ТЕОРИЯ КОЛЕЦ – кольцо, если

ТЕОРИЯ КОЛЕЦ – кольцо, если I) – абелева группа; II) – полугруппа (вып. aссоциативность); III) a, b, c K a(b+c)=ab+ac и (a+b)c=ac+bc. Примеры: • , , , – коммутативные кольца с 1 без делителей нуля. • <{2 n}; +, >, – коммутативное кольцо без единицы.

Свойства: 1. Выполняются все свойства группы: единственность нулевого и противоположного элемента, однозначность разрешимости уравнения а+х=b. 2. (a-b)c = ac-bc. Доказательство: ((a-b)+b)c = (a-b)c + bc ((a-b)+b)c = ac a (a-b)c + bc = ac + (-bc) (a-b)c = ac – bc. 3. ơ a = ơ. Доказательство: ơ=b-b; ơ a = (b-b) a = b a - b a = ơ. 4. (-a)b = -ab. Доказательство: -a = ơ – a; (-a)b = (ơ – a)b = ơ b – ab = ơ – ab = – ab.

Подкольцо Т. Непустое подмножество Н кольца К является подкольцом тогда и только тогда, когда 1) a, b H, a+b H; 2) a H, - a H; 3) a, b H, a b H Доказательство: а) Необходимость. Пусть Н – подкольцо кольца К. Тогда оно само является кольцом и в нем выполняются требования 1), 2), 3) по определению кольца.

б) Достаточность. Пусть Н К, Н и в Н выполняются условия 1), 2), 3). Докажем, что Н – подкольцо. Для этого проверим все аксиомы кольца. I). – абелева группа, т. к. 1. операция сложения выполнима по усл. 1); 2. операция сложения коммутативна и ассоциативна в Н, как на подмножестве К; 3. -а, это следует из усл. 2); 4. существование нулевого элемент следует из усл. 1) и 2): а +(-а) = ơ.

II). – полугруппа, т. к. 1. операция умножения выполнима по условию 3); 2. ассоциативность умножения справедлива в кольце К, а значит и в Н, как на подмножестве. III). Дистрибутивные законы выполняются в кольце К, а значит и на его подмножестве Н.

Примеры. 1) <{2 n}; +, >, – подкольцо кольца ; 2) диагональные матрицы – подкольцо кольца квадратных матриц 3) – подкольцо кольца .

Обратимые элементы кольца Определение. Элемент а кольца К называется обратимым, если a-1 K. Примеры: • в обратимыми являются числа 1 и -1; • в <{2 n}; +, > обратимых элементов нет; • в обратимы все элементы, кроме 0; • в кольце квадратных матриц обратимы все невырожденные матрицы.

Т. Обратимые элементы кольца образуют мультипликативную группу. Дано: Н – множество обратимых элементов кольца К, Н . Доказать: Н – группа. Доказательство: 1) Пусть a, b H. Покажем, что a b H. a, b H a-1, b-1 H т. к. (a-1)-1=a и (b-1)-1=b H, т. е. у a-1 и b-1 есть обратные элементы. Покажем, что (a b)-1 = b-1 a-1 K, а т. к. (b-1 a-1)-1= a b (a b)-1 = b-1 a-1 H. 2) Умножение в Н ассоциативно, т. к. оно ассоциативно в кольце К. 3) Покажем, что e H, т. к. (e-1)-1= e. 4) Если a H, то a-1 H, т. к. a обратим и (a-1)-1=a. 1) – 4) H – группа. Группу обратимых элементов называют мультипликативной группой кольца.

Примеры. 1. – аддитивная группа ; 2. мультипликативная группа <{-1, 1}, >. 3. 2. – аддитивная группа ; 4. мультипликативная группа . 5. 3. <+, > – аддитивная группа < Mn n(R); +>; мультипликативная группа < Mn n(R), |М| 0; >. 4. <{0}; +, > – аддитивная группа <{0}; +>; мультипликативная группа не существует. 5. <{2 n}; +, > – аддитивная группа <{2 n}; +>; мультипликативная группа не существует.

Гомоморфизм и изоморфизм колец Определение. Кольца К 1 и К 2 называются гомоморфными, если существует отображение : К 1 К 2, сохраняющее операции, заданные в кольцах, т. е. ~ , если a, b K 1: (a b) = (a) + (b); (a๏b) = (a) (b). Если – взаимнооднозначное отображение, то кольца называются изоморфными.

Пример. Пусть K 1 = ; a+bi K 1 1) взаимная однозначность: a+bi=c+di a = c, b = d 2) сохранение операций: ((a+bi) + (c+di)) = ((a+c) + (b+d)i)= (a+bi) + (c+di). Умножение проверяется аналогично. – изоморфизм.

Т. Изоморфным образом кольца является кольцо. Дано: К 1 = – кольцо и К 2 = , К 1 К 2. Доказать: К 2 = – кольцо. Доказательство: I. – абелева группа, т. к. изоморфным образом группы является группа. II. – полугруппа, т. к. изоморфным образом полугруппы является полугруппа. III. Дистрибутивные законы. Возьмем произвольные a 2, b 2, c 2 K 2 и покажем, что (a 2+b 2) c 2 =a 2 c 2 + b 2 c 2. Т. к. : К 1 К 2 – изоморфное отображение, то a 1, b 1, c 1 K 1 такие, что a 2= (a 1); b 2= (b 1); c 2= (c 1). (a 2+b 2) c 2 = ( (a 1)+ (b 1)) (c 1) = (a 1 b 1) (c 1) = ((a 1 b 1)๏c 1) = = (a 1๏c 1 b 1๏c 1) = (a 1๏c 1) + (b 1๏c 1) = (a 1) (c 1)+ (b 1) (c 1). Т. е. (a 2+b 2) c 2 =a 2 c 2+b 2 c 2.

Область целостности Определение. Областью целостности называется коммутативное кольцо без делителей нуля. Примеры: 1. Все числовые кольца являются областями целостности. 2. Кольца многочленов являются областями целостности. 3. Кольцо матриц не является областью целостности (некоммутативное и есть делители нуля). 4. Кольцо функций <{f(x), x R}, +, >– коммутативное кольцо с делителями нуля: f 1(x) f 2(x)=0 – не является областью целостности.

Основное свойство области целостности Т. В области целостности выполняется закон сокращения, т. е. если К – область целостности, то a, b, c K (a ơ) a b = a c b = c. Доказательство: a b=a c + (-a c) a b – a c = ơ, по свойствам кольца a (b – c) = ơ, т. к. в К нет делителей нуля и a ơ, то (b – c) = ơ b = c. В произвольном кольце закон сокращения может не выполняться. Пример: AB 1=AB 2, но B 1 B 2.

Кратные элементы в области целостности I. Целочисленные кратные. a K, n a = a + + a. n раз na определяется однозначно в силу однозначности сложения в кольце. 0 a =ơ – нулевой элемент кольца К. – n a = n (–a) = – a – – a K. n раз – n a определяется однозначно. Свойства: 1. (n 1+n 2) a = n 1 a + n 2 a; 2. n (a+b) = na+ nb; 3. n 1(n 2 a) = (n 1 n 2) a; 4. n (ab) = (na)b = a(nb). Доказательство: n (ab) = ab + ab+ + ab = дистриб з-н. (a + + a)b = (na)b. 0 a =ơ и (0 a)b = ơ. – n (ab) = – ab – – ab. = дистриб з-н. (–a – – a)b = (–na)b.

II. Кратные элементы Определение. Элемент a K называется кратным элемента b K, если ! элемент c K, что a=b c. a в этом случае делится на b, с называется частным. Если a ơ, частное определяется однозначно. a ơ b c ơ b ơ и c ơ. Пусть частное определяется неоднозначно, т. е. a=bc 1, a=bc 2, bc 1=bc 2, т. к. K – область целостности, то c 1 = c 2. Основные свойства делимости 1. Если a c и b c, то (a b) c. 2. Если a b и b c, то a c. 3. Если a b, то c, ac b. 4. Если a 1, a 2, , ak b, то c 1, c 2, , ck K (a 1 c 1 + a 2 c 2+ + akck) b. 5. Если кольцо К содержит единицу, то a ơ, a a.