Теория графов и ее применение
Введение
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707 -1783)
Задача Эйлера Можно ли обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную точку.
Для решения этой задачи Эйлер вводит понятие «сети» (называющейся в наше время «графом» ) как множества непересекающихся рёбер или связей, соединяющих пары вершин. Вот так выглядит этот граф, если наложить вершины и связи на карту города >>>>>>В графе, имеющим более двух вершин с нечетной степенью, такого обхода не существует
П р а в и л о Э й л е р а: 1. В графе, не имеющем вершин нечетных степеней, существует обход всех рёбер (причем каждое ребро проходится в точности один раз) с началом в любой вершине графа. 2. В графе, имеющем две и только две вершины с нечетными степенями, существует обход с началом в одной вершине с нечетной степенью и концом в другой. 3. В графе, имеющим более двух вершин с нечетной степенью, такого обхода не существует
Основные понятия теории графов. 4 Граф - непустое множество V и X- некоторый набор пар элементов из V. Элементы множества V называются вершинами, а элементы набора Xребрами. 4 Подграф - подграфом графа G называется граф, все вершины и ребра которого содержатся среди вершин и ребер графа G. Остовый подграф содержит все вершины графа G. 4 Связный граф - граф, у которого для любых двух различных вершин существует цепь (последовательность смежных вершин), соединяющая их. 4 Взвешенный связный граф - связный граф, с заданной весовой функцией (каждому элементу набора X ставится в соответствие некоторое число - вес ребра). 4 Дерево - связный лес (граф не содержащий циклов). 4 Остов - остовый подграф, являющийся деревом.
Матрицы на графах Матрица смежности неориентированного графа Матрица смежности- матрица размером n n , элементы которой равны 1, если i-я вершина смежна с j-ой, и 0 в противном случае. 4 Матрица смежности является симметричной и достаточно просто может использоваться для ввода и обработки на ЭВМ. Для случая взвешенного графа вместо 1 используется значение весовой функции и такая матрица называет 4 ся матрицей весов. Матрица смежности обычно обозначается буквой А 4 пример: 4 1 2 1 3 2 4 1 А= 2 3 4
Матрица смежности ориентированного графа 4 Матрица смежности- матрица размером n n, элементы которой равны 1, если i- я дуга входит j-ой, и 0 - в противном случае. 4 пример: 1 4 2 5 3 1 2 А= 3 4 5 1 2 3 4 5
Матрица инцидентности неориентированного графа 4 Матрица инцидентности- матрица размером (n- число вершин, m- число ребер), элементы которой равны 1, если i-я вершина инцидентна ребру, и 0 в противном случае. 4 Матрица инцидентности обычно обозначается буквой В 4 пример: 1 а 5 с б f w В= e 2 d 4 s 3 j-му
Матрица инцидентности ориентированного графа 4 Матрица инцидентности- матрица размером (n- число вершин, m- число ребер), элементы которой равны 1, если дуга j выходит из вершины i, -1 если дуга j входит в вершины, и 0 в противном случае. 4 Матрица инцидентности обычно обозначается буквой В 4 пример: 1 6 с а w б В= e 2 5 d f 3 s 4
Спасибо за уделённое внимание Остроух Е. Н.