Теория игр в экономике Лекция 1-2 Введение в

Теория игр в экономике Лекция 1-2 Введение в теорию игр. Основные определения

Основные определения Определение 1. Пусть заданы множества Si , i = 1,2,3,…,n элементов, из которых игрок с номером i I может выбрать любой элемент xi Si . Любой элемент xi Si называется стратегией i –го игрока, а Si - множеством его стратегий. Стратегия каждого игрока может быть многомерным набором чисел, при этом размерности у различных игроков могут быть различными.

Основные определения Определение 2. Набор выбранных всеми игроками стратегий , т.е. набор называется ситуацией. Множество всех ситуаций ( декартовое умножение) обозначается через и означает, что из каждого множества Si выбирается по одному элементу xi и составляется набор .

Основные определения Определение 3. Пусть на множестве ситуаций определены n функций . Если число Hi (ŝ) означает сумму, которую получит i –ый игрок при ситуации , то называют функцией выигрыша i –го игрока.

Основные определения Определение 4. Игрой называют процесс, при котором каждый из игроков в какой-то момент выбирает себе стратегию и в возникшей ситуации получает выигрыш . Если задан набор , то говорят, что определена игра G, а сам набор G называют математической моделью игры или игрой G .

Основные определения Пусть в игре G возникла ситуация . Тогда в этой ситуации каждый из игроков выигрывает Если же игрок под номером i заменит свою стратегию на стратегию , то возникнет ситуация , которую будем обозначать .

Основные определения Определение 5. Ситуация называется приемлемой для i – го игрока, если Определение 6. Ситуация называется решением игры или ситуацией равновесия, если она является приемлемой для всех игроков, т.е. если указанное выше условие выполняется для всех . Координата ситуации равновесия называется оптимальной стратегией i -го игрока.

Определение 6. Игра в нормальной форме задается следующей совокупностью объектов: где множество игроков множество стратегий игрока i функция выигрыша игрока i

Профиль стратегий всех игроков: Профиль стратегий всех игроков, кроме i – го (т.е. остальных игроков): При этом очевидно, что

Определение 7. Для игры в нормальной форме стратегия строго доминирует стратегию , если (Строго) доминирующая стратегия (если она существует) (строго) доминирует любую другую стратегию данного игрока. (Строго) доминируемая стратегия – это такая стратегия игрока, которую (строго) доминирует некоторая другая стратегия данного игрока

Определение 8. Равновесием в (строго) доминирующих стратегиях называется профиль (строго) доминирующих стратегий, если такие стратегии существуют для каждого игрока.

Задача теории игр —по данному описанию игры предсказать, какие стратегии выберут игроки и каким при этом будет исход игры, или, по крайней мере, сузить множество прогнозируемых исходов. В некоторых случаях предсказать исход игры можно однозначно, если исходить из предположения о том, что каждый игрок рационален.

Пример последовательного исключения строго доминируемых стратегий (СДС)

Пример последовательного исключения СДС. После исключения П:

Пример последовательного исключения СДС. После исключения Н: Стратегии , которые не отбрасываются при последовательном исключении СДС называют рационализируемыми.

Пример игры, в которой последовательное исключение СДС не дает результата: Отсутствуют доминируемые стратегии

Пример игры, в которой последовательное исключение СДС не дает результата: Чтобы проверить отсутствие доминируемых стратегий, в каждом столбце подчеркнем max выигрыш 1 игрока, в каждой строке - max выигрыш 2-го игрока.

Выводы Всякая стратегия является наилучшей при некотором выборе другого игрока. В этом случае подход, основанный на доминировании, бессилен, но напрашивается другой более универсальный подход.

Определение 9. Равновесием Нэша (РН) в игре в нормальной форме называется такой профиль стратегий s* всех игроков, что: Основные определения Отличие РН от доминирования состоит в том, что в РН стратегия игрока должна быть «хорошей» только в ответ на равновесные стратегии остальных игроков.

Определение 10. Отображение отклика i – го игрока сопоставляет каждому набору стратегий других игроков множество стратегий i-го игрока, каждая из которых является наилучшим ответом на s-i . Каждая стратегия такова, что Определение РН через отображение отклика: s* - РН, если В случае, если отображение отклика является функцией:

Пример. Для последней игры функции отклика такие: для первого игрока - на действия второго для второго игрока - на действия первого

Другой пример – «Дилемма заключенного». Здесь функции отклика такие: для первого игрока - на действия второго для второго игрока - на действия первого В данном случае стратегия СС также является РН, как и любое равновесие в доминирующих стратегиях

«Семейный спор» Молодые супруги хотят вместе провести вечер. Муж (игрок 1) хочет пойти на бокс, а жена (игрок 2) хочет послушать оперу. Муж, вообще говоря, готов и оперу послушать, но бокс любит больше. Жена могла бы пойти на бокс, но предпочитает оперу. По каким – то причинам (например, испортилась мобильная связь) они должны ехать к месту встречи без предварительной договоренности. Если они не встретятся, то это будет огорчением для обоих.

Нормальная форма игры имеет вид:

Здесь два РН:

Утверждение 1. Пусть в игре в нормальной форме последовательное исключение СДС приводит к единственному профилю стратегий s*, тогда s* является единственным РН в данной игре. Доказать! Утверждение 2. Пусть в игре в нормальной форме профиль стратегий s* является РН. Тогда стратегии si* не могут быть отброшены при последовательном исключении СДС. Доказать!

1. Какие стратегии останутся при последовательном исключении СДС? 2. Каковы равновесия Нэша (РН)?