и малом времени релаксации, что позволяет строить описание таких обменных процессов последовательностью локально-стационарных состояний [1]. Порции товара k-го сектора, производимого в регионе n, выбирают регион i с априорной вероятностью νk(n, i, t). Ансамбль всевозможных распределений потоков fk(n, i, t) характеризуется локальной энтропией выпуск Yk(n, t) сектор Технологические коэффициенты Локально-стационарное распределение F (t) = f∗k(n, i, t)| (n, i) ∈ [1, N], k ∈ [1, K] соответствует • g – доля транспортных издержек в суммарном доходе; • p*k(n, t) – равновесные страновые цены на kый ресурс; • εт(t) – доля участвующих в обмене товаров, производимых в регионе n в момент времени t (безразмерная величина); • ptr – цена единицы транспортной работы; • cst – системная доля транспортных расходив; • dk(n, i) – условные расстояния между регионами n и регионами i≠n для сектора k, dk(n, i)=0. при соблюдении балансовых условий: и ограничений на транспортные издержки: [1] Попков Ю. С. Математическая демоэкономика. М. , УРСС, 2012 105

Лекция 14 14. 4. 3 Равновесные цены (PR) Процесс ценообразования имеет наименьшее время релаксации среди основных процессов в демоэкономической системе. Поэтому рассматривается его стационарное состоянием, и следовательно, равновесные региональные цены p∗k(t) = {p∗k(1, t), . . . , p ∗k(N, t)}. Формирование равновесных региональных цен на товары и ресурсы происходит в рыночной среде, где балансируется спрос и предложение. Напомним общую конструкцию товарного регионального рынка. Произведенные в регионе n товары k-го сектора предлагаются на региональных рынках 1, . . . , n-1, n+1, . . . , N по ценам pk(1, t), . . . , pk(n-1, t), pk(n+1, t), . . . , p k(N, t). Поэтому объем потока предложения k-ых товаров (cм. [1]) где f∗k(n, i, t) - стационарное значение потока k-ых товаров из региона n в регион i (см. слайд 105). Поток спроса в регионах 1, . . . , N на k-ый товар имеет вид: производственный спрос Баланс между спросом и предложением дает следующую систему уравнений для определения равновесных цен на товары k-го сектора: Ukn (t)pk(t) = bk(t), p∗k(t) = [Uk]-1(t)bk(t) > 0, , i где (N × N)-матрица Uk(t) имеет элементы uk (t) = f∗k(n, i, t) - γk(n, i)Y (i, t), вектор bk(t) имеет компоненты bk(t) = sk(n, t)Rk (n, t), n ∈ [1, N]. E Равновесие региональных цен существует, если компоненты вектора p∗k(t) ≥ 0. Если это условие не выполняется, имеет смысл рассматривать квазиравновесные цены, которые приближают спрос к предложению на минимальное расстояние: для векторов цен p 0 < p-(n) ≤ p(n, t) ≤ p+(n), n ∈ [1, N], непроизводственный спрос γk(n, i) - территориальные технологические коэффициенты, Y (i, t) - выпуск k-го товара, sk(n, t) - заработная плата и Rk(n, t) - потребность в E рабочей силе в k-ом секторе. Список литературы [1] Попков Ю. С. Математическая демоэкономика. М. , УРСС, 2012 106

Лекция 14 P E K(t) W Kw(t) P E 14. 5 Основные уравнения блока «INTERACTION» В данном блоке реализуются прямые ( «Р→Е» ), и обратные ( «Р←Е» ) связи между блоками «POPULATION» и «ECONOMY» . «Р→Е» имитирует влияние характеристик состояния населения на экономическую деятельность, а «Р←Е» - влияние экономических индикаторов на состояние населения. «Р → Е» тарнслирует вектор K(t) и формирует в модуле «W» вектор трудоспособной части населения Kω(t) для блока «ECONOMY» . «Р←Е» моделирует влияние пространственного распределения средних индексов душевого дохода ω(t), душевого ВВП , и индекса безработицы ν(t) на параметры миграции Ф(a, t), рождаемости B(a, t), смертности D(a, t). Под средними показателями понимается осреднение по всем отраслям экономики. P E Ф(a, t) B(a, t) D(a, t) ω(t) FM DM MM P ν(t) υ(t) E 14. 5. 1 Миграция (МРР) Стохастические механизмы миграционных процессов характеризуются функциями априорных вероятностей ф(n, u, a, t), являющимися элементами матрицы Ф(a, t) [1]: Априорная вероятность φ(n, i, t) характеризует (n, i) – миграционное решение индивида, априорная вероятность ρ(a, t) – принадлежность индивида к возрастной группе а. Для экономически мотивированного населения, миграционное решение индивида определяется сравнительной полезностью Θ(n, i, t) региона i по сревнению с регионом n: Априорная вероятность Опираясь на макросистемную концепцию миграционных процессов, полагаем, что функция ρ(a, t) максимизирует энтропию при условии В этих равенствах К(t) – общее количество населения, К(a, t) – количество населения в возрастной группе а. Список литературы [1] Попков Ю. С. Математическая демоэкономика. М. , УРСС, 2012 107

14. 5. 2 Рождаемость Лекция 14 Динамика общего коэффициента рождаемости b(n, t) Энтропийная модель специфицированного по возрастному коэффициенту рождаемости b(n, a, t) Распределение характеристики рождаемости специфицированной по возрастным группам фертильных женщин характеризуется энтропийной функцией [1]: МОДЕЛЬ [1] υ R[ • ] - функция репродуктивной установки, τR - время релаксации. Линейная функция репродуктивной установки ϑ Параметры An, Bn, Cn, Dn, En определяются по ретроспективным данным об изменении общего коэффициента рождаемости на некотором временном интервале. - [a, a+]- интервал фертильности, f f - υ(n, a, t) - априорная вероятность того, что женщина из возрастной группы a внесла свой вклад (родила ребенка) в группу новорожденных (нулевая группа). Функция b[n, ih] определяется решением следующей задачи: при условиях согласованности с общим коэффициентом рождаемости b(n, t): и фиксации моментных характеристик, например, среднего фертильного возраста ā: Список литературы [1] Попков Ю. С. Математическая демоэкономика. М. , УРСС, 2012 108

Лекция 14 14. 5. 3 Смертность Динамика общего коэффициента смертности Модель [1] Энтропийная модель специфицированного по возрастному коэффициенту смертности Модель [1] Изменения общего коэффициента смертности d(n, t) происходит под воздействием так называемого давления смертности E(n, t) [1], которое зависит от d(n, t) и от социальноэкономических факторов, из которых рассматриваются индекс душевого ВВП ϑ(n, t) и душевое потребление алкоголя Walc(n, t). Линейное приближение функции давления смертности: E(n, t) = αn + βnd(n, t) + γnϑ(n, t) + ηn. Walc(n, t). Предполагается, что индивиды, принадлежащие одной возрастной группе, неразличимы, события жизнь и смерть случайные и независимые и для каждого члена возрастной группы a существует априорная вероятность ν(n, a, t) дожить до следующей возрастной группы к моменту времени t + 1. Этот стохастический механизм характеризуется обобщенной информационной энтропией Ферми: Уравнение модели ϑ τD - время релаксации для процесса смертности. Параметры функции давления смертности αn, βn, γn, η определяютсяпо ретроспективным данным об изменении общего коэффициента смертности на некотором временном интервале. которая максимизируется на допустимом множестве: W (n, t) - объем выплат по страхованию жизни. Априорная вероятность дожития до следующей возрастной группы Список литературы [1] Попков Ю. С. Математическая демоэкономика. М. , УРСС, 2012 109

Лекция 14 14. 6 Анализ рынка труда 9 стран ЕС 14. 6. 1 Модель рынка труда [1] предложение K ω Рынок труда ω(c, t) χ(a, t) RE потребность Эволюция трудового рынка во времени происходит в результате взаимодействия предложения и потребности в рабочей силе, которое реализуется через конкуренцию когорт: γ(c, t) =ρ(c, t) + ω(c, t) + σ(c, t). Состояние рынка труда характеризуется функциями плотности распределения занятых либо по возрасту a (возрастная структура занятости, ВСЗ χ(a, t)), либо по когортам c по дате рождения (когортная структура занятости, КСЗ - ω(c, t) ), принадлежащим к трудоспособным возрастам Aw = [a 0, a 1] [1][2]. Рынок труда представляет собой систему с большим числом взаимодействующих участников с высоким уровнем неопределенности. Поэтому модель базируется на стохастической гипотезе, и функции ВСЗ χ(a, t) и КСЗ ω(c, t) рассматриваются как плотности распределения вероятностей случайных величин a и c. Энтропии КСЗ Производство энтропии ρ(c, t) - собственный статус, ω(c, t) - сравнительный статус, и σ(c, t) соотношение предложение/спрос. RE(t) Kω(t) ω(c, t) Положительность нормированная собственная θ, γ, η - параметры, ρ ω(c, t)e-ξc сравнительная RE(t) Уравнения модели рынка труда Kω(t) Список литературы [1] Виссен Л. , Попков А. Ю. , Попков Е. Ю. , Попков Ю. С. Модель рынка труда с энтропийным ператором. Экономика и математические методы, 2004, т. 40, є 2, с. 99 -112. [2] Попков Ю. С. Математическая демоэкономика. М. , УРСС, 2012 110

Лекция 14 14. 6. 2 Калибровка модели Разработанная динамическая модель калибровалась на реальной информации о состоянии рынков труда в девяти странах Европейского Союза (Бельгии, Великобритании, Греции, Дании, Ирландии, Италии, Люксембурге, Нидерландах, Франции). Эта информация охватывает период с 1983 по 1996 гг. Предполагалось, что все население, возраст которого принадлежит интервалу трудоспособности (за исключением нетрудоспособных), составляет предложение рабочей силы. Неактивное население (не желающее работать по каким-то причинам, кроме медицинских) включалось в предложение рабочей силы. Потребность в рабочей силе определялась в виде разности между предложением и количеством безработных [1]. Параметры масштабов: ρ - максимальный собственный статус, θ -максимальный сравнительный статус, β - коэффициент влияния предложение/потребность. Параметры интенсивностей: ζ - старения собственной когорт, γ - сравнительное старение когорт, η - сравнительная полезность когорт. Критерий качества калибровки wr(c, t) - реальные данные. Список литературы [1] Попков Ю. С. Математическая демоэкономика. М. , УРСС, 2012 111

14. 6. 3 Классификация стран Лекция 14 По реальным функциям КСЗ ω(с, t*) По параметрам модели ωi(c, t) LB NL UK I F GR BG IR DN Порог δ Группы стран 0, 002 F, LB, NL, UK 0, 02 C C c c LB, NL 0, 006 Группировка стран ЕС по характеристикам рынков труда является важной для выработке политики в этой сфере. Группировку можно производить сравнивая параметры моделей и реальные функции когортной структуры занятости стран. Если результаты группировки совпадают, вектора параметров моделей стран можно принять за портрет рынка труда в этих странах. ωj(c, t) F, I, LB, NL, UK LB, NL 112