Теория конических поверхностей в Древней Греции Исследования Аполлония

Теория конических поверхностей в Древней Греции. Исследования Аполлония Пергского. Выполнила: студентка 3 курса 31 группы, факультете МИи. Ф Буркеня Наталия

Содержание • Основные понятия • История изучения конических сечений: Менехма, Аристея и Евклида, Архимеда • Конические сечения в работах Аполлония Пергского • Вывод уравнения кривой для сечения прямоугольного конуса вращения • Выводы формул кривых

Основные понятия Плоские кривые линии, получаемые при пересечении поверхности прямого кругового конуса плоскостями, различно расположенными по отношению к оси конуса, называют кривыми конических сечений (коническое сечение). В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть: эллипс, парабола, гипербола, а в частных случаях: окружность, прямая, две пересекающиеся прямые и точка.

Если плоскость Ф пересекает все образующие поверхности конуса вращения, т. е. если φ>α, то линией сечения является эллипс. В этом случае секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих поверхности конуса. В частном случае (φ=900) такая плоскость пересекает поверхность конуса по окружности; и сечение вырождается в точку, если плоскость проходит через вершину конуса.

Если плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т. е. φ=α, то линией пересечения является парабола. В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую. Если плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси конуса), т. е. φ<α, то линией сечения является гипербола. В случае прохождения плоскости через вершину конической поверхности фигурой сечения могут быть сами образующие, т. е. гипербола вырождается в две пересекающие прямые.

История изучения конических сечений • Конические сечения впервые появились в работах греческого математика IV в. до н. э. Менехма, который с их помощью решил задачу удвоения куба. • Аристей был старшим современником Евклида, его сочинение называлось «Телесные геометрические места» . Античные математики называли «плоскими геометрическими местами» прямые и окружности, которые проводятся с помощью линейки и циркуля, а «телесными геометрическими местами» —конические сечения, возникающие при пересечении поверхности кругового конуса с плоскостью.

Сочинения Менехма, Аристея и Евклида о конических сечениях до нас не дошли. Те же названия конических сечений применял и Архимед. Под сечением прямоугольного конуса имелась в виду парабола, под сечением остроугольного конуса—эллипс, под сечением тупоугольного конуса—одна из двух ветвей гиперболы. Предшественники Аполлония определяли конические сечения как сечения поверхностей прямых круговых конусов плоскостями, перпендикулярными к одной из их прямолинейных образующих.

Конические сечения в работах Аполлония Пергского «Конические сечения» состоят из восьми книг. Первые четыре, в которых, по словам автора, излагаются элементы теории, дошли до нас погречески, следующие три – в арабском переводе Сабита ибн Корры, последняя – восьмая книга - утеряна. Имеется реконструкция ее текста, принадлежащая английскому астроному Э. Галлею (XVIII в. ).

Вывод уравнения кривой для сечения прямоугольного конуса вращения Пусть OAB – сечение этого конуса плоскостью, проходящей через ось OL, и пусть PLK – след плоскости, перпендикулярной к образующей этого конуса. Тогда KM 2 = AK • KB, так как AMB – полукруг. Но AK=PP′=√ 2 LP 2, а. KB=√ 2 KP 2, поэтому KM 2=2 LP • KP.

Обозначим KM через y, KP – через p, тогда получим y 2=2 px. (1) Это уравнение, или симптом, кривой, которое записывается с помощью буквенной символики, а древние записывали в словесно – геометрической форме: квадрат на полухорде KM в каждой точке равен прямоугольнику PKSR, построенному на отрезке PK оси до вершины (x) и на постоянном отрезке PR (рис. 2).

Аналогично выводилось уравнение для сечений остроугольного и тупоугольного конусов, т. е. эллипса и гиперболы: где 2 a – большая ось эллипса или действительная ось гиперболы, а р –постоянная. В случае, когда р=а, уравнения (2) принимают вид y 2=x(2 a-x) и y 2=x(2 a+x) (3) первое из которых является уравнением окружности радиуса а, а второе – уравнением равносторонней гиперболы. Эллипс и гипербола (2) могут быть получены из окружности и гиперболы (3) сжатием к оси абсцисс в отношении √p/a.

Аполлоний прежде всего: 1. Дает более общее определение; 2. Он берет произвольный круговой конус; 3. Рассматривает обе его полости ( что дает ему возможность изучать обе ветки гиперболы); 4. Он проводит сечение плоскостью расположенной под любым углом к образующей. На привычном языке аналитической геометрии, можно сказать, что до Аполлония конические сечения рассматривались по отношению к прямоугольной системе координат, причем одна из осей совпадала с главным диаметром, а вторая проходила перпендикулярно к ней через вершину кривой; Аполлоний же относил кривые к любому диаметру касательной проведенной в одном из его концов, т. е. к некоторой косоугольной системе координат.

Выводы уравнений кривых После стереометрического определения Аполлоний также дает вывод симптомов – уравнений кривых. При этом он классифицирует полученные кривые по виду определяющего их уравнения, т. е. в основу кладется точка зрения, свойственная аналитической геометрии.

Вывод уравнения для параболы Пусть BAC – сечение кругового конус плоскостью, проходящей через ось, и пусть проведена плоскость GHD так, что DE перпендикулярна BC, а GH параллельна AB ( GH можно было выбрать параллельной AC). Найдем уравнение кривой DGE, полученной в сечении. Пусть К – произвольная точка этой кривой. Проведем KL параллельно DE и MN параллельно BC. Плоскость проходящая через KL и MN, будет параллельна плоскости основания и, как это ранее доказал Аполлоний, будет пересекать конус по кругу. Поэтому KL 2=ML • LN.

Отрезок GL есть переменное расстояние проекции точки Д от вершины, члены постоянны. Аполлоний выбирает такой отрезок GF, что Тогда KL 2=GF • LG. Это и есть симптом – уравнение сечения.

Если обозначить KL=y, LG=x, GF=2 p, то мы получим уравнение в привычной форме: y 2=2 px. У Аполлония уравнение записывается также словесно – гречески: если GH – один из диаметров параболы, а KL – полухорда, сопряженная с этим диаметром, то Аполлоний откладывает GR = 2 р перпендикулярно к GH. Тогда утверждается, что в каждой точке квадрат, построенный на LK (рис. 4), должен равняться прямоугольнику GRSL, т. е. GL • GR. Название «парабола» происходит от названия Аполлония παραβολή (приложение), так как задача о построении точки этой кривой сводится к задаче о приложении (до Аполлония параболу называли сечением прямоугольного конуса вращения). Вывод уравнения для эллипса и гиперболы Инвариантность конических сечений Дальнейшее исследование конических сечений в трудах Аполлония Дальнейшее развитие теории конических сечений