Теория игр Работу вып олнили Ор лова М

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Теория игр Работу вып олнили: Ор лова М. С. , Х рамцова Ю. А.

Определение 0 Теория игр — математический метод изучения игр оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. 0 Теория игр — это раздел прикладной игр математики, точнее — исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике чуть реже в других общественных науках— социологии, политологии, психологии

История 1944 год Джон фон Нейман Оскар Моргенштерн «Теория игр и экономическое поведение»

История Джон Неш 1949 год принципы «управленческой динамики» разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение «равновесие по Нэшу»

История Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр и экономической теории стали: 0 Роберт Ауманн 0 Райнхард Зелтен 0 Джон Нэш 0 Джон Харсаньи 0 Уильям Викри 0 Джеймс Миррлис 0 Томас Шеллинг 0 Джордж Акерлоф 0 Майкл Спенс 0 Джозеф Стиглиц 0 Леонид Гурвиц 0 Эрик Мэскин 0 Роджер Майерсон 0 Ллойд Шепли 0 Элвин Рот

Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации: 0 наличие нескольких участников; 0 неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий; 0 различие (несовпадение) интересов участников; 0 взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников; 0 наличие правил поведения, известных всем участникам.

Нормальная форма игры Игра в нормальной форме состоит из трех элементов: 0 множества игроков, 0 множества чистых стратегий каждого игрока, 0 множества платежных функций каждого игрока. n – мерная таблица Игрок 1 U Игрок 1 D Игрок 2 L Игрок 2 R 4, 3 – 1, – 1 0, 0 3, 4 Нормальная форма для игры с 2 игроками, у каждого из которых по 2 стратегии.

Функция полезности 0 В общем случае предполагается, что игрок имеет предпочтения на множестве исходов. 0 Игрок может сравнить любые два исхода: 1. Игрок отдает предпочтение одному из двух исходов. 2. Игрок остаётся безразличным между обоими исходами. 0 При определенных дополнительных предположениях относительно предпочтений игрока можно показать, что существует функция полезности Неймана. Монгенштерна представляющая полезность каждого исхода как действительное число u(s), при чем если u(s)≥u(s’) <=> игрок предпочитает (или безразличен) исход s исходу s’. В нашем примере первый игрок предпочитает исход (U, L) исходу (D, R) так как 4>3.

Игры с полной/неполной информацией 0 Все игроки знают чистые стратегии и функции полезности всех остальных игроков. 0 В играх с неполной информацией некоторые игроки могут не знать функции полезности других игроков (то есть не знать некоторые конкретные значения для ячеек таблицы из нашего примера). 0 Представление игры в нормальной форме может быть использовано для нахождения доминируемых стратегий.

Формальное представление 0 — множество игроков. 0 У каждого игрока имеется конечный набор чистых стратегий . 0 Исход игры — это комбинация чистых стратегий каждого игрока: , где 0 Функция полезности i-го игрока (функция платежа): 0 Def. : В нормальной форме игра представляется как множество: , где — множество множеств чистых стратегий каждого игрока, — множество функций платежей для каждого игрока

Равновесие Неша Так в теории игр называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения.

Формальное представление 0 Допустим, (S, H)— игра n лиц в нормальной форме, где S —набор чистых стратегий, а H — набор выигрышей. 0 Когда каждый игрок выбирает стратегию в профиле стратегий , игрок получает выигрыш . 0 Выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком , но и от чужих стратегий. 0 Профиль стратегий является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии с на не выгодно ни одному игроку , то есть для любого 0 Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

Коалиционные игры Коалиционныеные игры получаются в тех случаях, когда, в игре n игроков разрешается образовывать определённые коалиции. 0 Обозначим через N множество всех игроков, N={1, 2, . . . , n}, а через K любое его подмножество. Пусть игроки из K договариваются между собой о совместных действиях и, таким образом, образуют одну коалицию. 0 Очевидно, что число таких коалиций, состоящих из r игроков, равно числу сочетаний из n по r , то есть , а число всевозможных коалиций равно = 2 n. 0 Из этой формулы видно, что число всевозможных коалиций значительно растёт в зависимости от числа всех игроков в данной игре.

Коалиционные игры 0 Функция , ставящая в соответствие каждой коалиции K наибольший, уверенно получаемый его выигрыш (K), называется характеристической функцией игры. 0 Для бескоалиционной игры n игроков (K) может получиться, когда игроки из множества K оптимально действуют как один игрок против остальных NK игроков, образующих другую коалицию (второй игрок). 0 Характеристическая функция называется простой, если она принимает только два значения: 0 и 1. Если характеристическая функция простая, то коалиции K, для которых (K)=1, называются выигрывающими, а коалиции K, для которых (K) = 0, проигрывающими.

Коалиционные игры 0 Если в простой характеристической функции выигрывающими являются те и только те коалиции, которые содержат фиксированную непустую коалицию R, то характеристическая функция , обозначаемая в этом случае через R, называется простейшей. 0 Содержательно простые характеристические функции возникают, например, в условиях голосования, когда коалиция является выигрывающей, если она собирает более половины голосов (простое большинство) или не менее двух третей голосов (квалифицированное большинство).

Пример: оценка результатов голосования в Совете безопасности ООН. 0 Выигрывающими коалициями являются все коалиции, состоящие из всех пяти постоянных членов Совета плюс ещё хотя бы один непостоянный член, и только они. 0 В голосующем коллективе имеется некоторое ядро , голосующее с соблюдением правила вето , а голоса остальных участников оказываются несущественными. (Простейшая характеристическая функция ).

Пример: оценка результатов голосования в Совете безопасности ООН. Обозначим через G характеристическую функцию бескоалиционной игры. Эта функция обладает следующими свойствами : 0 Персональность G( ) = 0 0 Супераддитивность G(K L) G(K) + G(L), если K, L N, K L 0 Дополнительность G(K) + (NK) = (N) Распределение выигрышей (делёж) игроков должно удовлетворять следующим естественным условиям: 0 xi ( i ), для i N 0 = (N) 0 Таким образом, вектор x = (x 1, . . . , xn), удовлетворяющий условиям индивидуальной и коллективной рациональности, называется дележём в условиях характеристической функции .

Скачать презентацию Теория игр Работу вып олнили Ор лова М

ОРЛОВА, ХРАМЦОВА.pptx

Количество слайдов: 17