Теория Автоматов Конечные функциональные преобразователи
Функциональная полнота образована соответствии с определением 1. 2, функционально полным набором (или бази сом) называется такое множество булевых функций, суперпозицией которых мо гут быть выражены любые булевы функции. Один из таких базисов — базис Буля — нами определен: это три функции И, ИЛИ, НЕ. Исследование проблем, связанных с базисами, чрезвычайно важно для практики: функции базиса — это тот полный набор строительных блоков, из которых можно строить все другие двоичные функ ции от любого числа переменных, а следовательно, реализовывать любые конеч ные функциональные прели.
Функциональная полнота Важными для практики и интересными с теоретической точки зрения являются вопросы: Q почему функции И, ИЛИ, НЕ такие особенные, что с их помощью можно по строить любую другую булеву функцию? Q существуют ли еще какие нибудь базисы, кроме базиса Буля? Q является ли некоторый заданный базис минимальным (то есть не содержит ли он излишних функций, выражающихся суперпозицией других)? Q как проверить, является ли заданный набор функций базисом, и если не явля ется, как дополнить его другими функциями, чтобы получившееся множество составило базис? Введем некоторые определения и обозначения
Функциональная полнота Определение 1. 5. Замыканием множества М булевых функций назовем такое мно жество булевых функций, которые можно получить суперпозицией функций из М. Замыкание множества М обозначим [М]. Пусть В — множество всех двоичных функций. Очевидно, что множество М дво ичных функций будет базисом, только если [М] = В. Рассмотрим свойства замы каний двоичных функций. Теорема 1. 4. Пусть М, N с В. Тогда: а) Мс[М]; б) [[М]] = [М]; [В]=В; в) Mc. N=>[M]c[Nj г) [М]СВ; д) если М — базис и М с [N], то N — тоже базис
Функциональная полнота Доказательство теоремы просто. Утверждения а), б), в) и г) следуют непосред ственно из определений. Докажем д). М с [N] => [М] с [[N]~] на основании в), сле довательно, [М] с N] на основании б). Но [ поскольку М — базис, [М] = В. Отсюда В с [N] , но поскольку г) [N] с В, то [N] = В. Попробуем найти другие базисы, отличные от базиса Буля. Согласно законам де Моргана, i(p v q) = ф iq. Следовательно, р v q = i( ip iq). Таким образом, дизъ юнкция выражается через конъюнкцию и отрицание, следовательно, суперпози цией функций {И, НЕ} можно построить все функции базиса Буля — то есть ИЛИ можно выбросить из этого базиса. Некоторые другие базисы представлены в табл. 1. 7. Их обоснование очевидно.
Функциональная полнота Рассмотрим конъюнктивный базис. Он является минимальным, поскольку выбра сывание из множества {И, НЕ} любой функции превращает оставшееся одноэле ментное множество в не базис. Действительно, например, с помощью суперпози ции произвольного числа функций НЕ можно построить только функцию НЕ и тождественную функцию ИДЕНТ, то есть f (х) = х. Заметим, что суперпозицией унарных функций множества М в {ИДЕНТ, НЕ} можно построить только функ ции этого множества. Множество булевых функций, обладающее этим свойством, называется замкнутым классом двоичных функций.
Функциональная полнота
Функциональная полнота Пример 1. 8 Конъюнкции, то есть все функции вида х, л х2 л. . . л хт, тоже составляют замкну тый класс. Очевидно, однако, что, например, функцию, которая на наборе (0, 0, . . . , 0) имеет значение 1, нельзя представить суперпозицией таких функций. Таким обра зом, {И} не является базисом, следовательно, конъюнктивный базис {И, НЕ} явля ется минимальным. Рассмотрим более подробно базис Жегалкина.
Алгебра Жегалкина и линейные функции Алгебра Жегалкина — это алгебра над множеством двух бинарных булевых функ ций(И, ©) и нульарной функции 1. Легко проверить следующие соотношения в этой алгебре: Справедливы в этой алгебре, конечно, и все соотношения табл. 1. 4, включающие эти функции. Если в произвольной формуле, включающей только функции бази са Жегалкина, раскрыть скобки, то получим бесскобочную формулу, имеющую вид суммы (по модулю два) произведений, то есть некоторый полином. Он называется полиномом Жегалкина
Алгебра Жегалкина и линейные функции Пример 1. 9
Алгебра Жегалкина и линейные функции Теорема 1. 5. Любая булева функция может быть представлена в виде полинома Жегалкина, причем единственным образом. Доказательство. Существование полинома для любой функции гарантируется тем, что функции {И, 0, 1} образуют базис. Далее, легко видеть, что число возможных членов в полиноме с m переменными равно 2 т. Поэтому число различных полино мов Жегалкина от m переменных равно 2 в степени 2 т, то есть числу возможных двоичных функций от m переменных. Поскольку одна и та же формула не может представлять различные функции, то тем самым между множествами двоичных функций и полиномов Жегалкина от m переменных установлено взаимноодно значное соотношение. Пример 1. 10 Построим для функции f (p, q, r) = ip vq 0 rq(pvr) примера 1. 2 полиномом Же галкина непосредственно из таблицы истинности (см. табл. 1. 3). Эту таблицу по вторим здесь.
Алгебра Жегалкина и линейные функции Таблица 1. 8 р 0 0 1 1 q 0 0 1 1 г 0 1 0 1 f 1 1 1 0 0 0 1 0
Алгебра Жегалкина и линейные функции Будем искать коэффициенты полинома , : . f (p, q, r) = a 0 0 appeaqq 0 arreapqpqe aprpr 0 aqrqr 0 a^pqr. , , . f Всего коэффициентов 8, каждый коэффициент может быть 0 или 1, число возмож ных вариантов равно 28 =* 256 — как раз столько, сколько всех возможных булевых функций от трех переменных. Для нахождения коэффициентов заданной функ ции используем таблицу ее значений. Искомые коэффициенты последовательно найдем из следующей системы уравне ний: f (0, 0, 0) = 1 = a 0; отсюда а 0 = 1; f (1, 0, 0) = 0 = а 0 Фар = 10 ap; отсюда ар =1; Г(0, 1, 0) = 1 = а 00 ач=10 ач; отсюдаач==0; f (0, 0, 1) = 1 = a 0 ©ar = 10 ar; отсюда ar = 0;
Алгебра Жегалкина и линейные функции Г(1, 1, 0) = 1 = а 0 Фар0 ачеар(1=1 е 1 еоеа 1 Х 1; отсюдаарч=1; f(l, 0, l) = 0 = a 0®ap 0 ar 0 apr =101000 apr; отсюда apr =0; Г(0, 1, 1) = 0 = а 00 ач0 аг 0 ачг = 100000 ачг; отсюда aqr =1 Найденное представление совпадает с представлением, полученным для этой функ ции ранее аналитически: f (p, q, г) = 1 Ф р Ф pq 0 qr. Булева функция, полином Жегалкина которой имеет вид а 0 ©Хах1 х{, называется линейной.
Скачать презентацию Теория Автоматов Конечные функциональные преобразователи Функциональная полнота
3261123c8960eeb09ac12e9335bf6184.ppt