Теория автоматического управления Линейные непрерывные системы 1

Теория автоматического управления. Линейные непрерывные системы.

1. Введение 1. 1 Общие сведения Саблина Галина Владимировна к. т. н. , доцент каф. Автоматики 7 корпус, ком. 506 email: g_sablina@ngs. ru Лекции – 1 в неделю (всего 16) Практика – 1 в две недели (всего 8) Лабораторные – 1 в месяц (всего 4) 1. 2. Система оценивания Практика – 2 контрольные работы - 10*2=20 баллов Лабораторные работы – 4*10=40 баллов Экзамен – 40 баллов Итого = 100 баллов

1. 3 Система перевода и накопления кредитов ECTS Оценка A+ A AB+ B BC+ C CD+ D D- E Значение Диапазон баллов рейтинга «Отлично» – работа высокого качества, уровень выполнения отвечает всем требованиям, теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество их выполнения оценено числом баллов, близким к максимальному 90 -100 «Очень хорошо» – работа хорошая, уровень выполнения отвечает большинству требований, теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом в основном сформированы, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество выполнения большинства из них оценено числом баллов, близким к максимальному Традиционная (5 -балльная) шкала оценки 80 -89 «Хорошо» – уровень выполнения работы отвечает всем основным требованиям, теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, некоторые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы недостаточно, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество выполнения ни одного из них не оценено минимальным числом баллов, некоторые из выполненных заданий, возможно, содержат ошибки «Удовлетворительно» – уровень выполнения работы отвечает большинству основных требований, теоретическое содержание курса освоено частично, но пробелы не носят существенного характера, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом в основном сформированы, большинство предусмотренных программой обучения учебных заданий выполнено, некоторые виды заданий выполнены с ошибками «Посредственно» – работа слабая, уровень выполнения не отвечает большинству требований, теоретическое содержание курса освоено частично, некоторые практические навыки работы не сформированы, многие предусмотренные программой обучения учебные задания не выполнены, либо качество выполнения некоторых из них оценено числом баллов, близким к минимальному отлично хорошо 70 -79 60 -69 удовлетворительно 50 -59

Оценка FX F Значение «Неудовлетворительно» (с возможностью пересдачи) – теоретическое содержание курса освоено частично, необходимые практические навыки работы не сформированы, большинство предусмотренных программой обучения учебных заданий не выполнено, либо качество их выполнения оценено числом баллов, близким к минимальному; при дополнительной самостоятельной работе над материалом курса возможно повышение качества выполнения учебных заданий «Неудовлетворительно» (без возможности пересдачи) – теоретическое содержание курса не освоено, необходимые практические навыки работы не сформированы, все выполненные учебные задания содержат грубые ошибки, дополнительная самостоятельная работа над материалом курса не приведет к какому-либо значимому повышению качества выполнения учебных заданий Диапазон баллов рейтинга Традиционная (5 -балльная) шкала оценки 25 -49 Неудовлетворительно 0 -24

1. 4 Список рекомендуемой литературы Основная литература в печатном виде 1. Савин М. М. Теория автоматического управления : [учебное пособие для вузов] / М. М. Савин, В. С. Елсуков, О. Н. Пятина ; под. ред. В. И. Лачина. - Ростов н/Д, 2007. - 469 с. : ил. - Рекомендовано УМО. 2. Востриков А. С. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования : учебное пособие / А. С. Востриков, Г. А. Французова, Е. Б. Гаврилов ; Новосиб. гос. техн. ун-т. - Новосибирск, 2008. - 476 с. в электронном виде 1. Востриков А. С. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования : учебное пособие / А. С. Востриков, Г. А. Французова, Е. Б. Гаврилов ; Новосиб. гос. техн. ун-т. - Новосибирск, 2008. - 476 с. . - Режим доступа: http: //www. ciu. nstu. ru/fulltext/textbooks/2008/vostrikov. pdf. - Инновационная образовательная программа НГТУ «Высокие технологии» . Дополнительная литература в печатном виде 1. Топчеев Ю. И. Задачник по теории автоматического регулирования : Учебное пособие для втузов / Ю. И. Топчеев, А. П. Цыпляков. - М. , 1977. - 591 с. : черт. 2. Востриков А. С. Теория автоматического регулирования : учебное пособие / А. С. Востриков, Г. А. Французова. - М. , 2006. - 365 с. - Рекомендовано УМО.

1. 5 Методическое и программное обеспечение Методическое обеспечение в печатном виде 1. Исследование свойств динамических систем : методические указания к лабораторным работам для студентов III курса факультета автоматики и вычислительной техники всех форм обучения / Новосиб. гос. техн. ун-т ; сост. : Г. А. Французова и др. - Новосибирск, 1999. - 24 с. : ил. Программное обеспечение 1. Microsoft Corporation, Excel. Позволяет выполнять вычисления, а также анализировать и визуализировать данные в электронных таблицах 2. Parametric Technology Corporation, Маth. CAD 14. Решение задач 3. Math. Works, Matlab Simulink. Моделирование процессов

2. Введение в теорию автоматического управления 2. 1 Предмет ТАУ 1765 г. – регулятор уровня И. И. Ползунова 1784 г. – регулятор скорости паровой машины Д. Уатта 1866 г. – работы «о регуляторах» Д. Максвелла 1876 -77 г. – работы «о регуляторах» И. А. Вышнеградского А. М. Ляпунов, Е. А. Барбашин, Н. Н. Красовский и др. Предметом теории автоматического управления являются свойства, методы расчета и конструирования систем автоматики с обратными связями.

2. 2 Основные понятия и определения Объект управления – техническое устройство или процесс, поведение которого нас не устраивает по каким-либо причинам. Управление – процесс воздействия на объект управления с целью изменения его поведения нужным образом. Регулирование – частный случай управления, целью которого является приведение объекта к заданному состоянию. Автоматический процесс – процесс, который совершается без участия человека. Система – совокупность элементов, объединенных общим режимом функционирования. При этом элементом можно называть любое техническое устройство. Динамическая система – система, процессы в которой изменяются с течением времени в силу собственных свойств. Система автоматического управления (САУ) – динамическая система, которая работает без участия человека. Теория автоматического управления(ТАУ) – научно-техническая дисциплина, в рамках которой изучаются свойства САУ, разрабатываются принципы расчета и построения таких систем.

Функциональная схема замкнутой системы автоматического управления Задание Управление Р ОУ Выход Обратная связь Основными элементами САУ являются: - объект управления (ОУ); - управляющее устройство или регулятор (Р), который сравнивает выход управляемого объекта с заданием и в зависимости от результата вырабатывает управляющий сигнал на объект. Функциональная схема системы с датчиком Задание Р Управление Измеренное значение ОУ Д Выход

Объект управления Управляющие воздействия (U 1, . . . , Um) – такие переменные, с помощью которых можно влиять на объект; Выходные переменные (y 1, . . . , yp) – доступные измерению величины, которые отражают реакцию объекта на управляющие воздействия; чаще всего p=m; Переменные состояния (x 1, . . . , xn) – внутренние и часто недоступные измерению переменные, которые определяют состояние объекта в каждый момент времени, причем n ≥ m; Возмущающие воздействия (M 1, . . . , Ml) – отражают случайные воздействия окружающей среды на объект управления и обычно недоступны измерению; требование подавления их влияния и приводит к необходимости создавать системы автоматического управления. Все переменные, характеризующие объект обычно представляют в векторной форме и используют следующие обозначения: Одноканальные объекты (или системы) – объекты с одной выходной переменной (p=1); Многоканальные (многосвязные, многомерные) объекты (или системы) – объекты, в которых число выходных переменных больше единицы (p>1);

2. 3 Пример системы управления Функциональная схема системы стабилизации температуры в холодильнике Uзад УМ ХА Камера ∆ ДТ Uк УМ – усилитель мощности с релейной характеристикой (управляющее устройство), он включает или отключает холодильный агрегат (ХА), «прокачивающий» хладоагент через трубки камеры; ДТ – датчик температуры, выходной сигнал Uk которого пропорционален температуре камеры; Uзад – вход; ∆ – разница между заданной и действительной температурой.

3. Динамические характеристики линейных систем 3. 1 Дифференциальные уравнения в векторно-матричной форме Форма скалярного дифференциального уравнения Уравнения состояния

3. 2 Переходная характеристика Эта динамическая характеристика используется для описания одноканальных объектов: с нулевыми начальными условиями Переходной характеристикой называется реакция системы на единичное ступенчатое входное воздействие при нулевых начальных условиях. Единичная ступенчатая функция обладает свойством: h(t- ) 1(t- ) При помощи интеграла свертки можно вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие t, сек

3. 3 Импульсная переходная функция представляет собой реакцию на входное воздействие типа единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях. g(t- ) t, сек Импульсная переходная функция позволяет вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях по выражению: Переходная характеристика и импульсная переходная функция связаны между собой соотношениями:

3. 4 Передаточная функция Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в ТАУ используются различные из преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобно представлять в символической форме с применением оператора дифференцирования: Что позволяет ввести новую динамическую характеристику – передаточную функцию. Для многоканальных систем общего вида: Передаточная функция вычисляется по следующему выражению: Чаще всего ПФ используются для описания одноканальных систем: ПФ динамических систем принято записывать в следующей стандартной форме:

3. 5 Частотные характеристики Важными динамическими характеристиками объекта являются его частотные характеристики, которые определяют взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе. Используются для описания одноканальных объектов: Если на вход подавать гармонический сигнал заданной амплитуды и частоты: На выходе тоже будет гармонический сигнал той же частоты, но другой амплитуды и со сдвигом по фазе: Обобщенная частотная характеристика:

Составляющие обобщенной частотной характеристики имеют самостоятельное значение и след. названия: Для исследования частотных свойств объекта или системы удобно использовать графическое представление частотных характеристик. В этом случае обобщенная частотная характеристика может быть построена на комплексной плоскости. При изменении частоты от 0 до вектор частотной характеристики прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется АФХ. Im Re

5. Структурный метод 5. 1 Типовые динамические звенья Для расчета различных САУ их обычно разбивают на отдельные элементы, динамическими характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка. Причем различные по своей физической природе элементы могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому их называют типовыми звеньями. Изображение системы в виде совокупности типовых звеньев с указанием связей между ними называется структурной схемой. Она может быть получена на основе как дифференциальных уравнений, так и передаточных функций. Данный способ и составляет суть структурного метода. Он настолько широко используется в практике проектирования, что, по существу, может считаться одним из «языков» , на котором обсуждаются свойства САУ. § Пропорциональное звено h(t) k t § Безынерционные усилители, механические редукторы

Дифференцирующее звено h(t) t § Тахогенератор постоянного тока Интегрирующее звено h(t) 1/ k t § Операционный усилитель

§ Апериодическое звено h(t) k t § § Различного рода двигатели Форсирующее звено h(t) t По сути, форсирующее звено это сумма пропорционального и дифференцирующего звеньев.

§ Звено с запаздыванием h(t) t § Звено 2 -го порядка h(t) k t двигатель постоянного тока, если вход- напряжение якорной цепи, выход – скорость вращения и учитываются как постоянная времени цепи якоря, так и электромеханическая постоянная.

§ 5. 2 Структурные схемы. Структурные преобразования. Структурной схемой называется графическая модель системы, в которой каждому элементу ставится в соответствие его динамическая характеристика. Такая схема наглядно отражает состав системы и связи между отдельными ее составляющими. При изображении структурной схемы будем придерживаться следующих обозначений ее элементов: • блок с указанной внутри него динамической характеристикой элемента; входной и выходной сигналы блока обозначаются стрелками u W(p) y • сумматор, выход которого равен сумме входных сигналов. Знак каждого сигнала может быть указан возле соответствующего входа (рис. а) или внутри сумматора; при этом знак «-» относится к перпендикулярно входящему сигналу (рис. б); + Рис. а Рис. б • интегратор на структурной схеме будем условно обозначать символом интегрирования (рис. а) или в операторной форме (рис. б). Рис. а 1 p Рис. б

С целью упрощения структурной схемы системы применяются различные ее преобразования. Основные из них: Последовательное соединение звеньев U W 1(p) x 1 . . . xm-1 Параллельное соединение звеньев U W 1(p) y 1 y . . . Wm (p) ym Wm (p) y

Отрицательная обратная связь u W 1(p) y W 2(p) Положительная обратная связь u W 1(p) W 2(p) y

Правило переноса В некоторых случаях для получения общей передаточной функции системы с помощью структурных преобразований удобнее было бы перенести точку приложения сигнала через звено ближе к выходу или входу. При таком преобразовании структурной схемы следует придерживаться правила: передаточная функция системы должна оставаться неизменной. Рассмотрим ситуацию, когда точка приложения сигнала переносится через звено ближе к выходу. Исходная структура системы показана на рисунке. u W 1(p) W 3 (p) y W 2 (p) Определим для нее результирующую передаточную функцию (5. 1) Перенесем точку приложения сигнала через звено с передаточной функцией, добавив в этот канал некоторую передаточную функцию. Получим структурную схему преобразованной системы u W 1(p) W 3 (p) W 2 (p) y W 4 (p) Для нее передаточная функция имеет вид (5. 2)

Поскольку при преобразовании структуры системы ее передаточная функция не должна измениться, приравняв правые части выражений (5. 1) и (5. 2), определим искомую передаточную функцию Таким образом, при переносе точки приложения сигнала ближе к выходу системы в канал следует добавить передаточную функцию звена, через которое переносится сигнал. Аналогичное правило можно сформулировать для переноса точки приложения сигнала ближе к входу системы: в соответствующий канал следует добавить обратную передаточную функцию звена, через которое переносится сигнал.

§ 5. 3 Структурные схемы, соответствующие дифференциальным уравнениям Второй способ составления структурной схемы основан на использовании дифференциальных уравнений. Рассмотрим его сначала для объекта, поведение которого описывают векторноматричные уравнения Проинтегрируем уравнение состояния в по времени и определим переменные состояния и выхода: x(0) u B x A C y

Структурную схему, соответствующую данным уравнениям, удобнее изображать, начиная с выходных переменных y, причем входные и выходные переменные объекта желательно располагать на одной горизонтальной прямой. Для одноканального объекта структурную схему можно составить по уравнению разрешив его относительно старшей производной Проинтегрировав n раз, получим (5. 3)

Этой системе уравнений соответствует структурная схема, приведенная на рисунке Как видим, одноканальный объект управления, поведение которого описывает уравнение, структурно всегда можно представить в виде цепочки из n последовательно соединенных интеграторов с обратными связями.

5. 4 Переход от передаточной функции к каноническому описанию Обсудим наиболее известные способы преобразования математической модели объекта в виде произвольной передаточной функции к описанию в переменных состояния. Для этой цели используем соответствующие структурные схемы. Отметим, что данная задача неоднозначна, так как переменные состояния для объекта можно выбирать различным образом. Рассмотрим два варианта перехода к описанию в переменных состояния от передаточной функции объекта (5. 4) где m

5. 4. 1. Первая каноническая форма Рассмотрим преобразование математической модели системы с передаточной функцией (5. 5). Ее структурную схему можно представить в виде двух последовательно соединенных звеньев Для каждого звена системы запишем соответствующее операторное уравнение (5. 7) Определим из первого уравнения (5. 7) старшую производную переменной z , что соответствует значению в операторной форме pnz Полученное выражение позволяет представить первое уравнение (5. 7) в виде цепочки из n интеграторов с обратными связями, а выходная переменная y формируется в соответствии со вторым уравнением (5. 7) как сумма переменной z и ее m производных (см. рис. )

(5. 7) Используя структурные преобразования, получим структурную схему системы

Структурная схема, соответствующая передаточной функции (5. 7), состоит из цепочки n интеграторов, где n – порядок системы. Причем в обратной связи находятся коэффициенты знаменателя исходной передаточной функции (коэффициенты характеристического полинома), а в прямой связи – коэффициенты полинома ее числителя. От полученной структурной схемы нетрудно перейти к модели системы в переменных состояния. С этой целью выход каждого интегратора примем за переменную состояния что позволяет записать дифференциальные уравнения состояния и уравнение выхода системы (5. 7) в виде (5. 8) Систему уравнений (5. 8) можно представить в векторно-матричной форме со следующими матрицами: Модель системы в переменных состояния (5. 8) будем называть первой канонической формой.

5. 4. 2 Вторая каноническая форма Рассмотрим второй способ перехода от передаточной функции (5. 4) к описанию в переменных состояния, для чего структуру системы (5. 6) схематично представим, как показано на рис. Ее операторные уравнения имеют вид (5. 9) Аналогично предыдущему случаю представим первое уравнение (5. 9) в виде цепочки из n интеграторов с обратными связями, а входное воздействие z 1 сформируем в соответствии со вторым уравнением (5. 9 ) в виде суммы управления u и m его производных (5. 9)

В результате структурных преобразований получим структурную схему системы, приведенную на рис. В этом случае структурная схема, соответствующая передаточной функции (5. 4), состоит из цепочки n интеграторов. В обратной связи также располагаются коэффициенты характеристического полинома, а в прямой связи – коэффициенты полинома ее числителя. Снова в качестве переменных состояния используем выходные величины интеграторов и запишем относительно их дифференциальные уравнения состояния и уравнение выхода (5. 10)

По уравнениям (5. 10) определим матрицы Модель системы в переменных состояния типа (5. 10) будем называть второй канонической формой. Отметим, что матрица A неизменна для первой или второй канонических форм и содержит коэффициенты знаменателя исходной передаточной функции (5. 4). Коэффициенты числителя передаточной функции (5. 4) содержит матрица C (в случае первой канонической формы) или матрица B (в случае второй канонической формы). Поэтому уравнения состояния, соответствующие двум каноническим представлениям системы, могут быть записаны непосредственно по передаточной функции (5. 4) без перехода к структурным схемам. Как видим, переход от передаточной функции к описанию в переменных состояния является процедурой неоднозначной. Мы рассмотрели варианты перехода к каноническому описанию, которые чаще других используются в теории автоматического управления.

Пример

5. 5 Область применения структурного метода Структурный метод удобен при расчете линейных автоматических систем, но имеет свои ограничения. Метод предполагает использование передаточных функций, главным образом при нулевых начальных условиях. При использовании структурного метода необходимо придерживаться следующего правила: при любом преобразовании системы ее порядок не должен уменьшаться, т. е. недопустимо сокращение одинаковых множителей в числителе и знаменателе передаточной функции. Сокращая одинаковые множители, мы тем самым исключаем из модели системы реально существующие звенья. Тем не менее есть редкие ситуации, когда можно без ущерба для расчета сократить сомножители. На следующих примерах проиллюстрируем эти свойства.

§ 6. Устойчивость линейных систем § 6. 1 Основные понятия Важнейшим из свойств процессов, протекающих в системах автоматики является устойчивость - это основное качественное свойство, без которого система не работоспособна. Физически устойчивость означает, что при ограниченном входном сигнале выходной сигнал также является ограниченным и процессы в системе стремятся к определенному значению при любых начальных условиях. Для линейной системы устойчивость определяется только ее структурой и параметрами и не зависит от величины внешних воздействий и начальных условий. Очевидно, что для переходной характеристики устойчивой системы справедливо условие 1 2 h(t) k t, сек Переходные характеристики системы: 1 – сходящийся процесс, система устойчива; 2 – расходящийся процесс, система неустойчива

Об устойчивости можно судить также по импульсным переходным функциям, которые в случае устойчивой системы удовлетворяют условию Рассмотрим, как можно оценить это свойство для систем, поведение которых описывают уравнения (6. 1) Определим зависимость переменных состояния от времени как решение векторноматричного уравнения состояния в виде (6. 2)

Здесь первое слагаемое соответствует свободной составляющей движения (из произвольных начальных условий), второе – вынужденной (движение под действием управления). Одним из основных режимов работы системы управления является равновесный (статический) режим, при котором переменные состояния с течением времени не меняются, а все производные координат состояния равны нулю. Покажем, что процесс движения к равновесию можно считать свободным, т. е. он соответствует первому слагаемому в выражении (6. 2). Предварительно запишем уравнение статики, полагая в (6. 1) (6. 3) откуда при det A 0 определим равновесное значение переменных состояния (6. 4) Введем новые координаты, равные отклонениям от точки равновесия, (6. 5) и запишем для них дифференциальное уравнение (6. 6) так как

После подстановки в (6. 6) вместо его значения из (6. 1) с учетом (6. 5) получим Учитывая (6. 4), уравнение в отклонениях принимает вид (6. 7) Как видим, уравнение (6. 7) не содержит u, и поэтому переходный процесс по порождается только ненулевыми начальными условиями согласно уравнению (6. 8) Линейная система (6. 1) называется устойчивой, если для ее процессов выполняется условие (6. 9) Оно представляет собой предел выражения (6. 8), которое соответствует первой составляющей решения (6. 2). Таким образом, устойчивость линейной системы (6. 1) определяется только ее структурой и параметрами и не зависит от величины внешних воздействий и начальных условий. Причем для анализа устойчивости можно не переходить к уравнениям в отклонениях от состояния равновесия, а исследовать свойства матрицы A.

6. 2 Условия устойчивости линейных систем 6. 2. 1. Общее условие устойчивости линейных систем Для устойчивости линейной системы (6. 1) необходимо и достаточно, чтобы вещественная часть всех собственных значений матрицы A (корней характеристического уравнения) была отрицательной, т. е. (6. 10) Покажем справедливость этого утверждения, для чего запишем характеристическое уравнение системы (6. 1) (6. 11) и найдем его корни. Используя модальное представление, определим полный процесс в системе, который представляет собой сумму экспонент (6. 12) Как видим, качественный характер переходных процессов полностью определяется значениями корней. В случае, когда все они вещественные и отрицательные, каждая компонента выражения (6. 12) при выполнении условия (6. 10) носит затухающий характер Следовательно, и их сумма также будет иметь затухающий характер, т. е. будет с течением времени стремиться к нулю.

Если корни характеристического уравнения (6. 11) комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью, то каждая пара их дает колебательную составляющую процесса, которая мажорируется затухающей экспонентой Следовательно, и в этом случае процесс, определяемый соотношением (6. 12), будет иметь затухающий характер. Это достаточность условия устойчивости (6. 10). Покажем теперь необходимость этого условия. Предположим, что хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть. Соответствующая ему составляющая решения будет с течением времени возрастать и в пределе стремиться к бесконечности.

Следовательно, полный процесс, который определяется выражением (6. 12), будет иметь расходящийся характер, Im * * * Re * * Корневой портрет системы а система (6. 1) никогда не сможет стать устойчивой. Изобразим корневой портрет системы и получим графическую интерпретацию условия (6. 10): для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости корней Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости корней, то система будет неустойчива. Мнимая ось представляет собой границу устойчивости системы:

6. 2. 1. Общее условие устойчивости линейных систем Таким условием является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения (6. 11). В этом можно убедиться, если при известных корнях i представить характеристический полином A(p) в виде произведения В случае, когда все корни вещественные уравнение принимает вид: характеристическое Раскрывая скобки, получим уравнение типа (6. 11), где все коэффициенты будут положительными. Нетрудно убедиться в том, что аналогичный результат получиться, если корни i комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью. Таким образом, коэффициенты характеристического уравнения (6. 11) устойчивой системы всегда будут положительны. При наличии хотя бы одного отрицательного коэффициента система будет неустойчивой. Дополнительных исследований не требуется. Однако положительность всех коэффициентов еще не гарантирует устойчивости системы, необходима ее дополнительная проверка.

6. 3. Критерии устойчивости 6. 3. 1 Критерий Гурвица Этот критерий сформулирован математиком А. Гурвицем в 1895 г. , он является алгебраическим и связывает расположение корней характеристического уравнения с определенными условиями, которые накладываются на его коэффициенты. по следующему правилу составляется матрица Гурвица: на главной диагонали сверху вниз выписываются по порядку коэффициенты характеристического уравнения от до включительно. В каждом столбце вниз от диагонали записывают коэффициенты при возрастающих степенях оператора p, вверх – при убывающих степенях p. Недостающие элементы в столбце дополняются нулями. (6. 13) Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров, полученных из матрицы Гурвица H, были положительны: (6. 14)

Здесь i – определители Гурвица, которые составляются следующим образом: (6. 15) Поскольку определитель n-1 –го порядка должен быть положительным, последнее условие соответствует требованию. Следствием критерия является условие границы устойчивости, когда последний определитель Гурвица обращается в нуль: (6. 16)

6. 3. 2 Критерий Михайлова Критерий сформулирован математиком А. В. Михайловым в 1938 г. Он базируется на принципе аргумента теории функций комплексной переменной. Для анализа устойчивости системы предлагается исследовать характеристический комплекс F(j ), который получается из характеристического полинома: заменой p на j (6. 17) (6. 18) Выделим в (6. 14) вещественную и мнимую части, а также модуль и фазу: (6. 19) При конкретном численном значении частоты ( = 1) характеристический комплекс (6. 19) представляет собой комплексное число которое можно изобразить на плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой. При изменении от 0 до ∞ конец вектора F(j )выписывает на комплексной плоскости некоторую кривую, которую называют годографом Михайлова (см. рис. ). Причем начинается годограф, как следует из соотношения (6. 18), в точке с координатами.

Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении от 0 до ∞начинался на вещественной оси в точке a 1 и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не обращаясь в нуль и стремясь к в n-м квадранте в ∞. Пример годографов Михайлова для устойчивых и неустойчивых систем третьего порядка приведен на рис. Условием границы устойчивости является обращение в нуль годографа Михайлова при некотором значении частоты = 0. Аналитически это условие можно записать в виде: (6. 20) Здесь 0 – частота незатухающих колебаний, возникающих в системе, которая находится на границе устойчивости.

6. 3. 3 Критерий Найквиста На практике более широкое применение по сравнению с критерием Михайлова получил критерий Н. Найквиста, который был разработан в 1932 г. для проверки устойчивости усилителей с отрицательной обратной связью, а затем обобщен на системы автоматического управления. Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость системы с отрицательной обратной связью (так называемой замкнутой системы) по экспериментально снятой или полученной на основе передаточной функции амплитуднофазовой частотной характеристики разомкнутой системы. Рассмотрим этот критерий для системы с единичной обратной связью (рис). Здесь W 0(p)– передаточная функция устойчивой разомкнутой системы, которая в общем случае имеет вид : где ее характеристический полином. Определим передаточную функцию системы, изображенной на рис. где характеристический полином замкнутой системы.

Формулировка критерия Найквиста: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении от 0 до ∞ не охватывала точку с координатами -1; j 0. Примеры расположения частотных характеристик, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам, приведены на рис. Разомкнутая система может быть неустойчива, однако это не означает, что неустойчивой будет и замкнутая система. В этой ситуации следует использовать видоизмененную формулировку критерия Найквиста: замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая характеристика неустойчивой разомкнутой системы при изменении от 0 до ∞ охватывает точку с координатами -1; j 0 в положительном направлении r/2 раз, где r– число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.