Теорія ймовірностей розділ математики що вивчає закономірності випадкових

Теорія ймовірностей розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ, які спостерігаються при багаторазових повтореннях випробувань 1

ТЕОРІЙ ЙМОВІРНОСТЕЙ. НАВІЩО? 2

У сучасному світі автоматизації виробництва теорія ймовірності необхідна фахівцям для вирішення завдань, пов'язаних з виявленням можливого ходу процесів, на які впливають випадкові чинники. Виникла теорія ймовірностей в 17 столітті. Вперше згадувалась під час листування Б. Паскаля і П. Ферма, які проводили аналіз азартних ігор. Радянські та російські вчені також зробили значний внесок у дослідження цього розділу математики: П. Л. Чебишев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров.

Основні поняття теорії ймовірностей Теорія ймовірностей вивчає масові випадкові події, які характеризуються стійкою частотою їх появи. ДОСЛІД Дія, результат якої заздалегідь невідомий ЕКСПЕРИМЕНТ Дослід, випробування, спостереження, виміри, результати яких залежать від випадку і які можна повторити багато разів в однакових умовах. РЕЗУЛЬТАТ ПОДІЇ Можливий результат експерименту (факт, який в результаті досліду або може відбутись, або ні) ВИПАДКОВА ПОДІЯ Випадковою подією в теорії ймовірності називають будь-який факт, який в результаті досліду (спостереження) може відбутися або не відбутися.

Основні поняття теорії ймовірностей Експеримент - дослід, випробування, спостереження, виміри, результати яких залежать від випадку і які можна повторити багато разів в однакових умовах.

Класифікація подій ВИРОГІДНІ – Неможливі – події, які обов’язково відбудуться під час даного експерименту події, які не можуть ніколи відбутися позначаються - позначаються Випадкові – події, яка при повторенні досвіду іноді відбуваються, іноді ні позначаються - A, B, C, D. . . 6

КЛАСИФІКАЦІЯ ПОДІЙ. НЕМОЖЛИВІ Неможливе подія ніколи не відбувається в результаті спостереження або випробування. Наприклад. Якщо в кошику тільки персики, то дістати з кошика персик є достовірною подією, а дістати лимон є неможливою подією. 7

КЛАСИФІКАЦІЯ ПОДІЙ Кидають два гральних кубіки: а) на першому кубіку випало 3, а на другому – 5 ; б) сума отриманих на двох кубіках очків дорівнює 1; в) сума отриманих на двох кубіках очків дорівнює 13; г) на обох кубіках випало по 3 очки ; д) сума очків на двох кубіках менше 15. Випадкова подія - це така подія, яка в результаті спостереження або випробування може статися, а може і не відбутися. Приклад. 1) Студент складає іспит. Іспит складено. Ця подія випадкова, тому що студент міг і не скласти іспит. 2) Завтра буде дощ. Подія випадкова тому, що дощ може як піти, так і не піти 3) Гра в лотерею. Можна щось виграти, а можна і не виграти.

КЛАСИФІКАЦІЯ ПОДІЙ. НЕМОЖЛИВІ Ви відкрили книгу на будь-якій сторінці і прочитали перший-ліпший іменник. Виявилося що: а) у складі обраного слова є голосна буква; б) у складі обраного слова є буква «О» ; в) у складі обраного слова немає голосних букв; г) у складі обраного слова є м'який знак.

ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ПОДІЙ СУМІСНІ ПОДІЇ Дві події А та В називають сумісними, якщо поява одної з них не виключає появи другої НЕСУМІСНІ ПОДІЇ Події є несумісними, якщо при дослідженні дві з названих подій не можуть одночасно спостерігатись (при одному вимірювані тиск не може бути нормальним і підвищеним). 10

ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ПОДІЙ Події «Кинуто гральний кубік» . На верхній грані виявилося « 6 очок» , «парне число очок» - сумісні. Події «Кинута гральна кістка» . На верхній грані виявилося « 6 очок» , « 5 очок» - несумісні. Вкажіть які з описаних пар подій є сумісними, а які несумісними. З набору доміно вийнята одна кісточка, на ній: а) одне число очок більше 3, інше число 5; б) одне число не менше 6, інше число не більше 6; в) одне число 2, сума обох чисел дорівнює 9; г) обидва числа більше 3, сума чисел дорівнює 7.

ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ПОДІЙ З подій скласти пари і виявити серед них пари сумісних та несумісних подій: а) йде дощ; б) на небі немає жодної хмаринки; в) настало літо. а) настав ранок; б) сьогодні за розкладом 5 пар; в) сьогодні перше січня; г) температура повітря в Киеві + 20º С

Чи сумісні наступні події? 1) А – у, випадковим чином, складеного квадратного рівняння є дійсні корені; Б - дискримінант рівняння від'ємний; 2) А – у, випадковим чином, складеного квадратного рівняння немає дійсних коренів; Б - дискримінант рівняння не додатній. Чи сумісні наступні події? а) вийнята карта червоної масті і вийнято валета; б) вийнято короля і вийнято туза.

ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ПОДІЙ РІВНОМОЖЛИВІ Події у деякому випробуванні ПОДІЇ називаються рівноможливими (рівноймовірними), якщо в силу симетрії випробування жодна з них об'єктивно не може бути більш можливою, ніж будьяка інша. ЕЛЕМЕНТАРНІ ПОДІЇ Якщо подію А не можна виразити через більш прості події, то вона називається елементарною. ЗАЛЕЖНІ ПОДІЇ Подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність спостереження події А залежить від того відбулась подія В чи така подія не відбулась. НЕЗАЛЕЖНІ ПОДІЇ Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того відбулась подія В чи не відбулась. Наприклад, група крові у другого донора не залежить від того яка група крові була у першого донора. 14

ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ПОДІЙ Два студенти одночасно складають іспит незалежно один від одного. Ця подія сумісна і незалежна. Працівник отримає оплату праці в залежності від якості її виконання.

МЕТОДІ ЗБОРУ СОЦІОЛОГІЧНИХ ДАНИХ СОЦІОЛОГІЧНЕ ОПИТУВАННЯ СОЦІОЛОГІЧНЕ СПОСТЕРЕЖЕННЯ АНАЛІЗ ДОКУМЕНТІВ СОЦІОЛОГІЧНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ метод збору емпіричних аних д про елементи свідомості людей у формі питаннявідповідь метод збору інформації про досліджуваному соціальному об'єкті шляхом спрямованого, систематичного безпосереднього сприйняття і реєстрації значущих з точки зору цілей дослідження актів поведінки людей метод збору інформації, що міститься в документальних джерелах метод отримання інформації про соціальний об'єкт шляхом впливу на нього деяких керованих і контрольованих чинників з метою перевірки гіпотез про причинний зв'язок між явищами Основні вимоги до експерименту: в якості контрольних характеристик обирають найважливіші з точки зору досліджуваної проблеми, зміна контрольних характеристик повинна залежати від тих характеристик експериментальної групи (або середовища проведення експерименту), які вводяться або змінюються самим дослідником. Такі характеристики називаються - факторними. На хід експерименту не повинні впливати ті явища, які не належать до експериментальної ситуації, але потенційно здатні змінити її

ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ПОДІЙ Повна група подій - кілька подій таких, що в результаті досвіду неодмінно має відбутися хоча б одна з них. Протилежні події - дві несумісні події, що утворюють повну групу подій. ЕКСПЕРИМЕНТ ПІДКИДАННЯ ГРАЛЬНОГО КУБИКА ПОДІЯ A: ВИПАЛО 6 ОЧОК МНОЖИНА ЕЛЕМЕНТАРНИХ ПОДІЙ (N) 1. 2. 3. 4. 5. 6. N=6. ВИПАЛО 1 ОЧКО ВИПАЛО 2 ОЧКА ВИПАЛО 3 ОЧКА ВИПАЛО 4 ОЧКА ВИПАЛО 5 ОЧОК ВИПАЛО 6 ОЧОК N=3 ГРА В ШАХИ B: ВИГРАВ 1. 2. 3. ВИГРАВ ПРОГРАВ НІЧИЯ N=2 СТРІЛЬБА В МІШЕНЬ C: НЕ ВЛУЧИВ 1. 2. ВЛУЧИВ НЕ ВЛУЧИВ 17

ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ПОДІЙ ЕКСПЕРИМЕНТ ПОДІЯ МНОЖИНА ПОДІЙ (N) ПІДКИДАННЯ МОНЕТИ D: ВИПАВ ГЕРБ ВИТЯГУВАННЯ КАРТИ З КОЛОДИ A: ВИТЯГЛИ КОРОЛЯ N=36 ВИТЯГАННЯ З КОРЗИНИ З 10 -МА КУЛЬКАМИ ( 4 СИНІ, 3 БІЛІ, 3 ЖОВТІ) ОДНІЄЇ КУЛЬКИ A: ВИТЯГЛИ СИНЮ N=10 1. 2. N=2. ВИПАВ ГЕРБ ВИПАЛА ЦИФРА

ПРИКЛАД. ПІДКИДАННЯ ГРАЛЬНОГО КУБІКА A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 B – випала парна кількість очок C – випало більше 7 очок D – отримання на більш ніж 3 очок E – випало не більше 6 очок F – отримання не менш ніж 4 очка С – неможлива подія E – вирогідна подія Анализ подій досліду: A 1 - A 6 - елементарні події F – повна група несумісних рівноможливих подій B, C, D - можна виразити через більш прості (елментарні) події Наприклад: В – відбудеться або А 2, або А 4, або А 6 19

АЛГЕБРА ПОДІЙ Сумою А+В двох подій А та В називають подію, яка полягає у тому, що в результаті стохастичного експерименту відбувається хоча б одна із подій. Сумою декількох подій (А 1, А 2, …, Аn ), відповідно, називається подія, яка полягає в тому, що відбулася хоча б одна із подій (А 1, А 2, …, Аn ). Позначення: А 1+ А 2 +…+Аn = А 1 А 2 … Аn Приклад 1. Два стрільці роблять по одному пострілу у мішень. Якщо подія А - влучення першого стрільця, а подія В - другого, то сума А + В - це хоча б одне влучення при двох пострілах. Приклад 2. Якщо при підкиданні грального кубіка подією Аi називують отримання i очок, то отримання непарного числа очок є сумою подій А 1+А 2+А 3. 20

АЛГЕБРА ПОДІЙ Добутком АВ двох випадкових подій називається подія, яка полягає у тому, що в результаті стохастичного експерименту відбуваються обидві події А та В. Аналогічно добутком декількох подій (А 1, А 2, …, Аn) називається подія, яка полягає в тому, що відбулися усі події з (А 1, А 2, …, Аn) Позначення: А 1·А 2 · … ·Аn = А 1 А 2 … Аn Приклад 3. В прикладі 1 ( два постріли у мішень) подією АВ буде влучення обох стрільців. Пример 4. Якщо подія А полягає в тому, що з колоди карт витягнута карта пікової масті, а подія В - в тому, що з колоди витягута дама, то подією АВ буде діставання з колоди дами пік. 21

АЛГЕБРА ПОДІЙ Різницею АB подій А та В називають подію, яка полягає в тому, що А відбулася, а В – ні. Пример 5. Згадаємо приклад 1* про стрільців, де А В – влучення першого стрільця при не влученні другого стрілка. Пример 6. В прикладі 4 АВ – витягання з колодибудьякої карти пікової масті, окрім дами. Навпаки, ВА – витягання дами будь-якої масті, окрім пік. *(Приклад 1. Два стрільці роблять по одному пострілу по мішені. Подія А – влучення першого стрільця, а подія В - другого). 22

АЛГЕБРА ПОДІЙ Приклад. Підкидання грального кубіка. Нехай подія А - «випала парна кількість очок» , а подія В - «випало число більше 3» . Тоді для суми, різниці та добутку події А і В маємо: А + В = {2, 4, 6} + {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}, А-В = {2, 4, 6}-{4, 5, 6} = {2}, АВ = {2, 4, 6}{4, 5, 6} = {4, 6}. Приклад 2. З таблиці випадкових чисел навмання взято одне число. Подія А - «число ділиться на 5» ; подія В - «число закінчується нулем» . Що означає подія А - В? З визначення різниці двох подій А - В випливає, що під цією подією мається на увазі тільки ті результати, які належать безпосередньо події А і не належать події В. А-В «число, яке ділиться на 5 і не закінчується нулем» . Таке число очевидно має закінчуватися на 5. 23

ЯК ОБЧИСЛЮВАТИ ІМОВІРНІСТЬ ПОДІЙ?

1. 2. 3. 4. 5. АЛГОРИТМ обчислення ймовірності події за класичною схемою Описати експеримент, про який йдеться в умові задачі та відповідний простір елементарних подій . Обґрунтувати рівноможливість елементарних подій і визначити, з яких елементарних подій складається подія А. Визначити кількість т елементарних подій простору Ω. Визнач кількість k елементарних подій, що сприяють події А. Обчисли ймовірність події А за формулою

ОБЧИСЛЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ Отже, за умови рівноможливості елементарних подій, що утворюють простір , ймовірність будь-якої події А обчислюється за формулою де k – кількість елементарних подій, що сприяють події А, т – кількість усіх елементарних подій простору . ВЛАСТИВОСТІ

ОБЧИСЛЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ. ПРИКЛАД Кинуто 2 гральних кубіки. Яка ймовірність подій: А- отримання в сумі не менше 9 очок; В - отримання 1 очка принаймні на одному кубіку? I II 1 2 3 4 5 6 Отримали, що можливл n=36 результатів дослідів 5 6

ОБЧИСЛЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ. ПРИКЛАД Набираючи номер телефону ви забули останню цифру та набрали її навмання. Яка імовірність того, що отримана потрібна цифра? Відповідь: 0, 1

ОБЧИСЛЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ. ПРИКЛАД У коробці є 3 кубіки: чорний, червоний і білий. Витягуючи кубики навмання, їх ставлять послідовно один за одним. Яка ймовірність того, що в результаті вийде послідовність: червоний, чорний, білий?

ЗДІЙСНЕННЯ ПРИНАЙМНІ ОДНІЄЇ З НЕЗАЛЕЖНИХ ПОДІЙ Теорема. Якщо події А 1, А 2, А 3, …, Аn — незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з цих подій може бути виражена через ймовірність цих подій за формулою Р(А)=1–(1–Р(А 1)) (1–Р(А 2)) … (1–Р(Аn)). Наслідок 1. Якщо ймовірності незалежних подій А 1, А 2, …, Аn однакові і рівні р, то ймовірність здійснення принаймні однієї із них Р(А)=1–(1–р) n.

ЗДІЙСНЕННЯ ПРИНАЙМНІ ОДНІЄЇ З НЕЗАЛЕЖНИХ ПОДІЙ. ЗАДАЧА Стрілок робить 4 постріли по одній і тій же мішені. Ймовірність влучення при одному пострілі дорівнює 0, 9. Знайти ймовірність того, що стрілок влучить хоча б один раз. Розв’язання Нехай подія А — «стрілок влучить хоча б один раз» тоді за наслідком з теореми про здійснення принаймні однієї з незалежних подій: P(A)=1 -(1 -0, 9)4=1 -0, 14=1 -0, 0001=0, 9999.

2 ТЕОРЕМА ПРО ЙМОВІРНІСТЬ СУМИ ПОДІЙ Теорема. Ймовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій: якщо А В= , то Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Наслідок 1. Сума ймовірностей подій А 1, А 2, …, Аn, які утворюють повну групу і попарно несумісні, дорівнює одиниці: Р(А 1)+Р(А 2)+…+Р(Аn)=1. Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці: Р(А)+Р(Ā)=1. ТЕОРЕМА ПРО ДОБУТОК ПОДІЙ Добутком подій А і В називається подія С, що полягає в здійсненні обох подій А і В під час одиничного випробування. Позначається: С=А В або С=А В Теорема. Ймовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій: Р(А В)=Р(А) Р(В)

2 ТЕОРЕМА ПРО ЙМОВІРНІСТЬ СУМИ ПОДІЙ. ЗАДАЧА В урні лежать 2 зелених, 3 червоних і 6 синіх кульок. З неї навмання вибирають 1 кульку. Яка ймовірність того, що вона не червона? Розв’язання Нехай подія А — «поява червоної кульки» , тоді Ā — «поява не червоної кульки» , причому події А і Ā — протилежні

2 ТЕОРЕМА ПРО ДОБУТОК ПОДІЙ. ЗАДАЧА Знайти ймовірність одночасного випадання 3 -х очок на кожному з гральних кубиків при одному киданні двох кубиків. Розв’язання Нехай подія А — «випало 3 очки на 1 -му кубику» ; В — «випало 3 очки на 2 -му кубику» , причому події А і В — незалежні

НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ. СХЕМА БЕРНУЛІ Взаємно незалежними називаються такі випробування, в яких ймовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробувань. Схема Бернуллі: відбувається n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А може настати чи не настати. Ймовірність здійснення події А в кожному з випробуванні однакова і дорівнює р, ймовірність нездійснення події А є q=1–p. Треба знайти ймовірність Pm, n або Pn(m) того, що подія А настане m разів в цих n випробуваннях. Шукану ймовірність можна обчислити за формулою Бернуллі: або

НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ. СХЕМА БЕРНУЛІ Наслідок 1. Імовірність того, що подія А відбудеться хоча б один раз при проведенні n незалежних випробувань, позначається Pn(m ≥ 1) і обчислюється за формулою де p [0; 1] — ймовірність настання події А у кожному випробуванні. n Наслідок 2. Найімовірніше значення m 0 кількості відбувань події А при проведенні n незалежних випробувань обчислюється за формулою де p [0; 1] — ймовірність настання події А у кожному випробуванні.

НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ. СХЕМА БЕРНУЛІ Яка ймовірність того, що при 7 кидках грального кубика 5 очок випаде рівно 3 рази? Розв’язання Нехай подія А — «при одному кидку випаде 5 очок» . При кожному кидку ймовірність події А постійна і дорівнює Отже, ймовірність нездійснення події А в кожному випробуванні також постійна і дорівнює Шукана ймовірність за формулою Бернуллі дорівнює

УМОВНА ЙМОВІРНІСТЬ Число, яке виражає ймовірність події В за умови, що подія А вже відбулася, називається умовною ймовірністю події В відносно події А і позначається Р(В|А) або PA(B). Теорема. Ймовірність добутку двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої події, якщо перша подія вже відбулася: Р(А В)=РA(B) Р(А).

УМОВНА ЙМОВІРНІСТЬ. ЗАДАЧА В урні 5 білих і 7 синіх кульок. Навмання вибирають одну кульку, а потім другу. Знайти ймовірність того, що із двох вийнятих кульок першою буде біла, а другою — синя. Розв’язання Нехай подія А — «перша взята кулька біла» , подія В — «друга кулька буде синьою» , ймовірність події В при умові , ; що перша — біла Шукана ймовірність по теоремі множення ймовірностей залежних подій дорівнює Р(А В)=РA(B) Р(А)=

СТАТИСТИЧНА ЙМОВІРНІСТЬ Нехай n — кількість усіх випробувань в окремій серії випробувань, а m — кількість тих випробувань, у яких відбувається подія А. Відношення називається відносною частотою події А в даній серії випробувань. Виявляється, що в різних серіях випробувань відповідні частоти для великих n практично збігаються, коливаючись навколо деякого сталого значення Р(А), яке називається статистичною ймовірністю події А: або

СТАТИСТИЧНА ЙМОВІРНІСТЬ Із 10 000 довільно вибраних деталей приблизно 50 бракованих. Скільки приблизно буде бракованих деталей серед 2800 таких же деталей? Розв’язання Нехай подія А — «поява бракованої деталі» , тоді З іншого боку Звідки, Відповідь:

Вибір формули Чи здійснюються всі події обов’язково одночасно під час одиничного випробування? ні так Чи є події несумісними? так Чи є події незалежними? ні так ні Чи однакова ймовірність всіх подій? так ні

ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ Формула Байєса

ФОРМУЛА ПОВНОЇ ІМОВІРНОСТІ Наслідком теорем додавання та множення ймовірностей є формула повної ймовірності. Припустимо, що досліднику потрібно оцінити ймовірність появи якоїсь події А. З цією метою він висуває ряд несумісних гіпотез (всі можливі рішення), які можуть спричинити за собою подію А. Перед початком експерименту усім висунутим гіпотезам приписуються приблизні ймовірності. Причому кожен дослідник може встановлювати приблизні імовірності виходячи із своїх позицій (грунтуючись на власному або іншому досвіді, наявної в його розпорядженні інформації, статистичних даних або інших можливостях). Поява події А залежить від різних обставин (гіпотез), тому вводиться поняття - сукупності «умовних ймовірностей» (ймовірностей появи події А при виконанні тієї чи іншої гіпотези). Ці ймовірності також передбачаються дослідником, виходячи з тих же міркувань.

Нехай деяка подія А може відбутись з однією і лише з однією із несумісних гіпотез (подій) Н 2 Тобто з якою ймовірністю H 1, H 2, H 3, H 4 … Hn можуть відбутися ці події Тобто ймовірності з якими (гіпотези) які утворюють повну групу. може відбутися подія А, якщо відбудеться одна з гіпотез Н 1 (подія, яка спричинить подія Відомі імовірності цих гіпотез А Н 3 Н 4 А P(H 1), P(H 2), P(H 3), P(H 4) … P(Hn) … і умовні ймовірності події А Може відбутись деяка подія Нn Може відбутись якась подія Н 2 (гіпотеза 2) і вона Н 1 (гіпотеза 1) І вона спричинить подію А Так як гіпотези утворюють повну спричинить за собою подію А Потрібно обчислити повну ймовірність події А. группу Повну ймовірність події А можна знайти за формулою або и т. д. Очевидно, що формула повної ймовірності є наслідком основних правил - правила додавання і правила множення ймовірностей.

ФОРМУЛА ПОВНОЇ ІМОВІРНОСТІ На попередньому слайді використали формулу яка є формулою повної ймовірності: де події Н 1, Н 2, …, Нn попарно несумісні і в сумі утворюють простір елементарних подій . При цьому події Н 1, Н 2, …, Нn називають гіпотезами.

ФОРМУЛА ПОВНОЇ ІМОВІРНОСТІ. ЗАДАЧА Підводний човен випускає по атакуючому кораблю торпеду. Ймовірність влучення торпеди в носову частину корабля дорівнює 0, 3; в середню - 0, 5; в кормову - 0, 2; промах неможливий. Імовірність затоплення корабля при попаданні в носову частину 0, 5, в середню частину - 0, 9, в кормову частину - 0, 6. Визначити ймовірність затоплення корабля однієї торпедою. Розглянемо події: Подія А – корабель затоплено; гіпотеза (подія) Н 1 – торпеда влучила в носову частину корабля; гіпотеза (подія) Н 2 – торпеда влучила в середню частину корабля; гіпотеза (подія) Н 3 – торпеда влучила в кормову частину корабля. Ймовірності гіпотез: Р(Н 1)=0, 3; Р(Н 2)=0, 5; Р(Н 3)=0, 2. Умовні ймовірності події А: Імовірність події А за формулою повної ймовірності: Імовірність затоплення корабля однієї торпедою (при випадковому попаданні в будь-яку частину корабля) в середньому становить 72%.

ФОРМУЛА ПОВНОЇ ІМОВІРНОСТІ. ЗАДАЧА Для визначення ймовірностей гіпотез скористаємося класичною схемою визначення ймовірності і формулами комбінаторики. Всього пістолетів 10, із них: З 10 пістолетів приведені до нормального бою тільки 4. З досвіду, ймовірність виконати 4 п. н. б. и 6 не п. н. б. нормативи зі стрільби з пістолета приведеного до нормального бою дорівнює 0, 8, а з не Ймовірність узяти 1 пістолет, який приведений до приведеним до нормального бою - 0, 3. Знайти ймовірність того, що курсант виконає нормативи, нормального бою необхідні для отримання заліку, якщо він стріляє з навмання виданого йому пістолета. Розглянемо події: Подія А – норматив виконано; Ймовірність узяти 1 пістолет, який не приведений гіпотеза (подія) Н 1 – видано пістолет, який приведений до нормального бою гіпотеза (подія) Н 2 – видано пістолет, який не приведений до нормального бою Ймовірності гіпотез: Р(Н 1) = 0, 4; Р(Н 2) = 0, 6. Умовні ймовірності події А: Ймовірність події А за формулою повної ймовірності: Імовірність виконати нормативи зі стрільби з навмання виданого пістолета в середньому становить 50%.

ФОРМУЛА ПОВНОЇ ІМОВІРНОСТІ. ЗАДАЧА Для визначення ймовірностей гіпотез скористаємося класичною схемою визначення ймовірності і формулами комбінаторики. До іспиту 6 студентів підготувалися відмінно, 8 - добре, 4 - задовільно і 2 - погано. В Для визначення ймовірностей гіпотез скористаємося класичною Усього студентів 20, із них : схемою визначення ймовірності і формулами комбінаторики. екзаменаційних білетах - 40 питань. Відмінно підготовлений студент знає всі питання, 6 – відм. ; 8 – добре; 4 – задов. ; 2 – погано. Всьго питань 40, із них: добре підготовлений - 32, задовільно - 20, погано - 10. Знайти ймовірність того, що Ймовірність викликати 1 відмінно підготовленого навмання викликаний студент відповість на 3 поставлених йому питання. Відмінник знає – 40; добре – 32; Розглянемо події: задовільно – 20; погано – 10. Подія А – студент відповів на три поставлених питання; Ймовірності відповісти на 3 питання: Ймовірність викликати 1 добре підготовленого -відмінник Гіпотеза (подія) Н 1 – відповів відмінно; Гіпотеза (подія) Н 2 – відповів добре; Гіпотеза (подія) Н 3 – відповів задовільно Ймовірність викликати 1 задовільно підготовленого Гіпотеза (подія) Н 4 – відповів погано -Добрий рівень підготовки Ймовірності гіпотез: Р(Н 1)=0, 3; Р(Н 2)=0, 4; Р(Н 3)=0, 2; Р(Н 4)=0, 1. Ймовірність викликати 1 погано підготовленого Умовній ймовірності - задовільний ІМОВІРНІСТЬ ПОДІЇ А - поганий рівень Імовірність того, що навмання викликаний студент відповість на іспиті на три поставлених йому питання в середньому становить 53%.

Формула Байеса Наслідком теореми множення і формули повної ймовірності є так звана теорема гіпотез або формула Бейєса. У теорії ймовірностей та статистіці Теоре ма Ба єса (або ж Зако н Ба єса) описує ймовірність події, спираючись на обставини, що могли би бути пов'язані з цією подією. де Н 1, Н 2, …, Нn гіпотези і Р(А) ≠ 0. Формула Байєса застосовується, коли необхідно визначити умовні ймовірності гіпотез Н 1, Н 2, …, Нn за умови, що подія А відбулася і порівняти їх з безумовними чи з іншими умовними ймовірностями n

Формула Байеса Повна група несумісних гіпотез H 1, H 2, H 3, H 4 … Hn. Відомі імовірності появи цих гіпотез P(H 1), P(H 2), P(H 3), P(H 4) … P(Hn). Проведено дослід, в результаті якого з’явилась подія А сумісно з якоюсь із гіпотез. Як змінилися ймовірності гіпотез в зв'язку з тим, що подія А вже відбулася ( ) можна обчислити за формулою ймовірність i -тої гіпотези Ймовірність події А (обчислена за формулою повної ймовірності) Умовна ймовірність події А (сумісно із i – тою гіпотезою)

Формула Байеса Для визначення ймовірностей гіпотез скористаємося класичною схемою визначення ймовірності і формулами комбінаторики. З 14 стрільців 5 потрапляють в мішень з імовірністю 0, 8; 7 - з ймовірністю 0, 6 і 2 - з ймовірністю Всього стрільців 14, з них: 0, 5. Навмання обраний стрілок зробив постріл, але в мішень не вцілив. До якої з груп I група – 5 чол. ; II група – 7 чол. ; За умовою задачі дано найімовірніше належить цей стрілок? III група – 2 чол. умовні ймовірності влучення Розглянемо події: в мішень. Отже вірогідність Імовірність того, що постріл зробив стрілок Подія А – в мішень не не потрапити в мішень влучили; з I групи гіпотеза Н 1 – постріл зробив стрілок з першої групи; дорівнює q = 1 – p гіпотеза Н 2 –постріл зробив стрілок з другої групи; ; гіпотеза Н 3 – постріл зробив стрілок з третьоїгрупи; . Імовірність того, що постріл зробив стрілок Ймовірності гіпотез: Р (Н 1) = 0, 357; Р (Н 2) = 0, 5; Р (Н 3) = 0, 143. Сума ймовірностей гіпотез з II групи після випробування, також, як Умовні ймовірності події А: і до випробування, завжди повинна дорівнювати Імовірність того, що постріл зробив стрілок одиниці: Знайдемо ймовірність події А за формулою повної ймовірності: з III групи 0, 208+0, 584+0, 208=1 Переоцінку ймовірностей гіпотез про належність стрілка до однієї з груп після випробування проведемо за формулою Байєса: Як видно з розрахунку, результат випробування змінив ймовірності прийнятих гіпотез і дозволяє зробити висновок про те, що найімовірніше стрілок належить до II групи.

ЯК ВСЕ ЦЕ ЗАСТОСОВУВАТИ НА ПРАКТИЦІ? НАВІЩО ПОТРІБНІ ФОРМУЛИ БАЙЄСА І НЕ ТІЛЬКИ?

Наприклад, припустімо, що хтось цікавиться, чи має рак певна особа, і знає вік цієї особи. Якщо рак пов'язаний з віком, то, застосовуючи теорему Баєса, інформацію про вік осіб можливо використати для точнішої оцінки ймовірності того, що вони мають рак.

МЕДИЦИНА У байєсовій інтерпретації ймовірність вимірює міру впевненості. Теорема Баєса відтак пов'язує міру впевненості у висловленні до та після врахування свідчення. Наприклад, припустімо, що вважається із впевненістю 50%, що монета вдвічі ймовірніше падає орлом, ніж решкою. Якщо монета підкидається кілька разів та спостерігаються результати, то міра впевненості може рости, зменшуватися або залишатися такою ж, у залежності від результатів. Припустімо, що ми хочемо знати ймовірність того, що якась особа має рак, але ми нічого не знаємо про неї. Незважаючи на відсутність жодних відомостей про особу, якусь імовірність може бути призначено на основі загальної поширеності раку. Заради цього прикладу уявімо, що нею є 1%. Це є відомим як базовий рівень, або апріорна ймовірність мати рак. «Апріорна» відповідає часу до того моменту, як нас буде поінформовано про даний конкретний випадок.

МЕДИЦИНА Далі, уявімо, що ми з'ясували, що тій особі 65 років. Якщо припустити, що рак та вік є пов'язаними, то цю нову порцію інформації може бути використано для кращої оцінки ризику тієї особи мати рак. Точніше, ми хотіли би знати ймовірність того, що особа має рак, якщо відомо, що їй 65 років. Ця величина є відомою як поточна ймовірність, де «поточна» відповідає теоретичній ситуації після з'ясування інформації про даний конкретний випадок. Для того, щоби застосувати знання про вік тієї особи в поєднанні з теоремою Баєса, потрібні дві додаткові порції інформації. Зауважте, проте, що ця додаткова інформація не стосується конкретно тієї особи. Потрібна інформація є наступною: 1. Ймовірність мати вік 65 років. Припустімо, що нею є 0. 2%. 2. Ймовірність того, що особа, яка має рак, має вік 65 років. Припустімо, що нею є 0. 5%. Зауважте, що вона є більшою за попереднє значення. Це відображає той факт, що люди з раком є непропорційно 65 -річними.

МЕДИЦИНА Може стати несподіванкою, що хоча перебування у віці 65 років і збільшує ризик мати рак, ймовірність тієї особи мати рак все одно є досить низькою. Це тому, що низьким є базовий рівень раку (незалежно від віку). Це показує як важливість базового рівня, так і те, що ним зазвичай нехтують. Нехтування базовим рівнем призводить до серйозного спотворення інтерпретації статистики; отже, потрібно приділяти особливу увагу тому, щоби уникати таких помилок. Знайомство з теоремою Баєса є одним із шляхів боротьби з природною схильністю нехтувати базовими рівнями. Задачі із застосуванням теореми Баєса часто легше зрозуміти, застосовуючи задані в задачі умови до великого набору спостережень. Припустімо, наприклад, що якась спільнота складається зі 100 000 людей. Відповідно до умови задачі, 1% цієї генеральної сукупності, або 1 000 людей, матимуть рак. 0. 2% від цієї генеральної сукупності, або 200 людей, матимуть вік 65 років. Із 1 000 людей з раком лише 0. 5%, або 5 людей, будуть 65 -річними. Таким чином, очікується, що з 200 людей, які мають вік 65 років, лише 5 матимуть рак. 5/200 = 2. 5%.

ПОГАНІ ЗВИЧКИ Припустімо, що тест на вживання наркотиків має чутливість 99% та специфічність 99%. Тобто, цей тест даватиме 99% вірних позитивних результатів для тих, хто вживає наркотики, і 99% вірних негативних результатів для тих, хто не вживає. Припустімо, що 0. 5% людей вживають наркотики. Якщо для випадково вибраної особи перевірка виявляється позитивною, то якою є ймовірність, що вона вживає наркотики? Незважаючи на видиму точність перевірки, якщо індивідуальні перевірки дають позитивний результат, то ймовірніше, що вони не вживають наркотиків, ніж що вони їх вживають. Це ще раз свідчить про важливість базових рівнів.

ПОГАНІ ЗВИЧКИ Цей несподіваний результат виникає тому, що кількість тих, хто не вживає, є дуже великою у порівнянні з кількістю тих, хто вживає; таким чином, кількість хибних позитивних результатів (0. 995%) переважує кількість вірних позитивних результатів (0. 495%). На конкретних цифрах, якщо перевірено 1000 осіб, то очікується 995 тих, хто не вживає наркотиків, і 5 тих, хто вживає. Із 995 тих, хто не вживає, очікується 0. 01 × 995 ≃ 10 хибних позитивних результатів. Із 5 тих, хто вживає, очікується 0. 99 × 5 ≃ 5 вірних позитивних результатів. Із 15 позитивних результатів лише 5, близько 33%, є істинними. Примітка: Важливість специфічності може бути проілюстровано показуванням, що навіть якщо чутливість є 100%, а специфічність є 99%, то ймовірність того, що особа вживає наркотики, є ≈33%, але якщо специфічність змінюється до 99. 5%, а чутливість падає до 99%, то ймовірність того, що особа вживає наркотики, виростає до 49. 8%.