Теория информации Лекция E Циклические коды

Теория информации Лекция E Циклические коды

Теория информации Питерсон 232 -301, 391 -410 Лекция E Циклические коды

Теория информации Циклическим кодом называется линейный n, k код, обладающий следующим свойством: Если – вектор кода, то результат циклического сдвига этой последовательности – тоже вектор кода. Теорема. Циклический код есть идеал в алгебре многочленов по модулю многочлена f(x)=xn+1. 1. Докажем в начале: идеал в алгебре многочленов по mod f(x)= xn+1 – циклический код. Лекция E Циклические коды

Теория информации а) Линейный код – векторное подпространство векторного пространства всех последовательностей длины n. Идеал - также векторное подпространство векторного пространства всех последовательностей длины n. Отсюда Идеал – линейный код. Лекция E Циклические коды

Теория информации б) Пусть принадлежит идеалу J. Тогда по определению идеала. Но . Откуда , т. е. циклический сдвиг принадлежит идеалу, ч. т. д. Лекция E Циклические коды

Теория информации 2. Докажем обратное утверждение: циклический код – идеал. Пусть - вектор кода. Тогда - вектор кода как его циклический сдвиг. Следовательно - вектор кода, i=0, 2, …, n-1. Далее, пусть b(x) – вектор из кольца многочленов по mod f(x)= xn+1. Тогда В правой части – линейная комбинация векторов, т. е. вектор кода. Отсюда . Следовательно, циклический код – идеал. Лекция E Циклические коды

Теория информации Задание циклического кода. степень n-k степень k Порождающая матрица несистематического циклического кода. ; Лекция E Циклические коды

Теория информации Порождающая матрица несистематического циклического кода 1 0 1 1 0 0 0 G= ; G= 0 1 1 0 0 ; 0 0 1 1 0 0 0 1 1 = Лекция E Циклические коды

Теория информации Проверочная матрица несистематического циклического кода. Для условий примера: 7, 4 код Хэмминга c dmin=3 Лекция E Циклические коды

Теория информации Задание несистематического циклического кода многочленом g(x) Лекция E Циклические коды

Теория информации Задание несистематического циклического кода многочленом g(x) Выводы: 1. Кодер несистематического циклического кода – схема умножения многочленов. 2. V(x) принадлежит коду, если делится на g(x) (без остатка). Декодер в режиме обнаружения ошибок – схема деления V(x) на g(x). Лекция E Циклические коды

Теория информации Задание несистематического циклического кода многочленом g(x) Пример: Лекция E Циклические коды

Теория информации Получение порождающей матрицы систематического циклического n, k кода степень n-k степень k Лекция E Циклические коды

Теория информации Получение порождающей матрицы систематического циклического n, k кода степень n-k степень k k линейно независимых векторов – базис кода. Степень меньше n-k. Вектор кода: Лекция E Циклические коды

Теория информации Получение порождающей матрицы систематического циклического n, k кода Лекция E Циклические коды

Теория информации Пример Лекция E Циклические коды

Теория информации Лекция E Циклические коды

Теория информации Получение алгоритма задания систематического циклического кода V(x)=g(x)d(x); В соответствии с что такое R(x)-? ? ? алгоритмом Евклида R(x) Степень R(x) меньше степени n-k; – остаток от деления на g(x); Лекция E Циклические коды

Теория информации Алгоритм задания систематического циклического кода 1. Умножаем a(x) на и запоминаем. 2. Определяем остаток от деления на g(x), т. е. определяем R(x). 3. Получаем вектор кода так как степень R(x) меньше степени g(x) – степень n-k, то это сложение просто приписывается. Лекция E Циклические коды

Теория информации Пример: 0 1 a(x)=x+x 3 1 2 Делим на g(x): V(x)=a(x)x 3+R(x)=x 6+x 4+1 1 0 0 0 1 0 1 = R(x) проверочные информационные Лекция E Циклические коды

Теория информации Линейные переключательные схемы. aigi ai+ai +1 элемент памяти блок умножения ai+1 блок сложения Схема умножения многочленов а(x)g(x) Схема умножения 1 способ: выход g 2 g 1 g 0 g 3 1 2 3 вход а(х) Лекция E Циклические коды

Теория информации Пример : вход 1 2 3 выход 0 0 0 a 1 0 0 c 4=a 1 g 3 a 0 a 1 0 c 3=a 1 g 2+a 0 g 3 0 0 a 1 c 2=a 0 g 2+a 1 g 1 0 0 0 a 0 c 1=a 0 g 1+a 1 g 0 0 0 c 0=a 0 g 0 В поле GF(2): =1+ выход а(х) 1 2 3 Лекция E Циклические коды

Теория информации Схема умножения 2 способ : 1 2 3 выход g 0 g 1 g 2 g 3 вход а(х) Пример : вход 1 2 3 выход 0 0 0 a 1 g 0 a 1 g 1 a 1 g 2 c 4=a 1 g 3 a 0 g 0 a 0 g 1+a 1 g 0 a 0 g 2+a 1 g 1 c 3=a 0 g 3+a 1 g 2 0 0 a 0 g 0 a 0 g 1+a 1 g 0 c 2=a 0 g 2+a 1 g 1 0 0 a 1 g 3 c 1=a 0 g 1+a 1 g 0 0 0 c 0=a 0 g 0 Лекция E Циклические коды

Теория информации В поле GF(2): =1+ ; 1 2 3 выход вход Схема деления выход - g 0 -g 1 -g 2 g 3 -1 выход 1 2 3 а(х) Лекция E Циклические коды

Теория информации Пример : вход 1 2 3 выход 0 0 a 4 0 a 3 a 4 0 a 2 a 3 a 4 0 a 1+a 4 g 3 -1(-g 0) a 2+a 4 g 3 -1(-g 1) a 3+a 4 g 3 -1(-g 2) [a 3+a 4 g 3 -1(-g )]g -1 2 3 a 0+[a 3+ a 1+a 4 g 3 -1(-g 0)+[a 3+ a 2+a 4 g 3 -1(-g 1)+[a 3+ +a 4 g 3 -1(-g 2)]* *g 3 -1(-g 0) *g 3 -1(-g 1) *g 3 -1(-g 2) (Результат деления) оста- ток Лекция E Циклические коды

Теория информации Лекция E Циклические коды

Теория информации В поле GF(2): =1+ выход вход 1 2 3 а(х) В поле GF(2): =1+x; вход выход 1 Лекция E Циклические коды

Теория информации Схема одновременного умножения и деления. вых од -g 0 -g 1 -g 2 g 3 - 1 2 3 b 0 b 1 b 2 b 3 вход а(х) Лекция E Циклические коды

Теория информации выход -g 0 -g 1 -g 2 g 3 -1 2 3 b 0 b 1 b 2 вход а(х) Степень b(x) меньше степени g(x)

Теория информации выход -g 0 -g 1 g 2 -1 1 2 3 b 0 b 1 b 2 b 3 вход а(х) Степень g(x) меньше степени b(x) Лекция E Циклические коды

Теория информации Кодер f(x)=1+x 7; n=7 g(x)=1+x 2+x 3; n-k=3; k=4 K 1 выход K 2 7, 4 циклический код a(x)=a 0+a 1 x+a 2 x 2+a 3 x 3 1 2 3 xn-k=x 3 вход а(х) (кодер на базе регистра с n-k разрядами) Лекция E Циклические коды

Теория информации Ни один из векторов циклического ( n , k )- кода не является пакетом длины п- k или меньше. Следовательно, любой циклический (п, k )- код может обнаруживать любой пакет ошибок длины п -k или меньше. Доля пакетов ошибок длины b>n-k, которые не могут быть обнаружены циклическим (n, k)-кодом, равна q-(n-k-1)/(q -l), если b=n- k+1, и равна q-(n-k), если b>n-k+1. Лекция E Циклические коды