ТЕОРИЯ ГРУПП Пусть имеется произвольное множество Х, бинарной операцией называется отображение: Таким образом, упорядоченной паре элементов ставится в соответствие некий элемент С из Х. Записывается это так: или a b=с На множестве Х можно ввести много различных операций, например, на множестве целых чисел кроме операций сложения, умножения и вычитания можно ввести такие операции:
Говорят, что операция определяет на множестве Х алгебраическую структуру, или что упорядоченная пара (Х, ) является алгебраической системой. Бинарная операция называется ассоциативной, если Бинарная операция называется коммутативной, если Задача Множество целых чисел и операция вычитания: (Z, -)
А) проверяем является ли ассоциативной: а-(в-с)=а-в+с и (а-в)-с=а-в-с – операция не ассоциативна. Б) а-в и в-а – операция не коммутативна Множество Х с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Пусть задана алгебраическая система (х, ), элемент е называется единичным, если
Теорема Если в алгебраической системе (х, ) существует единичный элемент, то он единственный. Доказательство
Полугруппа с единичным элементом называется моноидом. Элемент а моноида (Х, , е) называется обратимым, если для него существует такой элемент b из множества Х, что = е Элемент b, естественно, тоже обратим: b обозначается а-1 и (а-1)-1 = а Моноид, для каждого элемента, для которого существует обратный элемент, называется группой. 1) Является ли пара алгебраической системой. 2) Является ли операция ассоциативной (полугруппа) 3) Имеется ли единичный элемент (моноид) 4) Имеется ли к каждому элементу обратный элемент (группа) Группа, бинарная операция которой коммутативна, называется абелевой группой.
Числовые примеры групп (Z, +) 1) сложение не выводит за пределы Z – алгебраическая система. 2) операция сложения ассоциативна – полугруппа. 3) единичный элемент (0 - единичный элемент) – моноид. 4) для каждого целого числа есть обратный элемент (противоположный) – группа.
Числовые примеры групп (Z, *) 1) умножение не выводит за пределы Z – алгебраическая система. 2) операция умножения ассоциативна – полугруппа. 3) единичный элемент (1 - единичный элемент) – моноид. 4) не для каждого целого числа есть обратный элемент – не группа.
Свойства элементов группы. Теорема Если в полугруппе имеется левый единичный элемент и для каждого элемента существует левый обратный элемент, то все левые обратные элементы являются и правыми обратными элементами того же элемента, т. е. просто обратным. Левый единичный элемент является правым единичным элементом и значит просто единичным. Доказательство 1) 2) Докажем, что если b*a=e => a*b=eл 3) Дано b*a=eл
Умножим это равенство справа на b: b*a*b= *b=b (из первого условия это равно b) b*a*b=b (из второго условия для элемента b существует свой левый обратный элемент, обозначим его С и умножим последнее равенство) – С*b*a*b=С*b => a*b=eл Рассуждения называются теоретикогрупповыми если: 1) нигде не обсуждается природа элементов множества 2) нигде не обсуждается природа операции над элементами множества
Задача Имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них к предметов, при этом полагается, что любые 2 предметы можно различить между собой и отобранный элемент обратно не возвращается. Число размещений из n по к: Если берем последовательно – перестановки: (0!=1) Число способов выбрать к различных предметов из совокупности в n предметов, не учитывая порядка появления, называется числом сочетаний из n по к:
Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друга? Шахматную доску заполняем последовательно сверху вниз по горизонталям. Эта пара перестановок чисел от 1 до 8 называется подстановкой. 1 2 3 4 5 6 7 8 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 Замена одной перестановки из n элементов другой перестановкой из n элементов называется подстановкой, при этом для каждой подстановки должен быть указан алгоритм, согласно которому элемент верхней перестановки заменяет элемент нижней перестановки.
1 2 3 4 2 1 3 4 3 1 2 4 4 1 2 3 1 2 4 3 2 1 4 3 3 1 4 2 4 1 3 2 4 2 3 1 4 3 2 1 4 4 2 1 3 4 2 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 1 1 4 2 3 2 4 1 3 3 4 1 2 4 3 2 1 1 4 3 2 2 4 3 1 3 4 2 1 4 3 1 2 Р= 3 2 1 4 2 4 3 1 Для того чтобы полностью определить подстановку нужно: 1) Определить конечное множество элементов, над которыми производится подстановка. Это конечное множество называется областью определения подстановки. 2) Определить алгоритм, по которому для какого-то элемента области определения подстановки можно указать элемент, в который его переводит подстановка. Если ai < 2, 5 , то элемент ai переводится в то элемент ai+2, иначе в элемент 5 – ai элемент Две подстановки считаются одинаковыми, если их области определения совпадают, и каждый элемент их совместной области определения переводится в один и тот же элемент.
Q= 1 2 3 4 2 1 Если в подстановке 2 столбца поменять местами, то подстановка не изменится. Любую подстановку можно записать в следующем виде: В 1 -й перестановке числа расположены строго по возрастанию. Последовательное выполнение подстановок. P= 3 2 1 4 Q= 4 2 3 1 2 4 3 1 1 2 4 3 Выпишем новую перестановку следующим образом: перестановка Р переводит число 3 в число 2, а Q число 2 в 2. R= 3 2 1 4 3 R - произведение перестановок P u Q
Группа подстановок 1)Алгебраическая система? Операция умножения не выводит из множества подстановки, т. е. операция умножения и множество подстановок образуют алгебраическую систему. 2) Ассоциативность? (P*Q)*R= = = =
3)Единичный элемент – е = = P*(Q*R)= = = = Умножение подстановок сводится к перестановке столбцов – эта алгебраическая система – полугруппа. 3) Единичный элемент – е = = А*е = е*а =а - моноид 4) =
Q*P= * = Если циклическая подстановка имеет область определения из n чисел, то её n-тая степень равна тождественной подстановке. Минимальная степень, при возведении в которую подстановка обращается в единичный элемент, т. е. с тождественную подстановку – наименьшее общее кратное длин циклов, ан которые раскладывается подстановка. Наименьшее число n, при котором степень подстановки Р в этой n-ой степени совпадает с тождественной подстановкой называется порядком подстановки. Отсюда следует, что любая подстановка имеет конечный порядок. Цикл второго порядка называется транспозицией; любую подстановку можно разложить на произведение транспозиций.
* = * = Пример: Циклическая подстановка: (0 1 2 3 4)=(0 1)*(0 2)*(0 3)*(0 4) (1 0 2 3 4) (1 2 0 3 4) (1 2 3 0 4) (1 2 3 4 0) транспозиция * = * = = * = Любая транспозиция является подстановкой обратной самой к себе. Если имеется группа с множеством G и операцией , то если для элемента а из G существует такой наибольший элемент к, то к называется порядком элемента.
(G, ) a G (a e) Если такого числа к нет, то элемент называется элементом бесконечного порядка. Каждый элемент, где /к/>1 увеличивается, если /к/<1 – уменьшается. Если пара <G, > является группой и множество G (Н G), то пара <Н, > будет называться подгруппой группы G, если выполняются 3 условия: 1) операция не выводит за пределы множества Н. 2) единичный элемент принадлежит множеству Н. 3) вместе с каждым элементом а во множество Н входит и его обратный элемент а-1.
Пример: Множество рациональных чисел относительно операции сложения: 1) + не выводит за пределы множества 2) ассоциативно 3) моноид 4) Группа Её подгруппа множества целых чисел относительно сложения четные числа, все числа, делящиеся на к при любом к. Теорема Кэли: Если <G, > образует группу и мощность множества G конечна (модуль), то эта группа изоморфна некоторой группе подстановок.
ТЕОРИЯ ГРАФОВ. 1736 г – возникновение теории графов. Леонард Эйлер опубликовал статью о Кёнигсбергских мостах. Графом называется упорядоченная пара (G, U). Множество G называется множеством вершин графа, множество U- подмножество декартового произведения U G x G, множество ребер графа. Если множество U это множество упорядоченных пар, т. е. в каждую вершину ребро либо входит, либо выходит из вершины, то граф называется ориентированным графом или орграфом. Если какую-либо пару вершин соединяет больше одного ребра, то такой граф называется мультиграфом. Если во множестве U встречаются пары вида (V, V), тоесть ребро исходит из вершины и возвращается в нее, то такое ребро называется петлей, а граф - графом с петлями.
Множество U удобно задавать в виде матрицы смежности для неориентированного графа или матрицы инциденций – для ориентированного графа. Эти матрицы являются квадратными матрицами, число строк и столбцов равно количеству вершин. На пересечении I строки и j столбца матрицы смежности стоит число, равное количеству дуг, соединяющих вершины I u j. В матрице инциденций выходящие дуги считаются со знаком «-» , входящие – «+» . Элементы множества U для неориентированного графа называются ребрами, а для ориентированного – дугами.
Матрица смежности 0 2 0 1 2 0 2 1 0 2 0 1 1 0 Матрица смежности всегда симметрична относительно главной диагонали. 0 -2 0 -1 1 0 -2 -1 0 2 0 1 1 1 -1 0
Если 2 графа различаются только нумерацией вершин, но сохраняют при этом отношение инцидентности, то такие 2 графа называются изоморфными. Если какой-то граф можно изобразить на плоскости таким образом, что его ребра не пересекаются, то такой граф называется планарным.
Обыкновенный граф (граф без петель и кратных ребер) называется полным и обозначается К , где n – количество вершин, если каждая его пара вершин соединены ребром. Граф К Если множество вершин графа можно разбить на 2 непересекающихся подмножества, так что каждая пара вершин, принадлежащих одному и тому же подмножеству не соединены ребром и каждая пара вершин, принадлежащие разным подмножествам соединена ребром, то такой граф называется полным двудольным графом и обозначается Кm, n, где m u n – количества вершин в подмножестве.
Если имеется граф с множеством вершин G и ребер U (G, U), G 1 подмножество множества G G 1 G и U 1 подмножество множества U U 1 U, причем если 2 вершины х1 и х2 принадлежат множеству G 1 и эти 2 вершины были соединены ребром в графе (G, U), то это ребро принадлежит и множеству U 1, тогда граф (G 1, U 1) называется частью графа (G, U). Если множество G 1 совпадает с множеством G и U 1 - собственное подмножество и G 1= G U 1 U, т. е. все вершины исходного графа входят в его часть, а ребра не все, то такой граф называется суграфом данного графа. Если G 1 G не все вершины входят в часть графа, а те вершины, которые были соединены в графе G, будут соединены и в графе G 1, то такая часть графа называется подграфом.
U= Часть графа U 1= Суграф Подграф U 3 =
Последовательность вершин (не обязательно различных) V 0, V 1, …Vn называется маршрутом, если каждая пара вершин (Vi-1; Vi) I=1 -n соединены ребром. Если V 0=Vn, то такой маршрут называется замкнутым; в частности маршрут может состоять из одного ребра. Если маршрут имеет вид V 0 V 0, то это ребро – петля. Если вершины V 0 и Vn можно соединить каким- либо маршрутом, то эти 2 вершины называются связанными. Если каждую пару вершин графа можно соединить маршрутом (т. е. каждая пара вершин связана), то такой граф называется связным. Если все ребра в маршруте различны – называется цепью. Если и все вершины различны, то постой или элементарной цепью. Замкнутая цепь называется циклом. В ориентированном графе маршрут является ориентированным, т. е. передвигаться по дугам можно только в направлении стрелок. Ориентированный маршрут, в котором дуги не повторяются, называется путем и замкнутый путь – контуром.
Если в ориентированном графе каждая упорядоченная пара вершин соединена путем, то такой граф называется сильно связанным. Если в ориентированном графе каждая пара вершин соединена каким-либо маршрутом без учета направления дуг, то такой граф слабо связный. Если в данном графе существует цикл, содержащий все ребра графа, то такой граф называется Эйлеровым и сам цикл Эйлеровым циклом. Определить является ли граф Эйлеровым просто: для этого необходимо и достаточно, чтобы степень каждой его вершины (валентность) была четной. E={[V 2, V 2 ], [V 2, V 5], [V 5 , V 2 ], [V 5 , V 3 ], [V 3 , V 5], [V 3, V 3 ]}
несвязный мультиграф с петлями и изолированными точками U= Валентность вершин: V 2 =4; V 3 =4; V 5 =4; V 1 u V 4 =0 Деревья. Ребро связного графа называется мостом, если после его удаления граф теряет связность, т. е. распадается на 2 отдельных связных компоненты.
Деревом называется конечный связный граф без циклов. Основная теорема о деревьях. Следующие утверждения эквивалентны. 1. Граф G является деревом, т. е. связным графом без циклов. 2. G не содержит циклов и количество его ребер на 1 меньше количества его вершин. 3. G связан и количество его ребер на 1 меньше количества вершин. 4. G связан и каждое его ребро является мостом. 5. Любые 2 вершины графа G можно соединить единственным простым маршрутом. 6. G не содержит циклов и добавление к нему любого ребра приводит к образованию единственного простого цикла. G=(X, U)
/X/ -количество вершин /U/ - количество ребер /U/=/X/-1 Доказательство 1) Докажем, что из 1 – 4: Докажем от противного Пусть среди ребер графа G имеется ребро U , которое не является мостом. 1) Пусть ребро U 0 соединяет вершины X 0 u Y 0. Удалим ребро U 0. По нашему предположению граф останется связным, а значит, в этом графе существует маршрут между вершинами X 0 u Y 0. В этот маршрут ребро U 0 не входит, оно удалено, а значит, этот маршрут вместе с ребром U 0 в исходном графе образовывал цикл – противоречие, та как граф G без циклов. 2) Докажем, что 1 - 2 Поскольку G это дерево, то в этом графе нет циклов по определению, значит нужно доказать только, что /U/=/X/-1. Доказательство проводим по индукции по количеству вершин. 3) (1 вершина, 0 ребер)
Если в графе 1 вершина, то условие выполняется. Предположим условие выполняется и для всех графов с числом вершин n, докажем что это условие будет выполняться для любого дерева с n+1 вершиной. Поскольку как мы уже доказали в дереве каждое ребро является мостом, то после удаления одного ребра граф распадается на 2 связных компоненты. Обозначим число вершин в 1 -й компоненте К 1 и во второй К 2. Очевидно К 1 n; K 2 n. Так как К 1+К 2=n+1, а значит по индукционному предположению /U 1/=K 1 -1 /U 2/=K 2 -1 /U/=/U 1/+ /U 2/-1= K 1 -1 +K 2 -1+1=(K 1+K 2)-1=(n+1)-1=/X/-1 4) 2 -3 От противного Предположим граф G не связан, а значит, он состоит из m≥ 2 компонент, каждая из которых не содержит циклов, а значит, является деревом. Поскольку переход 1 - 2 уже доказан, то для каждой компоненты /U /=/X /-1 (противоречие, так как число больше 1)
5) 3 – 4 Доказательство от противного Предположим, граф G связан, количество дуг в нем будут /Х/-1 и не каждая дуга является мостом. Предположим, дуга U 0 не является мостом. Удалим ее, тогда у нас получится связный граф с числом ребер /Х/-2, что быть не может. 6) 4 – 5 От противного Предположим, что граф G связен и каждая его дуга является мостом, но существует 2 вершины, которые можно соединить 2– мя различными простыми маршрутами. Тогда эти 2 маршрута в совокупности либо сами являются циклом, либо содержат в себе цикл, а каждое ребро цикла не является мостом – противоречие.
7) 6 -1 Из того, что Gне содержит циклов и добавление к нему любого ребра приводит к образованию простого цикла, нужно доказать, что граф связен и не содержит циклов, т. е. доказать связность графа. От противного Предположим, граф не является связным, т. е. у него имеется как минимум 2 компоненты связности. Возьмем одну вершину одной компоненты связности, другую в другой и добавим к ним ребро. Его добавление не приводит к образованию цикла – противоречие. Покрывающим деревом связного графа называется дерево, имеющее те же вершины, что и исходный граф, а множество ребер покрывающего дерева является подмножеством множества ребер исходного графа. Очевидно, любой связный граф имеет хотя бы одно покрывающее дерево. Каждому ребру графа можно поставить в соответствие некоторое число, это число называется весом ребра. Если граф является обыкновенным графом без петель, то в матрице смежности вместо единицы можно поставить веса соответствующих ребер, такая матрица будет называться матрицей весов.
Задача о минимальном покрывающем дереве. Алгоритм Прима. а) пронумеровать ребра графа в порядке возрастания весов. б) помечаем каким-либо образом ребро минимального веса. в) рассматриваем следующее по весу ребро, если хотя бы одна из его вершин не принадлежит множеству вершин помеченных ребер, то помечаем это ребро и переходим к рассмотрению следующего ребра. г) если обе вершины рассматриваемого ребра являются вершинами уже помеченных ребер, то проверить, не образует ли рассматриваемое ребро цикла с помеченными ребрами; если не образует, то помечаем его и переходим к рассмотрению следующего ребра; если образует, то не помечаем его и переходим к рассмотрению следующего ребра. д) процесс продолжается до тех пор, пока не будет посчитано n-1 ребро.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 16 11 4 11 6 6 14 18 10 0 6 5 12 15 16 11 9 19 16 6 0 4 14 14 5 13 10 13 11 5 4 0 11 5 18 15 16 17 4 12 14 11 0 0 17 19 2 15 11 15 14 6 0 0 0 15 2 7 1 15 0 13 18 1 2 13 0 11 9 7 18 11 0 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6 16 5 18 17 1 6 11 13 15 19 9 14 9 10 16 2 14 18 19 13 17 15 вес - 1+1+2+2+4+4+4+5+5= 28 1) Пусть логическая функция F от четырех переменных задана в форме передачи десятичных номеров конституант единицы. 0, 1, 2, 4, 10, 11, 13
а) составим таблицу истинности для данной функции. № х1 х2 х3 х4 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 F 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 Представим таблицу истинности в виде карты Карно. 00 00 1 01 1 11 0 10 0 01 1 0 11 0 0 0 1 10 1 0 0 1 х1 х2/х3 х4
По карте Карно составили логическую функцию в виде суммы элементарных произведений по следующему правилу: Выделяем на карте Карно прямоугольники, составленные из 2, 4, 8 и т. д. клеток, содержащих только 1. _ _ _ _ _ Fmin=x 1 x 2 x 3 + x 1 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4. Пользуясь правилом Де Моргана приведем функцию F к виду, удобному для реализации на элементах и – не. _____________________ ________ _ _ _ _ _ _ _ Fmin=x 1 x 2 x 3 + x 1 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4
Представим теперь функцию в конъюнктивной нормальной форме (КНФ), удобной для реализации на элементах и или не. _ _ _ _ _ F = x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3
____________________ _ _ _ _ F = x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3
Алгоритмы и рекурсивные функции. Алгоритм - процесс последовательного построения величин, идущий в дискретном времени таким образом, что в начальный момент времени задается исходная конечная система величин, а в каждый следующий момент система величин получается по определенному закону (программе) из системы величин, имевшихся в предыдущий момент времени (дискретность алгоритма). Система величин, получаемых в какой-то (не начальный) момент времени однозначно определяется системой величин, полученных в предшествующий момент времени (детерминированность алгоритма). Закон получения последующей системы величин из предыдущей должен быть простым и локальным (элементарность шагов алгоритма). Если способ получения последующей величины из какой-либо заданной величины не дает результата, то должно быть указано, что надо считать результатом алгоритма (направленность алгоритма). Начальная система величин может выбираться из какого-то потенциально бесконечного множества (массовость алгоритма).
Алгоритм Евклида: 1) Заданы 2 числа а 1 и а 2; будем считать, что ни а 1, ни а 2 0; а 1, а 2 N 2) Делим а 1 на а 2 и находим остаток от деления а 3, если а 3=0, то а 2 – наибольший общий делитель, если а 3 больше 0, то делим а 2 на а 3, находим остаток от деления а 4. Если а 4=0, то а 3 – наибольший общий делитель, если же нет, то делим а 3 на а 4 и т. д. Интуитивно понятное, не определяемое, а описываемое понятие алгоритма вполне удовлетворяло математиков до начала 20 века. С его помощью легко было доказать существование алгоритма решения той или иной задачи, просто построив этот алгоритм. Когда перед математиками стали задачи, в которых нужно было доказать, что алгоритм их решения не существует, потребовалось строгое определение понятия алгоритм. Эта задача была решена в середине 30 -х годов 20 -го века в работах Гильберта, Гёделя, Чёрча, Клини, Тьюринга и Поста.
Уточнение понятия алгоритма было произведено 2 способами: § через рекурсивные функции § через машины Тьюринга-Поста Определение понятия алгоритма с помощью машин Тьюринга-Поста - очень специальное, но цель показать, как самые сложные процессы можно моделировать на весьма простых устройствах. С помощью теории алгоритмов, возникшей из внутренних проблем теоретической математики, впоследствии было решено много практических задач из разных областей знаний. Другая область применения теории алгоритмов – вычислительные машины, на которых легко моделируются машины Тьюринга-Поста.
Машины Тьюринга-Поста Машина Тьюринга-Поста состоит из следующих частей: 1) конечная лента, разбитая на конечное число ячеек. В процессе работы машины к существующим ячейкам машина может пристраивать новые ячейки как влево, так и вправо, так что конечная лента может писаться потенциально неограниченно в обе стороны. Каждая ячейка может находиться в одном из конечного множества состояний а 0, а 1, … аm – эти величины называются внешним алфавитом машины. Лента называется внешней памятью машины. В процессе работы машина может изменять состояние ячеек, но может и не изменять их. Таким образом, если в какой-то момент времени лента имеет r ячеек, то состояние ленты полностью описывается словом aj 1 aj 2…ajr.
2)внутренняя память машины – это некоторое устройство, которое в каждый момент находится в одном из возможных состояний, причем множество этих состояний конечное и фиксированное для каждой машины. Состояние внутренней памяти обозначается символами (q 1 , q 2 , …, qn ), не входящими во внешний алфавит машины. Одно из таких внутренних состояний является выделенным, обычно обозначается q 0 и называется стоп-сигналом. 3) управляющая головка – это некоторое устройство, которое перемещается вдоль ленты или, наоборот, лента перемещается вдоль него, так что в любой момент времени в устройстве находится ровно 1 ячейка.
4) механическое устройство; предполагается, что машина снабжена особым механизмом, который, в зависимости от состояния воспринимаемой ячейки и состояния внутренней памяти, может изменить состояние внутренней памяти и одновременно либо изменить состояние воспринимаемой ячейки, либо сдвинуть управляющую головку влево в соседнюю слева ячейку, либо вправо, при этом, если воспринимаемая ячейка является самой крайней слева и головку нужно сдвинуть влево, то механическое устройство пристраивает слева пустую ячейку. Если в какой-то момент времени внутреннее состояние машины переходит в q 0 , то дальнейших изменений не происходит. Совокупность всех этих данных можно записать одним машинным словом aj 1 aj 2…qiajk. . ajr, в которое входит только один символ из алфавита q. Этот символ может быть самым левым, но не может быть самым правым, так как после него обязательно должно быть записано состояние воспринимаемой ячейки.
Скачать презентацию ТЕОРИЯ ГРУПП Пусть имеется произвольное множество Х бинарной
дискретная математик2222.ppt