Теорія графів. Методи задання графів Лекція 8 Теорія

Теорія графів. Методи задання графів Лекція 8 Теорія графів 1

Леонард Ейлер (1707 -1783) Леонард Ейлер - математик, механік, фізик і астроном, за походженням швейцарець. В 1726 році був запрошений до Петербурзької АН і переїхав в 1727 до Росії. В 1731 -1741 р. р. і з 1766 - академік Петербурзької АН. Л. Ейлер вчений надзвичайної широти інтересів, він автор понад 800 робіт з математичного аналізу, диференціальної геометрії, теорії чисел, що зробили значний вплив на розвиток науки. Методи задання графів 2

Задача про сім мостів Кеніґсберґа (1) Місто Кеніґсберґ у Пруссії (нині Калінінград у Росії) було на берегах річки Преголя, рукави якої ділили місто на чотири частини, в тому числі й два острови, що поєднувалися сімома мостами. Здавна серед мешканців Кенігсберга була поширена така задача: як пройти по всіх мостах, не проходячи по жодному з них двічі? Сім мостів Кеніґсберґа — видатна історична задача з математики. Методи задання графів 3

Задача про сім мостів Кеніґсберґа (2) Доведення неможливості розв'язання задачі про сім мостів Кеніґсберґа Леонардом Ейлером в 1735 р. призвело до створення теорії графів і передувало ідеї топології. На цей день теорія графів – важливий розділ дискретної математики і основоположний математичний апарат комп’ютерних технологій. Методи задання графів 4

Методи задання графів Серед множини графів розрізнюють три типи: орієнтовані (графи Бержа), неорієнтовані та мішані графи. Надалі розглядатимемо графи Бержа або просто графи. Існують три еквівалентних методи задання графів: аналітичний, геометричний і матричний. Методи задання графів 5

Аналітичний метод задання Задано множину елементів X. Виділимо деяку підмножину F = {(xi, xj)} X X, що задає бінарне відношення на X. Множина X і бінарне відношення F на цій множині визначають деякий граф G = (X, F). Якщо множина X скінченна, то граф називають скінченним. При заданні відношення F на X необхідно кожному елементу xi X зіставити певну підмножину X. Для акцентування того, що елементу xi зіставляється саме підмножина, відповідна відношенню F, позначатимемо її через Fxi, тобто Fxi X. Методи задання графів 6

Приклад аналітичного задання графа Приклад 3. 1. X = {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5}. Нехай Fx 1 = {x 1, x 3, x 5}, Fx 2 = ; Fx 3 = {x 1, x 2, x 5}, Fx 4 = {x 1}, Fx 5 = {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5}. Тоді множини X і F = {(x 1, x 1), (x 1, x 3), (x 1, x 5), (x 3, x 1), (x 3, x 2), (x 3, x 5), (x 4, x 1), (x 5, x 2), (x 5, x 3), (x 5, x 4), (x 5, x 5)} задають граф G. Методи задання графів 7

Геометричний метод задання Множину елементів X графа G зображують кружками та називають множиною вершин. Кожну вершину xi X з'єднують лініями з тими вершинами xj X, для яких виконується умова xj Fxi. Множина ліній, що відповідає множині впорядкованих пар вершин (xi, xj), де xi X, а xj Fxi, називається множиною ребер графа. Якщо xj xi, то ребро (xi, xj) зображується лінією зі стрілкою – дугою, що спрямована від xi до xj. Методи задання графів 8

Геометрична інтерпретація прикладу 3. 1 Якщо xi = xj, то ребро (xi, xj) зображують лінією без стрілки, яка поєднує вершину xi із собою, і називається петлею. Нижче показано геометричне задання графа G=(X, F) із прикладу 3. 1. Методи задання графів 9

Матричний метод задання (1) Квадратна матриця R = , елементи якої – суть 0 та 1, називається матрицею суміжності графа G = (X, F) тоді й тільки тоді, коли її елемент утворюється за правилом: елемент rij, що стоїть на перерізі xi-го рядка та xj-го стовпчика, дорівнює 1, якщо існує дуга, що йде з вершини xi до вершини xj, а rij = 0 – у протилежному випадку. Методи задання графів 10

Матричний метод задання (2) Скорочено це можна записати у такий спосіб: або у вигляді предиката . Будь-яка квадратна матриця з 0 та 1 є матрицею суміжності деякого графа G = (X, F), і навпаки. Методи задання графів 11

Матричне подання прикладу 3. 1 Наприклад, матриця R = є матрицею суміжності графа G = (X, F) з прикладу 3. 1. Якщо граф задано одним із трьох методів, завжди легко перейти до будь-якого іншого методу, а результати, отримані однією мовою, можна інтерпретувати іншою. Методи задання графів 12

Інцедентність Кажуть, що дуга (xi, xj) виходить із вершини xi і заходить у вершину xj або xi – початок, а xj – кінець дуги. Вершина xi та ребро (xj, xl) називаються інцедентними, якщо j = i або l = i. У протилежному випадку вершина xi та ребро (xj, xl) називаються неінцедентними. Дві вершини xi та xj називаються суміжними, якщо існує хоча б одна дуга, інцедентна їм обом. Вершина xi суміжна сама собі, якщо при вершині xi наявна петля. Два ребра (xi, xj) і (xj, xk) називаються суміжними, якщо існує хоча б одна вершина, інцедентна їм обом. Методи задання графів 13

Напівстепень виходу вершини Нехай G = (X, F) – деякий граф і xi X. Відповідно до визначення графа Fxi – множина xj X, з якими пов'язана вершина xi відношенням F. Напівстепенню виходу s(xi) або si вершини xi називається кількість ребер (xi, xj), що виходять із вершини xi, оскільки відношення F визначається кількістю елементів множини Fxi, то s(xi) =|Fxi|. Якщо F– 1 – обернене до F відношення, то F– 1 xi являє множину тих xj X, що пов'язані відношенням з xi. Методи задання графів 14

Напівстепень входу вершини Напівстепенню входу p(xi) або pi вершини xi називається кількість ребер (xj, xi), що заходять у вершину xi. Очевидно, що p(xi) = |F– 1 xi|. У випадку, коли граф G задано матрицею суміжності R, напівстепень виходу (входу) вершини xi визначається відповідно сумою елементів xi-го рядка (xj-го стовпчика). Тому Для графа із попереднього прикладу напівстепені виходу та входу відповідних вершин дорівнюють s 1 = 3, p 1 = 4, s 2 = 0, p 2 = 2, s 3 = 3, p 3 = 2, s 4 = 1, p 4 = 1, s 5 = 5, p 5 = 3. Методи задання графів 15

Рівність графів Два графи G 1=(X 1, F 1) і G 2=(X 2, F 2) називаються рівними, якщо X 1=X 2, і для кожного xi X 1 та xj X 2 таких, що xi= xj, виконується F 1 xi= F 2 xj. Методи задання графів 16

Ізоморфізм графів Два графи G=(X, F) і H=(Y, P) називаються ізоморфними, якщо існує бієктивне відображення f множини X на Y, f: X Y, і для кожного x X та y Y таких, що f(x) = y, є справедливим співвідношення f(Fx) = Py. Зрозуміло, що відношення ізоморфізму графів є рефлексивним, симетричним і транзитивним, тобто є відношенням еквівалентності. Тому, якщо відомо, що граф G=(X, F) ізоморфний до графа H = (Y, P) (позначається G H), то графи G=(X, F) і H=(Y, P) вважатимемо еквівалентними або рівними з точністю до ізоморфізму. Методи задання графів 17

Приклад ізоморфізму графів Приклад 3. 2. На рисунку подано граф H = (Y, P), у якого Y = {y 1, y 2, y 3, y 4, y 5}, Py 1 = , Py 2 = {y 1, y 2, y 3, y 4, y 5}, Py 3 = {y 4}, Py 4 = {y 2, y 4, y 5}, Py 5 = {y 1, y 2, y 4}. Встановити, чи є цей граф ізоморфним до графа G(X, F) (слайд 7). Методи задання графів 18

Приклад 3. 2 (2) Якщо встановити бієктивне відображення f між вершинами множин X та Y графів G (попередній приклад) і H у такий спосіб: то одержимо f(Fx 1) = f({x 1, x 3, x 5}) = {y 2, y 4, y 5} = Py 4, f(Fx 2) = Py 1, f(Fx 3) = Py 5, f(Fx 4) = Py 3, f(Fx 5) = Py 2. Тому графи G(X, F) і H = (Y, P) є ізоморфними. Розглянемо деякі спеціальні види графів. Методи задання графів 19

Транспонований граф Граф G* = (X, F– 1) називається транспонованим щодо графа G = (X, F). Матриця суміжності R* графа G* утворюється з матриці R транспонуванням елементів. Методи задання графів 20

Симетричні та антисиметричні графи Граф G = (X, F), відношення якого задовольняє умові ( xi X)( xj X)[(xj Fxi) (xi Fxj)], називається симетричним графом. Граф G = (X, F), в якого ( xi X)( xj X)[(xj Fxi) (xi Fxj)], називається антисиметричним графом. Методи задання графів 21

Графи із порожнім відношенням Граф G = (X, F), де X = {xi}, i I = {1, 2, . . . , n} такий, що (( xi X)[Fxi = ]), називається графом n-го порядку із порожнім відношенням і позначається G. Матриця суміжності R графа G містить тільки нульові елементи, тобто ( i I)( j I)[rij=0]. Зокрема, граф G = (X, Y), в якого X = {x 1}, а Fx 1 = , називатимемо одиничним графом із порожнім відношенням і позначатимемо G 0. Методи задання графів 22

Графи із насиченим відношенням Граф G = (X, F), де X = {xi}, i I = {1, 2, . . . , n} такий, що (( xi X)[Fxi = X]), називається графом n-го порядку з насиченим відношенням і позначається GX. Матриця суміжності RX графа GX містить тільки одиничні елементи, тобто ( i I)( j I)[rij = 1]. Зокрема, граф G=(X, F), в якого X={x 1}, а Fx 1={x 1}, називатимемо одиничним графом з насиченим відношенням і позначатимемо G 1. Методи задання графів 23

Шлях у графі Множина ребер графа G(X, F) Ахіхj = {(хі, хі 1), (хі 1, хі 2), …, (хіs, хj)} називається шляхом, що поєднує вершини xі, xj X. Для будь-якого ребра, що належить шляху Ахіхj, вважатимемо, що Ахіхj проходить через це ребро. Аналогічно, якщо вершина xk належить деякому ребру Ахіхj, то вважатимемо, що Ахіхj проходить через вершину xk. Шлях Ахіхj називається циклом, якщо xi = xj. Цикл (xi, xi) називатимемо петлею. Методи задання графів 24

Зв’язні та ациклічні графи Граф G = (X, F) називається зв'язним, якщо для будь-яких двох різних вершин xi та xj графа G існує шлях, що з'єднує ці вершини. Граф G = (X, F) називається ациклічним, якщо в ньому відсутні цикли. Методи задання графів 25

Деревом називається орієнтований граф G=(X, F) із такими властивостями: üіснує єдина вершина, що називається коренем дерева, напівстепень входу якої дорівнює 0; üнапівстепені входу всіх інших вершин дорівнюють 1; üкожна вершина є досяжною з кореня дерева. У випадку неорієнтованих графів деревом називається звязний ациклічний граф. Методи задання графів 26

Підграфи та надграфи Нехай G = (X, F) – довільний граф. Граф G' = (X', F') називається підграфом графа G = (X, F), якщо множина X' X або для всіх xi X' має місце співвідношення F'xi Fx X'. У такому випадку граф G = (X, F) називається надграфом графа G' = (X', F'). Граф G = (X, F) називається порожнім і позначається за умови, що X = . Очевидно, що F = . Зрозуміло, що для довільного графа G = (X, F) має місце G і G G. Підграфи та G називаються невласними підграфами графа G = (X, Y). Усі останні підграфи графа G = (X, Y) називаються власними підграфами. Методи задання графів 27

Універсальний граф Універсальним графом називається такий насичений граф L, в якого всі графи, розглянуті у певному колі задач, є підграфами графа L. Існує один порожній граф і скільки завгодно різних універсальних графів. Методи задання графів 28

Методи задання графів 29