ТЕОРИЯ ГРУПП Понятие группы Определение. Алгебраической бинарной операцией на множестве М называется отображение М М М. Обозн. : , , , и др. Например, М=N. (2; 3) N N (2; 3) 5 – операция нахождения суммы. Определение. Множество G с алгебраической бинарной операцией называется группой, если: 1) операция ассоциативна: a, b, c G (a b) c=a (b c); 2) е G, называемый нейтральным элементом, такой что a G a е=е а=а; 3) a G a G такой, что a a =a а=e. a - нейтрализующий элемент для а. Обозн. <G; > или G, если ясно, какая операция задана в группе.
Если операция коммутативна: a, b G a b=b а, то группа называется абелевой. Если операция «+» – группа называется аддитивной, нейтральный элемент е=0 – нулевым, нейтрализующий a =-а – противоположным. Если операция « » – группа называется мультипликативной, нейтральный элемент е=1 – единичным, нейтрализующий a =а-1 – обратным. Количество элементов в группе называют ее порядком.
Примеры: 1. Числовые группы. Аддитивные группы: <Z; +>; <Q; +>; <R; +>; <C; +>; <3 Z; +>; <Z+Zi; +>; <0; +>. Мультипликативные группы: <Q*; ·>; <R*; ·>; <C*; ·>. * - отсутствие 0. <{1}; ·>; <{-1; 1}; ·>; <2 Z; ·>. 2. Группы классов вычетов по модулю m: Z 0, Z 1, …, Zm-1. Zn+Zk=Zn+k. <Zm; +> – аддитивная группа классов вычетов. Пусть m=6. Элементы классов Z 1 и Z 5 взаимно просты с m. Классы, взаимно простые с m, образуют мультипликативную группу классов вычетов: <Zm*; ·>. Порядок группы |Zm*|=φ(m).
Примеры: 3. Группы подстановок. Sn – группа подстановок n-ой степени или симметрическая группа. |Sn|= n! Аn – группа четных подстановок (знакопеременная группа). |Аn|= n!/2. 1234 0 инверсий 4123 3 инверсии нечетная подстановка 1234 0 инверсий 2431 4 инверсии четная подстановка.
Примеры: 4. Группы матриц <Мm n(R); +> – аддитивная абелева группа прямоугольных матриц; <М*n n (R); ·> – мультипликативная группа квадратных невырожденных матриц; <D*; ·> – мультипликативная группа диагональных матриц; 5. Группы в геометрии: группа движений плоскости; группа преобразований; группа самосовмещений правильного многоугольника.
Основные свойства группы 1°. Единственность нейтрального элемента. Доказательство: Пусть е 1 и е 2 – нейтральные элементы группы <G; >. Тогда, е 1 е 2=е 2, т. к. е 1 – нейтральный; е 1 е 2=е 1, т. к. е 2 – нейтральный е 1=е 2. 2°. Единственность нейтрализующего (симметричного) элемента. Доказательство: Пусть a 1 и a 2 нейтрализующие для а G. a 1 а a 2 =(a 1 а) a 2 =е a 2 =a 2 a 1 а a 2 =a 1 (а a 2 )=a 1 е=a 1 =a 2. 3°. Однозначная разрешимость уравнений а х=b, y а=b; a, b G. x=a b; y=b a. 4°. (а b) =b a. (а b) (b a )=а (b b ) a =а (e) a =e. Аналогично: (b a ) (а b)=e.
Подгруппа Пусть Н – подмножество группы G. Определение. Подгруппа – это непустое подмножество группы, которое само образует группу по заданной операции. Обозн. : Н G. Пример. <2 Z; +> <Z; +>. Т 1. Непустое подмножество Н группы <G; > является ее подгруппой тогда и только тогда, когда: 1) a, b Н a b Н; 2) a Н a Н. Доказательство. Необходимость. Дано: Н G. Доказать: выполнимость условий 1) и 2). Доказательство: Т. к. H – подгруппа, то по определению она является группой, а значит, 1) и 2) выполняются.
Достаточность. Дано: H – непустое подмножество группы G, для которого выполняются условия 1) и 2). Доказать: Н G. Доказательство: Проверим выполнимость всех аксиом группы: 1. a, b Н a b Н – операция выполнима и однозначна по условию 1); 2. Операция ассоциативна на подмножестве H, т. к. она ассоциативна в группе G. 3. a Н a Н – существование нейтрализующего элемента следует из условия 2). 4. Существование нейтрального элемента e=a a в подмножестве H следует из условия 1). Все аксиомы группы выполняются, значит, H – подгруппа G.
Т 2. Пересечение подгрупп является подгруппой. Дано: H 1 G, H 2 G. Доказать: H 1 H 2 G. Доказательство: проверим выполнимость условий 1) и 2). 1) a, b H 1 H 2 a, b H 1 и a, b H 2, т. к. H 1 G, H 2 G, то a b H 1 и a b H 2 a b H 1 H 2. 2) a H 1 H 2 т. к. . H 1 G, H 2 G a H 1 H 2. Из 1) и 2) следует H 1 H 2 G.
Порядок элемента группы a G a. Z={…, a-2, a-1, a 0, a 1, a 2, …}, a 0 = e. Если существует m N, такое что am=e, то наименьший показатель, удовлетворяющий этому равенству, называется порядком элемента a и обозначается |a|=m. Если такого натурального показателя не существует, то говорят, что a имеет бесконечный порядок и записывают |a|=. Примеры: G=<C*, > |1|=1, |-1|=2, |i|=4, |-i|=4, |2|=. Определение: Группы в которых все элементы, кроме единичного имеют бесконечный порядок, называются без кручения, а группы, все элементы которой имеют конечный порядок, называются периодическими.
Примеры: 1. Пусть a G и |a|=6, тогда a=a 7=a 13=…, a 2=a 8=a 14=…, e=a 6=a 12=…. 2. Пусть a G и |a|= …, a-2, a-1, e, a 1, a 2, … - группа без кручения. <{2 Z}, >. 3. G=<{ }, >. { }={ 1, i} – периодическая группа. 4. Рассмотрим группу G=<{ }, n N, >. Если в группе есть элементы как конечного, так и бесконечного порядка, то она называется смешанной.
Свойства порядка элемента группы 1. Если |a|=n, то элементы a 0, a 1, … an-1 – различны. Доказательство: пусть ak=am и, для определенности m<k, т. е. 0 m<k n-1, тогда из равенства ak=am следует, ak-m=a 0=e, k-m<n, что противоречит определению порядка, аналогично при k<m. 2. Если |a|=n, то k Z, ak {a 0, a 1, … an-1}. Доказательство: пусть k Z. По теореме о делении с остатком k=nq+r, где 0 r<n. ak=anq+r=(an)q ar=ar, т. к. (an)q=e, где 0 r<n. 3. Если |a|=n и ak=e, то k делится на n. Доказательство: 1) При k=0, a 0=e, 0 делится на n. 2) При k 0, k=nq+r, где 0 r<n. ak=anq+r. Домножим обе части последнего равенства на a-nq. ak a-nq=ar. Т. к. ak=e, a-nq=e имеем ar=e, по первому свойству отсюда следует, что k=n q, т. е. k делится на n.
Циклические подгруппы G – группа и a G. H={a. Z}={…, a-2, a-1, a 0, a 1, a 2, …} G. Т. к. 1) ak, am H ak am=ak+m H, 2) a-k=(ak)-1 H, следует, что H G. Определение: подгруппа, состоящая из целочисленных степеней какого-либо элемента группы, называется циклической подгруппой, a – порождающим элементом и обозначается H=<a> В аддитивной записи циклическая подгруппа, порожденная элементом a состоит из всех целочисленных кратных этого элемента.
Пример. G=S 3={e, a 1, a 2, a 3, a 4, a 5}. H 0=<e>={e}; |H 0|=1. H 1=<a 1>={a 1, a 12=e, a 13=a 1, …}={a 1, e}. |H 1|=2. H 2=<a 2>={a 2, a 22= a 4, a 23= e, a 24=a 2…}={a 2, a 4, e}. H 3=<a 3>={a 3, a 32=e, a 33=a 3, …}={a 3, e}. |H 3|=2. H 4=<a 4>={a 4, a 42= a 2, a 43= e, a 44=a 4…}={a 4, a 2, e}. H 5=<a 5>={a 5, a 52=e, a 53=a 5, …}={a 5, e}. |H 5|=2. |H 2|=3. |H 4|=3.
Определение. Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической Примеры. 1. <{2 Z}, >=<2> – циклическая. 2. G=S 3 – не является циклической. 3. <Z; +>=<1>=<-1> – циклическая. Т. Любая подгруппа циклической группы – циклическая. Дано: G=<a>; H G. Доказать: Н – циклическая. Доказательство. Н G={…, a-2, a-1, a 0, a 1, a 2, …} Пусть ak H. Докажем, что Н=<ak>. 1) <ak> Н, т. к. ak H и H G. – подгруппа 2) Пусть h H h=am. По теореме о делении с остатком m=kq+r, 0 r<k. h=am=akq+r=akq·ar. Домножим на a-kq. am·a-kq=ar ar H. Т. к. r<k, то это возможно лишь при r=0. Следовательно, m=kq и h=(ak)q <ak>. Для произвольной группы эта теорема неверна. Пример. <Q*, ·> – не является циклической. <Q+, ·> <Q*, ·>. <Q+, ·> – не циклическая.
Скачать презентацию ТЕОРИЯ ГРУПП Понятие группы Определение. Алгебраической бинарной операцией
1_Понятие группы.ppt