Скачать презентацию ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Планирование эксперимента Скачать презентацию ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Планирование эксперимента

ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА.ppt

  • Количество слайдов: 111

ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

• Планирование эксперимента – это область математической статистики, ставящая своей целью выбор количества • Планирование эксперимента – это область математической статистики, ставящая своей целью выбор количества и условий постановки экспериментов, необходимых и достаточных для решения задачи с требуемой точностью, разработку методов и приемов математической обработки результатов эксперимента и принятия на основе этого определенных решений.

Что дает планирование экспериментатору? • • Принципиально иное отношение к ошибке. Рандомизация. Последовательный эксперимент. Что дает планирование экспериментатору? • • Принципиально иное отношение к ошибке. Рандомизация. Последовательный эксперимент. Оптимальное использование пространства независимых переменных. • Редукция информации. • Этическая функция планирования эксперимента. • Планирование эксперимента и логика вопросов.

Какова стратегия эксперимента? • 1. Признание факта существования задачи и ее формулировка. • 2. Какова стратегия эксперимента? • 1. Признание факта существования задачи и ее формулировка. • 2. Выбор факторов и уровней. • 3. Выбор переменной отклика. • 4. Выбор плана эксперимента. • 5. Проведение эксперимента. • 6. Анализ данных. • 7. Выводы и рекомендации.

Аналогия между вычислительным и лабораторным экспериментами. Лабораторный эксперимент Образец Вычислительный эксперимент Модель Прибор Измерение Аналогия между вычислительным и лабораторным экспериментами. Лабораторный эксперимент Образец Вычислительный эксперимент Модель Прибор Измерение Программа для компьютера Тестирование программы Расчет Анализ данных Калибровка

ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ • Средняя арифметическая Ma= y/m=(y 1+y 2+. . . ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ • Средняя арифметическая Ma= y/m=(y 1+y 2+. . . +yi+. . . +ym)/m • Средняя геометрическая Mg=( yi)1/m=(y 1 y 2. . . yi. . . ym)1/m • Средняя квадратическая • Ms=( yi 2/m)1/2=((y 12+y 22+. . . +yi 2+. . . +ym 2)/m)1/2 • Средняя гармоническая Mgr=m( yi– 1)– 1 • Мода • Медиана Md=y(m+1)/2 Md=(ym/2+1)/2

• • • Дисперсия воспроизводимости Sj 2= (yij-yсрj)2/(m-1)= =((y 1 j-yсрj)2+(y 2 j-yсрj)2+. • • • Дисперсия воспроизводимости Sj 2= (yij-yсрj)2/(m-1)= =((y 1 j-yсрj)2+(y 2 j-yсрj)2+. . . +(ymj-yсрj)2)/(m-1) Среднее квадратическое отклонение Sj=(Sj 2)1/2=( (Yij-Yсрj)2/(m-1))1/2 Коэффициент вариации V=Sj/Yсрj · 100% Размах R=Ymaxj – Yminj Доверительный интервал для среднего B = yсрj t Sj/((m)1/2)

• • • Количество повторных измерений m=(V 2) (t 2)/(T 2) Коэффициент вариации • • • Количество повторных измерений m=(V 2) (t 2)/(T 2) Коэффициент вариации (V, %), Показатель точности (относительная ошибка T, обычно 5%), Показатель достоверности (t – критерий Стьюдента). m=(V 2) (t 2) (1 1/(2 m 1)1/2)2/(T 2) Нижний и верхний пределы для дисперсии =m– 1; =95%; =5%

• • Исключение грубых промахов По критерию Романовского |ym+1 –yср| t' Sy По • • Исключение грубых промахов По критерию Романовского |ym+1 –yср| t' Sy По критерию Q Q=|ym-ym-1|/|ym-y 1| Проверка однородности дисперсий F=S 21/S 22 – критерий Фишера; G – критерий Кохрена • B/C – критерий Бартлетта (по χ2 )

• Проверка различия средних значений • большая выборка • малая • выборка • • Проверка различия средних значений • большая выборка • малая • выборка • Сравнение нескольких средних с использованием критерия Дункана • Производится ранжирование средних. • Вычисляется значение дисперсии воспроизводимости с числом степеней свободы =n (m– 1).

• Вычисляется нормированная ошибка среднего S=(Sa 2/m)0. 5 • Выписываются значения (n– 1) • Вычисляется нормированная ошибка среднего S=(Sa 2/m)0. 5 • Выписываются значения (n– 1) значимых рангов из таблицы Дункана при числе степеней свободы , уровне значимости и p=2, 3, …, n. • Наименьшие значимые ранги (НЗР), вычисляются как произведение рангов на нормированную ошибку среднего S. • Проверяются разности между средними, начиная с крайних; эта разность сравнивается с НЗР при p=n, затем находится разность максимального среднего и первого, которое превосходит минимальное, и сравнивается с НЗР при p=n– 1 и т. д.

• ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ОПТИМИЗАЦИИ И ФАКТОРОВ • Требования к отклику: • 1. Отклик • ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ОПТИМИЗАЦИИ И ФАКТОРОВ • Требования к отклику: • 1. Отклик (параметр оптимизации) должен быть эффективным с точки зрения достижения цели. • 2. Отклик должен быть универсальным, т. е. всесторонне отражать свойства процесса. • 3. Отклик должен быть количественным и выражаться одним числом. • 4. Отклик должен быть статистически эффективным, т. е. иметь небольшую дисперсию. • 5. Желательно, чтобы параметр оптимизации имел физический смысл, был простым и легко вычисляемым.

• Требования к факторам: • 1. Факторы должны быть управляемыми, т. е. такими, • Требования к факторам: • 1. Факторы должны быть управляемыми, т. е. такими, чтобы внутри области определения фактору можно было бы придать любое значение. • 2. Факторы должны быть совместимы. Это означает, что любая комбинация уровней внутри областей определения может быть реализована. Факторы несовместимы, если некоторые комбинации уровней приводят к остановке процесса (например, в результате взрыва и т. п. ). • 3. Точность установления уровней факторов должна быть выше точности фиксирования значений параметра оптимизации.

• ВЫДЕЛЕНИЕ СУЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ НА ОСНОВЕ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ • Коэффициент ранговой корреляции Спирмэна • ВЫДЕЛЕНИЕ СУЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ НА ОСНОВЕ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ • Коэффициент ранговой корреляции Спирмэна • =cov(x, y)/((S 2 x S 2 y)0. 5)=1– 6 ( (xi–yi)2)/(n 3 -n) • Коэффициент корреляции рангов Кендалла

• Дисперсионный коэффициент конкордации • Дисперсионный коэффициент конкордации

• Квадрат Юдена 1 2 3 4 5 6 7 1 A B • Квадрат Юдена 1 2 3 4 5 6 7 1 A B C D E F G 2 B C D E F G A 3 D E F G A B C 1 2 1 3 1 2 3 1 2 2 2 1 2 3 A B C D E F G Σ 5 6 9 3 7 8 4

• ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЕ СУЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ • Полный факторный эксперимент • Переход от • ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЕ СУЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ • Полный факторный эксперимент • Переход от натурального масштаба переменной к условному • ПФЭ 22 х1 х2 • (1), a, b, ab -1 +1 -1 • yр=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 12 x 1 x 2

+1 -1 -1 +1 Z= +1 +1 4 0 0 0 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 Z= +1 +1 4 0 0 0 +1 +1 -1 -1 -1 +1 0 4 0 0 Z’= Z’Z= +1 -1 -1 -1 +1 +1 0 0 4 0 +1 +1 +1 -1 -1 +1 0 0 0 4 b 0=(y 1+y 2+y 3+y 4)/4; b 2=(–y 1–y 2+y 3+y 4)/4; b 1=(–y 1+y 2–y 3+y 4)/4; b 12=(y 1–y 2–y 3+y 4)/4.

• Организация эксперимента и проведение расчетов реализуются в следующей последовательности. • 1. Выбор • Организация эксперимента и проведение расчетов реализуются в следующей последовательности. • 1. Выбор уровней варьирования факторов. • 2. Построение плана эксперимента и матрицы планирования. • 3. Проведение экспериментальных измерений. • 4. Вычисление коэффициентов линейной модели. • 5. Проверка значимости коэффициентов модели. • 6. Проверка содержательности модели. • 7. Проверка адекватности модели. • 8. Проверка предсказательной способности в центре плана. • 9. Анализ остатков. • 10. Интерпретация (анализ) модели. • 11. Принятие решений на основе полученной информации

• Вычисление параметров модели • Вычисление параметров модели

• Критерии качества модели • Критерии качества модели

• Почему используется полный факторный эксперимент S 2 bi= S 2 восп / • Почему используется полный факторный эксперимент S 2 bi= S 2 восп / N +1 +1 4 0 0 -1 +1 0 4 0 -1 -1 +1 +1 0 0 4 +1 +1 4 0 0 -1 +1 0 0 0 2 0 0 0 +1 +1 0 0 2

• ПФЭ 23 х1 -1 +1 План х2 -1 -1 +1 +1 х3 • ПФЭ 23 х1 -1 +1 План х2 -1 -1 +1 +1 х3 -1 -1 +1 +1 Обозначение (1) a b ab c ac bc abc

• yр=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 12 • yр=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 12 x 1 x 2+b 13 x 1 x 3+b 23 x 2 x 3+b 123 x 1 x 2 x 3 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 Z 1 = +1 -1 +1 +1 +1 -1 Z 2 = +1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1

• • b 0=(y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+y 6+y 7+y 8)/8; b • • b 0=(y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+y 6+y 7+y 8)/8; b 1=(-y 1+y 2 -y 3+y 4 -y 5+y 6 -y 7+y 8)/8; yuср = yu/N; b 2=(-y 1 -y 2+y 3+y 4 -y 5 -y 6+y 7+y 8)/8; b 3=(-y 1 -y 2 -y 3 -y 4+y 5+y 6+y 7+y 8)/8; S 2 R 0= (yu-yuср)2/(N-1); b 12=(y 1 -y 2 -y 3+y 4+y 5 -y 6 -y 7+y 8)/8; b 13=(y 1 -y 2+y 3 -y 4 -y 5+y 6 -y 7+y 8)/8; S 2 R = (yu-yuрасч)2 / (N-p); b 23=(y 1+y 2 -y 3 -y 4 -y 5 -y 6+y 7+y 8)/8; b 123=(-y 1+y 2+y 3 -y 4+y 5 -y 6 -y 7+y 8)/8; • • Содержательность модели: F=S 2 R 0/S 2 R Адекватность модели: F=S 2 R/S 2 восп. Предсказательная способность модели: t=|b 0 -y 0 ср|/(S 2 восп/m)0. 5

• Дробные реплики ДФЭ 2 3 -1 + + D=0 + + - • Дробные реплики ДФЭ 2 3 -1 + + D=0 + + - + + + - D=256 + - - + + + Генерирующее соотношение x 1 x 2=x 3 Определяющий контраст I=x 1 x 2 x 3 Система смешивания b 1 1+ 23; b 2 2+ 13; b 3 3+ 12; b 0 0+ 123

• • ДФЭ 24– 1 Генерирующие соотношения x 4=x 1 x 2 и • • ДФЭ 24– 1 Генерирующие соотношения x 4=x 1 x 2 и x 4=x 1 x 2 x 3 Планы 1) d, a, b, abd, cd, ac, bc, abcd; 2) (1), ad, bd, ab, cd, ac, bc, abcd Определяющие контрасты I=x 1 x 2 x 4 и I=x 1 x 2 x 3 x 4. • Системы смешивания • • 1) b 1 1+ 24; b 2 2+ 14; b 3 3+ 1234; b 4 4+ 12 ; b 13 13+ 234; b 23 23+ 134; b 34 34+ 123; b 0 0+ 124. 2) b 1 1+ 234; b 2 2+ 134; b 3 3+ 124; b 4 4+ 123; b 12 12+ 34; b 13 13+ 24; b 14 14+ 23; b 0 0+ 1234

• ДФЭ 27– 4 • y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b • ДФЭ 27– 4 • y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 4 x 4+b 5 x 5+b 6 x 6+b 7 x 7 • ГС: х4=х1·х2, х5=х1·х3, х6=х2·х3 и х7=х1·х2·х3 • Обобщающий ОК включает контрасты, образованные из этих четырех ГС, а также произведений контрастов по два, по три и по четыре. • I=х1·х2·х4=х1·х3·х5=х2·х3·х6=х1·х2·х3·х7=х2·х3·х4·х5= • =х1·х3·х4·х6=х3·х4·х7=х1·х2·х5·х6=х2·х5·х7=х1·х6·х7= • =х4·х5·х6=х1·х4·х5·х7=х2·х4·х6·х7=х3·х5·х6·х7= • =х1·х2·х3·х4·х5·х6·х7. • Пренебрегая эффектами взаимодействия, начиная с тройных, получим: • b 0→β 0 (ниже тройных нет) b 1→β 1+β 24+β 35+β 67 b 2→β 2+β 14+β 36+β 57 b 3→β 3+β 15+β 26+β 47 b 4→β 4+β 12+β 37+β 56 b 5→β 5+β 13+β 27+β 46 b 6→β 6+β 23+β 17+β 45 b 7→β 7+β 34+β 25+β 16

• Выбор факторов на основе отсеивающего эксперимента • Планы Плакетта-Бермана n N Комбинации • Выбор факторов на основе отсеивающего эксперимента • Планы Плакетта-Бермана n N Комбинации знаков 3 4 + - + 7 8 + + + - 11 12 + + - 15 16 + + - 19 20 + + - - - + + - - + - + - - + + - n – количество факторов; N – число экспериментов.

• Планы случайного баланса № x 1 x 2 x 3 x 4 • Планы случайного баланса № x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Ранг 1 2 3 4 5 6 7 8 + + + + + + + + + - 8 3 6 7 4 5 2 1

Диаграммы случайного баланса Диаграммы случайного баланса

Анализ диаграмм рассеяния x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x Анализ диаграмм рассеяния x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Md- 5. 0 4. 5 4. 0 3. 5 5. 5 6. 0 3. 0 4. 5 Md+ 4. 0 4. 1 3. 0 5. 5 2. 5 3. 5 4. 5 3. 0 B -1. 0 -0. 5 -1. 5 2. 0 3. 0 -2. 5 1. 5 -1. 5 n 2 - - - 3 - - |p| 2. 0 1. 5 6. 0 - - - 7. 5 - - 3 4

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ • • Однофакторный дисперсионный анализ Модель yij= + j+ ij, yij обозначает ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ • • Однофакторный дисперсионный анализ Модель yij= + j+ ij, yij обозначает i-е наблюдение на j-м уровне фактора (i=1, 2, . . . , m; j=1, 2, …, n). Расчет y-yср=y-50. 1 yij i ↓ 2 6 5 12 9 10 14 11 0 5 6 3 j→ -5 -4 -5 -11 -7 4 -8 -11 -5 -7 -9

• • • • Вычисление сумм значений отклика по столбцам. T. 1=6+5+12+9+10=42; T. • • • • Вычисление сумм значений отклика по столбцам. T. 1=6+5+12+9+10=42; T. 2=14+11+0+5+6=36; T. 3=-5 -4 -5 -1 -7=-32; T. 4=-8 -11 -5 -7 -9=-40. T. . =42+36– 32– 40=6. Вычисление средних значений отклика для каждого уровня фактора. y 1 ср=42/5=8. 4; y 2 ср=36/5=7. 2; y 3 ср=-32/5=-6. 4; y 4 ср=-40/5=-8. 0. Вычисление сумм квадратов значений отклика yij по строкам и столбцам. SS 1=62+52+122+92+102=386; SS 2=142+112+02+52+62=378; SS 3=(-5)2+(-4)2+(-5)2+(-11)2+(-7)2 =236; SS 4=(-8)2+(-11)2+(-5)2+(-7)2+(-9)2 =340; SS=386+378+236+340=1340. SSобщ=1340 -62/(5× 4)=1338. 2.

• Вычисление сумм квадратов, характеризующих влияние фактора и ошибки. • SSисп=422/5+362/5+(-32)2/5+(-40)2/5 -62/20=1135. 0; • Вычисление сумм квадратов, характеризующих влияние фактора и ошибки. • SSисп=422/5+362/5+(-32)2/5+(-40)2/5 -62/20=1135. 0; • SSош = 1338. 2– 1135. 0 = 203. 2. • Вычисление средних квадратов (дисперсий). • νобщ=5× 4– 1=19; νисп=4– 1=3; νош=4×(5 – 1) = 16. • MSисп =1135/3=378. 3; MSош=203. 2/16=12. 7. • Результаты однофакторного дисперсионного анализа Источник изменчивости Сумма квадратов SS Число степеней свободы ν Средний квадрат MS Критерий Фишера F Фактор 1135. 0 3 378. 3 29. 8 Ошибка 203. 2 16 12. 7 Итого 1138. 2 19

• Двухфакторный дисперсионный анализ • Модель yij= + j+βj+ ij Расчет yij – • Двухфакторный дисперсионный анализ • Модель yij= + j+βj+ ij Расчет yij – 13 мм Автомобиль Марка шины A B C D T. j I 4 1 -1 0 4 II 1 1 -1 -2 -1 III 0 0 -3 -2 -5 IV 0 -5 -4 -4 -13 Т i. 5 -3 -9 -8 -15=T. . 17 27 27 24 95=

• Вычисление сумм квадратов SSобщ = 95 -(-15)2/16 = 80. 9; SSмар = • Вычисление сумм квадратов SSобщ = 95 -(-15)2/16 = 80. 9; SSмар = ((5)2+(-3)2+(-9)2+ +(-8)2)/4 -(-15)2/16 = 30. 6; SSавт=((4)2+(-1)2+(-5)2+ +(-13)2)/4 -(-15)2/16 = 38. 6; SSост=80. 9 -30. 6 -38. 6=11. 7. Вычисление числа степеней свободы νобщ=n 1·n 2– 1; νмар=n 1 – 1; νавт=n 2 – 1; νост= νобщ–νмар–νавт. νобщ=4· 4– 1=15; νмар=4– 1=3; νавт=4– 1=3; νост=15– 3– 3=9.

• • • Вычисление средних квадратов. МSмар=SSмар/νмар; МSавт=SSавт/νавт; MSост=SSост/νост. МSмар=30. 6/3=10. 2; МSавт=38. • • • Вычисление средних квадратов. МSмар=SSмар/νмар; МSавт=SSавт/νавт; MSост=SSост/νост. МSмар=30. 6/3=10. 2; МSавт=38. 6/3=12. 9; MSост=11. 7/9=1. 3. F=MSисп/MSост. Fмар=10. 2/1. 3=7. 85; Fавт=12. 9/1. 3=9. 92. • Результаты двухфакторного дисперсионного анализа Источник изменчивости Сумма Число степеней квадратов SS свободы ν Средний квадрат MS Критерий Фишера F Марки шин 30. 6 3 10. 2 7. 85 Автомобили 38. 6 3 12. 9 9. 92 Остаток 11. 7 9 1. 3 ИТОГО 80. 9 15

• • • Многофакторный дисперсионный анализ Модель yijk= + j+βj+ k + ijk • • • Многофакторный дисперсионный анализ Модель yijk= + j+βj+ k + ijk A B C D Уровни х1: a 1; a 2; a 3; a 4; B D A C Уровни х2: b 1; b 2; b 3; b 4; C A D B D C B A Уровни х3: A; B; C; D; Этапы вычислений: • 1. Подсчет итогов (сумм) и средних значений по строкам Ai, столбцам Bj и латинским буквам Ck. • 2. Вычисление суммы квадратов результатов всех наблюдений: • SS 1 = (Yijk)2. • 3. Сумма квадратов итогов по строкам, деленная на число элементов в каждой строке: SS 2 = Ai 2 / n. • 4. Сумма квадратов итогов по столбцам, деленная на число элементов в каждом столбце: SS 3 = Bj 2 / n. • 5. Сумма квадратов итогов по латинским буквам, деленная на число элементов, соответствующих каждой букве: SS 4 = Ck 2 / n.

• 6. Корректирующий член, равный квадрату общего итога, деленному на общее число ячеек • 6. Корректирующий член, равный квадрату общего итога, деленному на общее число ячеек квадрата (на число опытов): SS 5 = Yijk / (n 2). • 7. Сумма квадратов для строки: SSa=SS 2–SS 5. • 8. Сумма квадратов для столбца: SSb=SS 3 -SS 5. • 9. Сумма квадратов для латинской буквы: SSc=SS 4 -SS 5. • 10. Общая сумма квадратов: SSобщ=SS 1 -SS 5. • 11. Остаточная сумма квадратов: SSост=SSобщ-(SSa+SSb+SSc). • Дисперсионный анализ латинского квадрата Источник изменч-ти Сумма квадратов SS Число степеней свободы Средний квадрат MS Критерий Фишера F Строки SSa=SS 2 -SS 5 a=n– 1 MSa=SSa/ a MSa / MSост Столбцы SSb=SS 3 -SS 5 b=n– 1 MSb=SSb/ b MSb / MSост Лат. буквы SSc=SS 4 -SS 5 c=n– 1 MSc=SSc/ c MSс / MSост Остаток SSост=SSобщ – ост=(n-1) (n-2) MSост=SSост/ ост – (SSa+SSb+SSc) Итого SSобщ=SS 1–SS 5 общ=n 2– 1

• Греко-латинский квадрат • Исследовано влияние рецептурных факторов на относительное удли-нение при разрыве • Греко-латинский квадрат • Исследовано влияние рецептурных факторов на относительное удли-нение при разрыве композиций на основе поливинилхлорида (ПВХ). • x 1 – партия полимера. Уровни фактора x 1: a 1, a 2, a 3, a 4. • x 2 – содержание пластификатора. Уровни фактора x 2, масс. ч. : b 1 – 20, b 2 – 30, b 3 – 40, b 4 – 50. • x 3 – тип стабилизатора. Уровни фактора x 3: A –соевое масло, B – стеарат кальция, C – стеарат бария и D – стеарат кадмия. • x 4 – тип динамометра. Уровни фактора x 4: , β, и . • A B C Dβ • C D Aβ B • Bβ A D C • D Cβ B A

План и результаты эксперимента при изучении свойств ПВХ x 2 x 1 a План и результаты эксперимента при изучении свойств ПВХ x 2 x 1 a 2 a 3 a 4 Aiср Ai 2 b 1 A (8. 2) B (10. 2) C (8. 3) Dβ (5. 9) 32. 6 8. 2 1063 b 2 C (15. 1) D (25. 8) Aβ (22. 3) B (21. 2) 84. 4 21. 1 7123 b 3 Bβ (48. 9) A (25. 7) D (49. 6) C (35. 2) 160. 4 39. 9 25408 b 4 D (74. 1) Cβ (69. 5) B (80. 9) A (57. 1) 281. 6 70. 4 79299 Bj 146. 3 131. 2 161. 1 120. 4 G= =558. 0 Bjср 36. 6 32. 8 40. 3 29. 9 Bj 2 21404 17213 25953 14256

A B C D C k 113. 3 161. 2 128. 1 155. 4 A B C D C k 113. 3 161. 2 128. 1 155. 4 Ckср 28. 3 Ck 2 12837 25985 16410 24149 40. 3 β 32. 0 38. 9 Dl 129. 3 146. 6 150. 1 132. 0 Dlср 32. 3 D l 2 16718 21492 22530 17424 36. 7 37. 8 33. 0

• • • Вычисление суммы квадратов результатов всех наблюдений. . . SS 1=8. • • • Вычисление суммы квадратов результатов всех наблюдений. . . SS 1=8. 22+10. 22+8. 32+. . . +80. 92+57. 12 =28992. 54. Сумма квадратов итогов по строкам, деленная на число элементов в каждой строке. • • SS 2=(1063+7123+25408+79299) / 4 =28223. 25. Сумма квадратов итогов по столбцам, деленная на число элементов в каждом столбце. . • • • SS 3=(21404+17213+25953+14256)/4=19706. 50. Сумма квадратов итогов по латинским буквам, деленная на число элементов, соответствующих каждой букве. • • SS 4=(12837+25985+16410+24149) / 4 =19845. 25. Сумма квадратов итогов по греческим буквам, деленная на число элементов, соответствующих каждой букве. • SS 5=(16718+21492+22530+17424) / 4 =19541. 00.

• Корректирующий член, равный квадрату общего итога, деленному на общее число ячеек квадрата • Корректирующий член, равный квадрату общего итога, деленному на общее число ячеек квадрата (на число опытов). • • • • SS 6 = 558. 02/ 16 = 19460. 25. Сумма квадратов для строки. SSa=SS 2 -SS 6; SSa=28223. 25 -19460. 25=8763. 00. Сумма квадратов для столбца. SSb=SS 3 -SS 6; SSb=19706. 50 -19460. 25=246. 25. Сумма квадратов для латинской буквы. SSc=SS 4 -SS 6; SSc=19845. 25 -19460. 25=385. 00. Сумма квадратов для греческой буквы. SSd=SS 5 -SS 6; SSd=19541. 00 -19460. 25=80. 75. Общая сумма квадратов. SSобщ=SS 1 -SS 6; SSобщ=28992. 54 -19460. 25=9532. 27. Остаточная сумма квадратов. SSост=SSобщ-(SSa+SSb+SSc+SSd); SSост=9532. 27 -(8763. 00+246. 25+385. 00+80. 75)=57. 27.

Дисперсионный анализ греко-латинского квадрата 4 4. Источник изменчивости Сумма квадратов SS Число степеней свободы Дисперсионный анализ греко-латинского квадрата 4 4. Источник изменчивости Сумма квадратов SS Число степеней свободы ν Средний квадрат MS Критерий Фишера F Строки, x 2 8763. 00 3 2921. 0 152. 9 Столбцы, x 1 246. 25 3 82. 1 4. 3 Лат. буквы, x 3 385. 00 3 128. 3 6. 7 Греч. буквы, x 4 80. 75 3 26. 9 1. 4 Ошибка 57. 27 3 19. 1 F(3; 3; 0. 05)=9. 28 и F(3; 3; 0. 1)=5. 39 Итого 9532. 27 15

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В УСЛОВИЯХ ВРЕМЕННОГО ДРЕЙФА • Влияние этого временнóго дрейфа на параметры математического ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В УСЛОВИЯХ ВРЕМЕННОГО ДРЕЙФА • Влияние этого временнóго дрейфа на параметры математического описания процесса можно практически устранить, разбивая серию опытов на отдельные блоки так, чтобы эффект от временнóго дрейфа оказался смешанным с произведениями факторов, для которых коэффициенты регрессии достаточно малы. • Допустим, необходимо устранить влияние временнóго дрейфа на параметры уравнения регрессии, получаемого в результате полного трехфакторного эксперимента. С этой целью разобьем эксперимент на два блока и введем новую независимую переменную хд, характеризующую дрейф. Положим хд=х1 х2 х3. • В один из блоков отберем опыты, для которых хд=+1, а в другой блок – для которых хд=– 1. • Формально это планирование можно рассматривать как эксперимент типа 24– 1 с генерирующим соотношением хд=х1 х2 х3.

Планирование в условиях временного дрейфа Блок х1 х2 х3 хд=х1 х2 х3 Отклик 1 Планирование в условиях временного дрейфа Блок х1 х2 х3 хд=х1 х2 х3 Отклик 1 – 1 +1 – 1 – 1 +1 +1 +1 +1 +1 – 1 – 1 2 y 1+βд y 2+βд y 3+βд y 4+βд y 5–βд y 6–βд y 7–βд y 8–βд

• Если уравнение регрессии ищется в виде • y=b 0+b 1 x 1+b • Если уравнение регрессии ищется в виде • y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 12 x 1 x 2+b 23 x 2 x 3+b 123 x 1 x 2 x 3, • то коэффициенты регрессии будут являться следующими оценками: • b 0→β 0; b 1→β 1; b 2→β 2; b 3→β 3; b 12→β 12; b 13→β 13; b 23→β 23; b 123→β 123+βд; • Рассчитаем, например, коэффициенты b 1 и b 123: • b 1=(–(y 1+βд)+(y 2+βд)–(y 3+βд)+(y 4+βд)–(y 5–βд)+(y 6– βд)–(y 7–βд)+(y 8–βд))/8= • =(–y 1+y 2–y 3+y 4–y 5+y 6–y 7+y 8)/8; • b 123=((y 1+βд)+(y 2+βд)+(y 3+βд)+(y 4+βд)–(y 5–βд)–(y 6– βд)–(y 7–βд)–(y 8–βд))/8= • =(y 1+y 2+y 3+y 4–y 5–y 6–y 7–y 8)/8+βд. • Следовательно, все коэффициенты регрессии, кроме b 123, не содержат погрешностей, обусловленных временным дрейфом.

• Анализ временнóго дрейфа может быть осуществлен также с помощью магических квадратов. Пусть • Анализ временнóго дрейфа может быть осуществлен также с помощью магических квадратов. Пусть нужно поставить N независимых опытов. Числа от 1 до N – это некоторые параметры времени, такие как часы или дни. Высказывается предположение, что при постановке N опытов имеет место временнóй дрейф экспериментальных данных. Характер дрейфа линейный. Рассмотрим план, представляющий собой совмещение магического квадрата с полным факторным экспериментом 24.

• Рассмотрим результаты определения зависимости твердости резин от температуры вулканизации ( = 180 • Рассмотрим результаты определения зависимости твердости резин от температуры вулканизации ( = 180 о. С и = 140 о. С), продолжительности процесса ( = 17 мин и = 5 мин), дозировки ускорителя ( = 1. 2 масс. ч. и = 0. 4 масс. ч. ) и наполнителя ( = 30 масс. ч. и = 10 масс. ч. ). • Реализован полный факторный эксперимент 24 • Допустим, что ежедневно ставим один опыт, тогда все опыты будут поставлены за 16 дней. В течение этого времени имеет место линейный дрейф. Для защиты от этого дрейфа наложим ПФЭ 24 на 4 4 магический симметричный квадрат, элементами которого являются номера шестнадцати опытов. Такой план приемлем, если взаимодействия х1 х4 и х2 х3 незначимы.

Факторный эксперимент 24, совмещенный с 4 4 магическим квадратом x 1(+1) x 2(+1) x Факторный эксперимент 24, совмещенный с 4 4 магическим квадратом x 1(+1) x 2(+1) x 4(+1) x 3(+1) x 1(– 1) x 2(+1) x 2(– 1) 16 72. 0 2 70. 0 3 73. 8 13 59. 8 x 4(– 1) 5 69. 8 11 57. 8 10 62. 7 8 54. 7 x 4(+1) x 3(– 1) 9 67. 5 7 59. 3 6 64. 4 12 52. 2 x 4(– 1) 4 62. 4 14 48. 3 15 52. 2 1 50. 2

• • • • « x 1=[-1; 1; -1; 1; -1; 1]; « • • • • « x 1=[-1; 1; -1; 1; -1; 1]; « x 2=[-1; -1; 1; 1; -1; 1; 1]; « x 3=[-1; -1; 1; 1; 1; 1]; « x 4=[-1; -1; 1; 1; 1]; « y=[50. 2; 48. 3; 52. 2; 62. 4; 54. 7; 57. 8; 62. 7; 69. 8; 52. 2; 59. 3; 64. 4; 67. 5; 59. 8; 70; 73. 8; 72]; « X=[x 1. ^0 x 1 x 2 x 3 x 4]; « b=(inv(X'*X))*(X'*y) b=61. 0687 2. 3187 4. 5312 4. 0062 3. 8063 « Y=X*b; « max(abs(y-Y)) ans = 3. 7938 « [(y-Y). /y*100] ans = 7. 5573 « (64. 7 -61. 1)/15*2 ans=0. 4800 • В последней формуле сопоставлены значения отклика до дрейфа и после него. Если бы не было дрейфа, значение отклика в нулевой точке было бы 64. 7 единиц, а в результате дрейфа (пребывание в агрессивной среде) понизилось на 3. 6 единиц.

• КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ • Зависимость между двумя переменными величинами называется статистической, если каждому • КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ • Зависимость между двумя переменными величинами называется статистической, если каждому значению одной из них соответствует множество значений другой, но число этих значений не является постоянным, а сами значения не отражают определенной закономерности. • Рассмотрим двумерные наблюдения, т. е. такие наблюдения, которые дают значения двух случайных величин х и у. • Используем такую статистическую характеристику – ковариацию или второй смешанный центральный момент (иначе – корреляционный момент) величин х и у: • Коэффициент корреляции

• Справедливы следующие соотношения: • y=a+bx; x=a +׳ b ׳ y • Таким • Справедливы следующие соотношения: • y=a+bx; x=a +׳ b ׳ y • Таким образом, мы получаем два уравнения регрессии, которые отвечают двум различным математическим формулировкам задачи: в первом случае минимальное значение имеет сумма квадратов отклонений, взятых параллельно оси ординат, во втором случае – сумма квадратов отклонений, взятых параллельно оси абсцисс.

• При подсчете коэффициентов регрессии можно воспользоваться следующими соотношениями: • β= +φ При • При подсчете коэффициентов регрессии можно воспользоваться следующими соотношениями: • β= +φ При rxy = 1, tgφ = 0, следовательно, в этом частном случае обе линии регрессии совпадают. Каждая из переменных становится линейной функцией другой переменной. При rxy = 0 мы получаем две взаимно перпендикулярные прямые, параллельные координатным осям и проходящие через точку с координатами В этом случае очевидно, что между переменными не может существовать линейной статистической связи.

• • y 1 – условное напряжение при удлинении 100%, МПа; y 2 • • y 1 – условное напряжение при удлинении 100%, МПа; y 2 – условное напряжение при удлинении 200%, МПа; y 3 – условное напряжение при удлинении 300%, МПа; y 4 – условная прочность при растяжении, МПа; y 5 – относительное удлинение при разрыве, %; y 6 – сопротивление разлиру, к. Н/м; y 7 – твердость по Шору А.

• Представление о корреляциях • с помощью модели косинуса • Соотношение между вулканизационными • Представление о корреляциях • с помощью модели косинуса • Соотношение между вулканизационными характеристиками • ν=877; • r=0. 968; r=0. 935; r=0. 984; • tgφ=– 0. 0281. tgφ=– 0. 0535 tgφ=– 0. 0155.

• МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ • МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

ОПТИМИЗАЦИЯ • ОДНОМЕРНЫЙ ПОИСК • Метод последовательной дихотомии предусматривает размещение на каждом этапе экспериментирования ОПТИМИЗАЦИЯ • ОДНОМЕРНЫЙ ПОИСК • Метод последовательной дихотомии предусматривает размещение на каждом этапе экспериментирования сразу двух новых точек, расположенных симметрично относительно середины интервала неопределенности на расстоянии друг от друга. Здесь – по возможности малая величина, ограниченная снизу разрешающей способностью доп в измерении величины x. Значение доп – это та минимальная разница между соседними наблюдениями x, которая может быть обнаружена инструментально с помощью тех измерительных средств, которые имеются в распоряжении экспериментатора.

• Метод поиска Фибоначчи базируется на использовании чисел Фибоначчи Fk, определяемых рекуррентным соотношением • Метод поиска Фибоначчи базируется на использовании чисел Фибоначчи Fk, определяемых рекуррентным соотношением вида: Fk=Fk-1+Fk-2, k>1, F 0=F 1=1. N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 FN 1 2 3 5 8 13 21 34 55 • Метод золотого сечения является частной разновидностью метода Фибоначчи и отличается от него лишь тем, что в методе золотого сечения нет необходимости в обязательном предварительном определении общего числа опытов N. Координаты x(1) (первой точки в этом методе) находятся по формуле: • x(1) = xmin + q L,

• Метод последовательной дихотомии • Метод последовательной дихотомии

• Метод поиска Фибоначчи • Метод поиска Фибоначчи

• Метод золотого сечения • Метод золотого сечения

• МНОГОМЕРНЫЙ ПОИСК • Многомерность делает унимодальность менее вероятной • Нельзя найти меру • МНОГОМЕРНЫЙ ПОИСК • Многомерность делает унимодальность менее вероятной • Нельзя найти меру эффективности поиска, которая не зависела бы некоторым образом от удачи экспериментатора. • Восприятие размера в многомерных пространствах. • • • Существует большое число разнообразных методов многомерного поиска. В дальнейшем будут рассмотрены лишь некоторые из них, получившие наибольшее распространение для целей экспериментальной оптимизации. Эти методы можно разделить на две большие группы: на градиентные и неградиентные методы поиска экстремума.

• Метод крутого восхождения (МКВ) • Путь крутого Стратегия метода • Восхождения Бокса-Уилсона • Метод крутого восхождения (МКВ) • Путь крутого Стратегия метода • Восхождения Бокса-Уилсона

• Метод покоординатного поиска, ( метод Гаусса-Зайделя) • • • Метод Гаусса-Зайделя весьма • Метод покоординатного поиска, ( метод Гаусса-Зайделя) • • • Метод Гаусса-Зайделя весьма прост при практической реализации, достаточно помехоустойчив. Однако ясно, что траектория поиска вряд ли будет наикратчайшей. Кроме того метод Гаусса. Зайделя имеет тенденцию к ложной остановке процедуры, если в ходе движения поисковая точка окажется на узком • «гребне» .

• Последовательный симплексный метод (ПСМ). • Правильные симплексы • Последовательный симплексный метод (ПСМ). • Правильные симплексы

• Сравнение симплексного метода с крутым восхождением • Сравнение симплексного метода с крутым восхождением

• • Использование Шаги симплекса ПСМ переменного размера • • Использование Шаги симплекса ПСМ переменного размера

• Оптимизация методом Гаусса-Зайделя • Оптимизация методом Гаусса-Зайделя

• Оптимизация методом крутого восхождения • Оптимизация методом крутого восхождения

• Оптимизация симплексным методом. • Оптимизация симплексным методом.

• ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ В ПРОМЫШЛЕННЫХ УСЛОВИЯХ • • • 1. Промышленный эксперимент • ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ В ПРОМЫШЛЕННЫХ УСЛОВИЯХ • • • 1. Промышленный эксперимент должен одновременно с нормальным функционированием объекта и производством товарной продукции обеспечить получение полезной информации для нахождения оптимальных условий управления объектом. 2. Чтобы извлечь такую информацию, можно реализовать целенаправленное «покачивание» объекта около так называемого «рабочего режима» , планируя пробные шаги варьирования по управляемым факторам и выделяя влияние изучаемых переменных на отклик в условиях шума с помощью регрессионного анализа. 3. В производственных условиях, по сравнению с лабораторными, имеет место большое количество неконтролируемых и неуправляемых факторов, влияющих на ход процесса. 4. Медленные (относительно частоты постановки опытов) случайные флуктуации одних неконтролируемых и неуправляемых факторов промышленного объекта вызывают нерегулярный временной дрейф поверхности целевого отклика по отношению к управляемым факторам, то есть нерегулярное изменение с течением времени всей поверхности, а значит, и координат точки ее экстремума в их пространстве. 5. В промышленных условиях для реализации адаптационной оптимизации нет специального штата высококвалифицированных исследователей, а есть у производственной установки обслуживающий персонал довольно низкой квалификации. Здесь нет и той насыщенности исследования измерительными, регистрирующими приборами и вычислительными устройствами, которая присуща лабораторному эксперименту. Поэтому планы и вычислительные алгоритмы обработки наблюдений промышленного эксперимента должны быть достаточно просты. 6. Адаптационная оптимизация производственных установок предполагает постоянное исследование и подстройку объекта, то есть неограниченное временем проведение промышленного эксперимента, а значит, и неограниченное число его опытов.

• ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ • Во многих ситуациях, которые могут встретиться в промышленности, в • ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ • Во многих ситуациях, которые могут встретиться в промышленности, в экономической деятельности требуется максимизировать или минимизировать некоторую количественную величину при определенных ограничениях. • Например, бизнесмен хочет максимизировать свою прибыль, однако при этом он ограничен общим числом имеющихся у него машин, наличием людей, капиталом, который он может инвестировать, и рядом других экономических факторов. • Пример. Имеется три вещества сложного состава В 1, В 2 и В 3 разной цены. Каждое из них содержит определенное количество необходимых ингредиентов И 1, И 2, И 3 и И 4 Известно, что в течение суток требуется И 1 – не менее 250, И 2 – не менее 60, И 3 – не менее 100 и И 4 – не менее 220. Требуется минимизировать затраты на приобретение этих веществ. Очевидно, что количество приобретаемых веществ не может быть отрицательным.

Содержание необходимых ингредиентов в веществах и цены этих веществ В 1 В 2 В Содержание необходимых ингредиентов в веществах и цены этих веществ В 1 В 2 В 3 И 1 4 6 15 И 2 2 2 0 И 3 5 3 4 И 4 7 3 12 Цена 44 35 100

• В состав MATLAB входит Tool. Box Optimization, предназначенный для решения такого рода • В состав MATLAB входит Tool. Box Optimization, предназначенный для решения такого рода задач. • Используется функция linprog. • Первым аргументом linprog всегда является вектор f (вектор коэффициентов), далее задается матрица A и вектор b. • Решение. • x 1, x 2 и x 3 – искомые количества веществ. • Целевая функция: • f. Tо x=44·x 1+35·x 2+100·x 3. • При наличии ограничений в виде равенств дополнительными аргументами могут быть Aeq и beq, наконец, двусторонние ограничения являются шестым и седьмым аргументами linprog. Поскольку линейные ограничения содержат «меньше или равно» , а количество ингредиентов в продуктах не должно быть менее заданных величин, то следует изменить знаки обеих частей системы. • Для решения задачи составляется файл-прграмма. При вызове linprog вместо неиспользуемых аргументов (нет ограничений в виде равенств и верхней границы для неизвестных) задаются пустые массивы, обозначаемые [].

• Решение. • Матрица А и векторы b и lb: • • [x, • Решение. • Матрица А и векторы b и lb: • • [x, p]=linprog(f, A, b, [], lb, []); p=1. 8118 e+003; р – общая стоимость продуктов. Интерпретация. Представляет интерес умножить A на х, определить рекомендуемое содержание ингредиентов и сравнить его с минимально допустимым. A*x= [-250; -60: -142. 14; -220]; • Сравнивая эти числа с вектором b, можно констатировать завышенное содержание третьего ингредиента. Это объясняется тем, что не было введено ограничение на максимальное содержание.

КОНТРОЛЬНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ • Одно из наиболее важных применений статистическая теория находит в методах статистического КОНТРОЛЬНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ • Одно из наиболее важных применений статистическая теория находит в методах статистического контроля, среди которых хорошо известным примером может служить контроль качества. • Контроль качества находит наиболее широкое применение в промышленности. • Методика контроля качества находит два основных применения. • Первое применение она находит в управлении технологическими процессами, при котором какой-либо реальный процесс, например такой, как работа машины, измеряется с целью оценки хода работы в настоящее время и, как подразумевается, для получения отправных данных для работы в ближайшем будущем. • Второе применение она находит в приемочном контроле, который оценивает ход работы в прошлом путем измерения качества произведенных товаров. • Поэтому это второе применение имеет дело с конечной совокупностью вещей, которые уже были произведены, тогда как управление технологическим процессом нацелено на проверку самого хода фактического производства. • Это позволяет руководству выявить недостатки в процессе почти одновременно с их появлением и тем самым предотвратить выпуск изделий, имеющих дефекты.

• Метод контроля основывается на свойствах нормальной кривой. Около 99. 7% всех наблюдаемых • Метод контроля основывается на свойствах нормальной кривой. Около 99. 7% всех наблюдаемых значений, взятых из нормально распределенной совокупности, располагаются в пределах интервала трех стандартных отклонений в любую сторону от среднего значения, и поэтому только около трех из каждой тысячи показаний наблюдений располагается вне этих пределов. Исходя из этого, может быть составлена контрольная карта, которая показывает возможные значения на вертикальной оси и ряды последовательных целых чисел, представляющих последовательные наблюдения, расположенные вдоль горизонтальной оси. • Горизонтальная линия проведена на высоте, • соответствующей среднему значению; гори • зонтальные линии проведены также на высо • тах, представляющих контрольные пределы. • Верхний контрольный предел установлен на • высоте, соответствующей значению средней • плюс три стандартных отклонения (С. о. ); ни • жний контрольный предел установлен на вы • соте, соответствующей значению средней • минус три стандартных отклонения, так что около 99. 7% всех показаний должны расположиться в этих пределах.

• Контрольные карты можно использовать: • 1. Как сигнал о том, что в • Контрольные карты можно использовать: • 1. Как сигнал о том, что в процессе произошло некоторое изменение, так и в качестве оценки величины изменения, для которого требуется коррекция. • 2. Исключительно как сигнал о том, что в процессе произошло некоторое изменение, чтобы оператор осознал, что процесс требует его внимания. • 3. Для получения оценок числа случаев в прошлом, когда в процессе возникали изменения, и установления на их основе причин, вызывающих эти изменения. • 4. Как меру качества продукции для классификации по периодам. • В производстве чаще всего используются: • 1) контрольные карты Шухарта (карты R и s – средних значений, размаха и стандартного отклонения); • 2) карты скользящих геометрических средних (скользящего экспоненциально взвешенного среднего) и скользящих размахов; • 3) карты накопленных сумм; • 4) многомерные контрольные карты.

• Контрольные карты и R • Контрольные карты и R

• Контрольные карты и R для вулканизационных характеристик t 10, t 50 и • Контрольные карты и R для вулканизационных характеристик t 10, t 50 и t 90 • Карта накопленных сумм

• Контрольные карты кумулятивных сумм для вулканизационных характеристик • Контрольные карты кумулятивных сумм для вулканизационных характеристик

• ОПИСАНИЕ ПОЧТИ СТАЦИОНАРНОЙ ОБЛАСТИ • При изучении почти стационарной области возникает ряд • ОПИСАНИЕ ПОЧТИ СТАЦИОНАРНОЙ ОБЛАСТИ • При изучении почти стационарной области возникает ряд новых сложных проблем. • Если мы хотим описать эту часть поверхности отклика полиномом (многочленом) второго порядка, то переменные нужно варьировать уже на трех уровнях. • Возникает сложная задача построения таких планов. • Здесь, прежде всего, нужно выбрать какой-то достаточно разумный критерий оптимальности. • Во всяком случае, с самого начала было ясно, что планы полного факторного эксперимента типа 3 n (n – количество факторов) здесь неприемлемы, так как они потребуют слишком большого числа опытов. Если три фактора – 33=27, четыре фактора – 34=81. • В работе Бокса и Уилсона (1951) была выдвинута идея построения композиционных планов, ядром которых служат линейные ортогональные планы. • Предполагается что, попав в почти стационарную область, исследователь сначала ставит опыты, используя линейные планы. • Затем, убедившись в том, что гипотеза линейности здесь не проходит, он достраивает линейный план до плана второго порядка; отсюда и само название — композиционный план.

• Рассмотрим такую ситуацию: имеется два фактора, и на первом этапе мы строим • Рассмотрим такую ситуацию: имеется два фактора, и на первом этапе мы строим полный факторный эксперимент (ПФЭ) 22. • На рисунке точки этого плана изображены зачерненными кружками. • Далее ставится эксперимент в центре квадрата для проверки гипотезы адекватности. Затем реализуются «звездные» точки. • Выбор плана – это всегда компромиссное решение, принимаемое в результате диалога. • Раньше это был диалог со справочником-каталогом планов, сейчас – это диалог с компьютером.

• Ортогональность плана. План называется ортогональным, если ковариационная матрица плана содержит все нулевые • Ортогональность плана. План называется ортогональным, если ковариационная матрица плана содержит все нулевые элементы, кроме элементов главной диагонали (диагональная матрица). Для ортогональных планов все оценки коэффициентов независимы: эллипсоид рассеяния ориентирован так, что направление его главных осей совпадает с направлением координатных осей в пространстве коэффициентов. • Ротатабельность плана. Ротатабельные планы имеют ковариационную матрицу, инвариантную к вращению координат, позволяют получить одинаковую дисперсию предсказанных значений функции отклика во всех равноудаленных от центра эксперимента точках. Выполнение этого условия делает любое направление от центра эксперимента равнозначным в смысле точности оценки поверхности. • Если информационные контуры плана представить как поверхности с равными значениями дисперсии оценки поверхности отклика, то для ротатабельного плана эти поверхности будут представлять собой сферы.

• ПФЭ 32; композиционный симметричный ортогональный трехуровневый план • Х 1 • ПФЭ 32; композиционный симметричный ортогональный трехуровневый план • Х 1

• Композиционный симметричный ротатабельный униформный план. В центре 5 точек. b=0. 707. • • Композиционный симметричный ротатабельный униформный план. В центре 5 точек. b=0. 707. • Х 2

• Информационные профили • Информационные профили

• ПРИМЕНЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ ПРОГРАММНЫХ ПРОДУКТОВ ДЛЯ АНАЛИЗА ПОЧТИ СТАЦИОНАРНОЙ ОБЛАСТИ Экспериментальная сетка, сформированная • ПРИМЕНЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ ПРОГРАММНЫХ ПРОДУКТОВ ДЛЯ АНАЛИЗА ПОЧТИ СТАЦИОНАРНОЙ ОБЛАСТИ Экспериментальная сетка, сформированная ломаными линиями без аппроксимации уравнением Поверхность отклика, отвечающая наибольшему значению коэффициента детерминации

• ПРИМЕНЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ ПРОГРАММНЫХ ПРОДУКТОВ ДЛЯ АНАЛИЗА ПОЧТИ СТАЦИОНАРНОЙ ОБЛАСТИ Поверхность отклика, отвечающая • ПРИМЕНЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ ПРОГРАММНЫХ ПРОДУКТОВ ДЛЯ АНАЛИЗА ПОЧТИ СТАЦИОНАРНОЙ ОБЛАСТИ Поверхность отклика, отвечающая модели 310 по каталогу программы TC 3 D Поверхность отклика, отвечающая модели 301 по каталогу программы TC 3 D

• Зависимость напряжения 100% от продолжительности вулканизации и содержания технического углерода N 330 • Зависимость напряжения 100% от продолжительности вулканизации и содержания технического углерода N 330

• Изолинии для относительного удлинения при разрыве с добавлением экспериментальных точек • Изолинии для относительного удлинения при разрыве с добавлением экспериментальных точек

• ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ СОСТАВ-СВОЙСТВО • Частным случаем решения задачи описания почти стационарной области • ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ СОСТАВ-СВОЙСТВО • Частным случаем решения задачи описания почти стационарной области является построение регрессионных моделей для систем, являющихся смесями двух и более различных компонентов. • Переменные xi таких систем являются пропорциями (относительным содержанием) нескольких (например, трех) компонентов смеси и удовлетворяют условию • xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1 • Геометрическое место точек, удовлетворяющих условию нормированности сумм переменных, представляет собой двумерный симплекс (треугольник). • Каждой точке симплекса соответствует смесь определенного состава, и любой комбинации относительных содержаний трех компонентов соответствует определенная точка симплекса. • В рассматриваемой нами ситуации вершины симплекса соответствуют 100%-му содержанию каждого компонента; стороны треугольника, лежащие напротив этих вершин, соответствуют нулевому содержанию данного компонента; относительное содержание каждого компонента откладывается вдоль соответствующей стороны треугольника состава. • Состав может быть выражен в мольных, массовых и объемных долях или в процентах.

• Опустив из каждой вершины треугольника высоту, разделив каждую из них на десять • Опустив из каждой вершины треугольника высоту, разделив каждую из них на десять равных по величине отрезков и проведя через полученные деления прямые, параллельные сторонам треугольника, получим треугольную сетку.

• Для решения задачи построения диаграммы «свойство-состав» на симплексе целесообразно рассматривать модель y=y(x • Для решения задачи построения диаграммы «свойство-состав» на симплексе целесообразно рассматривать модель y=y(x 1, x 2, x 3) (y – отклик) в форме приведенного полинома. Такие приведенные полиномы для трехкомпонентных смесей показаны ниже. • Модель второго порядка для трех переменных: • y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 • Неполная кубическая модель: • y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 + 123 x 1 x 2 x 3 • Модель третьего порядка: • y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 + • + 12(x 1 – x 2) + 13(x 1 – x 3) + 23(x 2 – x 3) + 123 x 1 x 2 x 3 • Модель четвертого порядка: • y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 + • + 12(x 1 – x 2) + 13(x 1 – x 3) + 23(x 2 – x 3) + • + 12 x 1 x 2(x 1 – x 2)2+ 13 x 1 x 3(x 1 – x 3)2+ 23 x 2 x 3(x 2 – x 3)2+ • 1123 x 12 x 2 x 3+ 1223 x 1 x 22 x 3+ 1233 x 1 x 2 x 32 • Полиномы такого вида получаются из обычных полиномов соответствующей степени введением соотношения xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1

• Так, например, полином второй степени, в общем случае имеющий вид • y=b • Так, например, полином второй степени, в общем случае имеющий вид • y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 12 x 1 x 2+b 13 x 1 x 3+b 23 x 2 x 3+b 11 x 12+b 22 x 22+b 33 x 32, • в приведенной форме с учетом условия xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1 приобретет форму y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 • При переходе к приведенной форме постоянный член b 0 исключается из уравнения умножением обеих сторон xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1 на b 0. • b 0 x 1 + b 0 x 2 + b 0 x 3 = b 0 и подстановкой полученных результатов в уравнение • y=(b 0+b 1)x 1+(b 0+b 2)x 2+(b 0+b 3)x 3+b 12 x 1 x 2+b 13 x 1 x 3+b 23 x 2 x 3+b 11 x 12+b 22 x 22+b 33 x 32 • Исключения квадратичных членов можно достичь подстановкой в уравнение вместо величин x 12, x 22 и x 32 значений x 12=x 1–x 1 x 2–x 1 x 3, x 22=x 2–x 1 x 2–x 2 x 3, x 32=x 3–x 1 x 3–x 2 x 3, образованных путем умножения соотношения xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1 соответственно на x 1, x 2 и x 3 • y=(b 0+b 11)x 1+(b 0+b 22)x 2+(b 0+b 33)x 3+(b 12–b 11–b 22)x 1 x 2+ • + (b 13–b 11–b 33)x 1 x 3 +(b 23–b 22–b 33)x 2 x 3 Введя обозначения 1=b 0+b 11; • 2=b 0+b 22; 3=b 0+b 33; 12=b 12–b 11–b 22; 13= b 13–b 11–b 33; • 23=b 23–b 22–b 33, получим приведенную форму • y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3

• Для оценки коэффициентов приведенных полиномов были предложены симплекс-решетчатые планы. • В таблице • Для оценки коэффициентов приведенных полиномов были предложены симплекс-решетчатые планы. • В таблице представлено расположение точек (матрица планирования) и обозначение откликов для случая модели второго порядка. Отклик Координаты точек Отклик Координаты точек x 1 x 2 x 3 y 1 1 0 0 y 12 1/2 0 y 2 0 1 0 y 13 1/2 0 1/2 y 3 0 0 1 y 23 0 1/2

• Для построения модели второго порядка реализуются точки в вершинах треугольника и в • Для построения модели второго порядка реализуются точки в вершинах треугольника и в серединах его сторон. • Схема расположения экспериментальных точек в симлексных решетках • {3, 2} {3, 3}* {3, 3} {3, 4} {4, 2} • {q, n}-решетки, q – число компонентов смеси, n – степень полинома • Формулы для вычисления параметров модели второго порядка • 1=y 1; 2=y 2; 3=y 3; • 12=4 y 12– 2 y 1– 2 y 2; 13=4 y 13– 2 y 1– 2 y 3; 23=4 y 23– 2 y 2– 2 y 3.

• Пример. Результаты исследования прочности пористых резин на основе комбинации каучуков СКМС-30 РП • Пример. Результаты исследования прочности пористых резин на основе комбинации каучуков СКМС-30 РП и БС-45 К, содержа-щих три типа порообразователей х1 – N, N’-динитрозопентаметилен-тетрамин (ЧХЗ-18), х2 – азодикарбонамид (ЧХЗ-21), х3 – бикарбонат натрия. • Координаты точек и результаты эксперимента Координаты точек x 1 x 2 x 3 1 0 0 0 1 0 0 σ, МПа Координаты точек σ, МПа x 1 x 2 x 3 5. 6 5. 9 ½ 1/2 0 4. 4 4. 7 0 3. 2 1/2 0 1/2 5. 1 5. 4 1 6. 0 6. 3 0 1/2 3. 8 4. 0

• Вычисление коэффициентов приведенного полинома. • σ = 1 x 1 + 2 • Вычисление коэффициентов приведенного полинома. • σ = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 , хi [0; 1]. • • 1= σ1; 2= σ2; 3= σ3; 12=4σ12– 2σ1– 2σ2; 13=4σ13– 2σ1– 2σ3; 23=4σ23– 2σ2– 2σ3. β 1=(5. 6+5. 9)/2=5. 75; β 2=(3. 0+3. 2)/2=3. 10; β 3=(6. 0+6. 3)/2=6. 15; β 12=4(4. 4+4. 7)/2 -2(5. 6+5. 9)/2 -2(3. 0+3. 2)/2=0. 50; β 13=4(5. 1+5. 4)/2 -2(5. 6+5. 9)/2 -2(6. 0+6. 3)/2=-2. 80; β 23=4(3. 8+4. 0)/2 -2(3. 0+3. 2)/2 -2(6. 0+6. 3)/2=-2. 90. Уравнение регрессии имеет вид: σ = 5. 75 x 1 + 3. 10 x 2 + 6. 15 x 3 + 0. 50 x 1 x 2 - 2. 80 x 1 x 3 - 2. 90 x 2 x 3. • Проверка однородности дисперсий. • Критерий Кохрена: G=S 2 max/ Σ S 2 j. • Средние значения: 5. 75; 3. 10; 6. 15; 4. 55; 5. 25; 3. 90. • Дисперсии: 0. 045; 0. 020; 0. 045; 0. 020. • Условие однородности дисперсий: G

• Расчет дисперсии воспроизводимости. • • • N=6; S 2 E =(0. 045+0. • Расчет дисперсии воспроизводимости. • • • N=6; S 2 E =(0. 045+0. 020+0. 045+0. 020)/6=0. 037. Значения отклика в проверочной точке 4. 1; 4. 3. σ0 ср=4. 20 МПа Проверка адекватности модели. =a 12+a 22+a 32+a 122+a 132+a 232; ai=xi(2 xi-1); aij=4 xixj. t= σ·(r/(S 2 E (1+ ))1/2, = p(r-1), y=|σрасч-σср| – модуль разности отклика, рассчитанного по уравнению, и среднего отклика, определенного экспериментально в проверочной точке по r повторным наблюдениям. a 1=a 2=a 3=1/3·(2· 1/3 -1)=-1/9; a 12=a 13=a 23=4· 1/3=4/9; =3(-1/9)2+3(4/9)2=0. 630. Значения прочности в центре плана: σ0 расч=5. 75/3+3. 10/3+6. 15/3+ 0. 50/9 -2. 80/9 -2. 90/9=4. 42 МПа. t=|4. 42 -4. 20|·(2/(0. 037(1+0. 630))1/2 =1. 27; =6(2 -1)=6; =5 %; t(6; 0. 05)=2. 45.

• Условие адекватности: tрасч<tтабл. • tрасч =1. 27< tтабл=2. 45. Уравнение адекватно. • • Условие адекватности: tрасч

• Пример. Влияние состава полимерной матрицы на тепловой эффект вулканизации. Все рецептуры содержали • Пример. Влияние состава полимерной матрицы на тепловой эффект вулканизации. Все рецептуры содержали 15 масс. % каучука СКМС 30 РП и 30 масс. % смеси полимеров: каучук СКД (х1), полистирол (х2) и каучук СКМС-30 РП (х3) в различных соотношениях. Все системы содержали порообразователи. • Для построения диаграмм использована программа в системе MATLAB. Но в нее были внесены определенные коррективы, которые позволили реализовать процедуру в следующей последовательности. • С использованием программы Table Curve 3 D формируется модель, включающая два фактора х1 и х2. Затем составляется столбец значений параметров полученной модели b. этот столбец вводится в командное окно MATLAB. Затем открывается программа-модуль для построения диаграмм. В эту программу заранее внесены возможные уравнения. Такой подход позволяет рассчитать несколько конкурирующих моделей и оценить их статистические характеристики. • В рассматриваемом случае получены следующие модели: • 310 z=a+bx+cy+dx^2+ey^2+fxy+gx^3+hy^3+ixy^2+jx^2 y; • 1301 z=(a+cx+ey+gx^2+iy^2+kxy)/(1+bx+dy+fx^2+hy^2+jxy); • 301 z=a+bx+cy+dx^2+ey^2+fxy; • 65 z=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5+gy+hy^2+iy^3+jy^4+ky^5; • 50 z=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fy+gy^2+hy^3+iy^4+jy^5.

• На рисунке слева сплошными линиями показаны изолинии, полученные с использованием модели третьего • На рисунке слева сплошными линиями показаны изолинии, полученные с использованием модели третьего порядка (310), а пунктиром – модели второго порядка. Справа даны изолинии (сплошные) применительно к моделям 65 и 50. они практически совпадают. Пунктиром показаны изолинии для модели 1301 по каталогу TC 3 D.