Теория антагонистических игр Казанская О В кафедра вычислительной

Теория антагонистических игр Казанская О. В. кафедра вычислительной техники НГТУ 1

Содержание раздела. 1. Основные понятия теории антагонистических игр 2. Позиционные игры, стратегии, нормальная форма игры, ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ теории позиционных игр 3. Равновесные стратегии. игры двух лиц с нулевой суммой, платежная матрица, матричные игры 2

Литература 1. Вентцель Е. С. Исследование операций. М. : Высшая школа, 1972, 1988, 2001. 2. Исследование операций. Под ред. Моудера Дж. , Эльмаграби С. М. : Мир, 1981 г. (В 2 -х томах) 3. Джафаров К. А. Игровые модели экономических ситуаций. Исследование операций: учебник / К. А Джафаров, А. А. Федоров. _ Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. - 248 с. 4. Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. М. : Энергия, 1980 – 424 с. 5. Зайченко Ю. П. Исследование операций, Киев: Высшая школа, 1975, 1988, 1993, 2001 гг. , 6. Таха Х. Исследование операций. 1985, 2002. 3

Тема 1. Основные понятия теории антагонистических игр 4

Основные понятия В основе теории антагонистических игр – предположение о том, что интересы двух игроков противоположны, что имеет место конфликтная ситуация В таких играх игрок действует активно в противовес интересам других игроков (если игры не кооперативные) Результат (исход) принятия решений для каждого их участников конфликта зависит от того, какой образ действий выберет его противник 5

Основные понятия Игра – модель (упрощенная схема, формализация) конфликтной ситуации Участники формализованного конфликта (игры) - игроки Формализация предполагает, что игра ведется по определенным правилам Теория (антагонистических) игр – математическая теория конфликтных ситуаций Задача этой теории – выработка рекомендаций по РАЦИОНАЛЬНОМУ образу действий участников конфликта 6

Об истории развития теории игр Некоторые результаты по теории игр были впервые опубликованы Эмилем Борелем, французским математиком (1871 — 1956), в 20–е гг. 20 - го столетия 7

Об истории развития теории игр Впервые теория игр была систематически изложена в кн. Дж. Фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1944 г. ) Дж. Фон Нейман – американский математик венгерского происхождения (1903 -1957 гг. ) 8

Тема 2. Позиционные игры Стратегии Нормальная форма игры Конечные игры Матричные игры ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ теории позиционных игр 9

ПРИМЕР 1 В позиционной игре k Конкуренция двух игроков, разрешенные ходы делаются в их логической фирм на рынке последовательности Возможные варианты Каждый ход производится: поведения: - либо непосредственно У фирмы A: игроком (личный ход, т. е. игрок однозначно выбирает - демпинг товара ход, имея достаточную - агрессивная информацию о наиболее реклама товара предпочтительном для себя У фирмы Б: поведении) - модернизация - либо выбирается случайным образом на товара основе известного - узкоспециализиров вероятностного анная реклама 10 распределения

Так как предполагается , что в игре допустима ситуация, когда возможные варианты поведения выбираются случайным образом на основе известного вероятностного распределения, то, очевидно, что решение такой задачи целесообразно при многократно повторяющейся ситуации выбора Только в этом случае вероятностное моделирование имеет смысл 11

Стратегия представляет собой некоторое правило, описывающее действие игрока, она указывает, какой способ (вариант) поведения следует выбрать игроку в каждом конкретном случае ПРИМЕР 1 Возможные стратегии: Игрок 1 (фирма A): - реализовать демпинг (личный ход) Игрок 2 (фирма Б): - в 40 % случаев производить модернизацию товара, - а в 60 % случаев задействовать узкоспециализированную рекламу 12 (случайный ход)

Нормальная форма игры Для обеспечения возможности выбирать наиболее предпочтительную стратегию результаты игры должны оцениваться с помощью некоторой цены (платежа) В каждой окончательной позиции значение платежа можно выразить с помощью вектора 13

Нормальной формой игры называется функция , которая задает вектор математических ожиданий выигрышей (платежей) для каждого из k игроков при соответствующем наборе стратегий, выбранных данными игроками Другими словами, нормальная форма игры – это векторная функция, которая ставит в соответствие 14

Задание 1 а): построить нормальную форму игры 2 игрока в теннис A и B постоянно играют друг с другом. Статистически зафиксировано, что вероятность выигрыша игрока А: - если он стоит у сетки: ü 0. 8, если при этом игрок B также стоит у сетки; ü 0. 2, если при этом B стоит у задней линии; - если он стоит у задней линии: ü 0. 5, если при этом игрок B также стоит у сетки; ü 0. 5, если при этом B стоит у задней линии. 15

Игры, в которых множества стратегий игроков – множества конечные называются конечными Для конечных игр нормальная форма игры может быть записана в виде платежных матриц 16

Задание 1 б): Записать платежные матрицы игроков A и B: 2 игрока в теннис A и B постоянно играют друг с другом. Статистически зафиксировано, что вероятность выигрыша игрока А: - если он стоит у сетки: ü 0. 8, если при этом игрок B также стоит у сетки; ü 0. 4, если при этом B стоит у задней линии; - если он стоит у задней линии: ü 0. 5, если при этом игрок B также стоит у сетки; ü 0. 5, если при этом B стоит у задней линии. 17

Тема 3. Игры двух лиц с нулевой суммой Платежная матрица Матричные игры 18

Игры с нулевой суммой В играх с нулевой сумма выигрышей (платежей) для любого исхода равна нулю, т. е. : 19

Игры с нулевой суммой Если в игре с нулевой суммой имеется только два игрока (k=2), то вектор выигрышей (платежей) будет иметь вид (a, -a), а нормальная форма игры задается матрицей, которая, как правило, называется платежной матрицей 20

Игра двух игроков с нулевой суммой 21

Тема 4. Равновесные стратегии Нижняя и верхняя цена игры Минимаксная и максиминная стратегии Цена игры Принцип минимакса 22

Равновесные стратегии 23

Равновесные стратегии Другими словами, если набор из k стратегий является равновесным, ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш в одностороннем порядке Примечание: большинство игр не имеет равновесных наборов 24

Игрок A ищет свою наилучшую Стратегию Ai из соображений получения наибольшего выигрыша в наихудших для него условиях, такой стратегией для него будет максиминная стратегия: 25

Игрок B ищет свою наилучшую стратегию Bj из соображений достижения наименьшего проигрыша в наихудших для него условиях, такой стратегий для него будет минимаксная стратегия: 26

27

Задание 1 в): Выписать максиминную и минимаксную стратегии в игре: 2 игрока в теннис A и B постоянно играют друг с другом. Статистически зафиксировано, что вероятность выигрыша игрока А: - если он стоит у сетки: ü 0. 8, если при этом игрок B также стоит у сетки; ü 0. 2, если при этом B стоит у задней линии; - если он стоит у задней линии: ü 0. 5, если при этом игрок B также стоит у сетки; ü 0. 5, если при этом B стоит у задней линии. 28

Максиминная и минимаксная стратегии являются РАВНОВЕСНЫМИ, т. е. если один из игроков придерживается своей минимаксной (максиминной) стратегии, то другой игрок не сможет улучшить свое положение отступив от своей максиминной (минимаксной) стратегии 29

Принцип минимакса • Принцип оптимальности, лежащий в основе выбора игроками своих равновесных стратегий, называется принципом минимакса • В соответствии с этим принципом (или минимаксным критерием разумности поведения) каждый способ действия оценивается по наихудшему для него исходу и оптимальным является способ, приводящий к наилучшему из наихудших результатов. 30 http: //matmodel. ru/article. php/2008112616302036

Тема 5. Смешанные стратегии Теорема о минимаксе 31

Смешанная стратегия (для одного игрока) представляет собой схему случайного выбора чистой стратегии (личного хода) Если в игре нет седловой точки, то игроку выгодно применять не одну чистую стратегию, а чередовать их случайным образом, но с определенными вероятностями! 32

В математической терминологии смешанная стратегия есть вероятностное распределение на множестве чистых стратегий игрока, т. е. например, для игрока А это вектор вероятностей 33

Задание 1 г): Оценить чистую цену игры: 2 игрока в теннис A и B постоянно играют друг с другом. Статистически зафиксировано, что вероятность выигрыша игрока А: - если он стоит у сетки: ü 0. 8, если при этом игрок B также стоит у сетки; ü 0. 2, если при этом B стоит у задней линии; - если он стоит у задней линии: ü 0. 4, если при этом игрок B также стоит у сетки; ü 0. 6, если при этом B стоит у задней линии. Можно рассчитать равновесные стратегии игроков: SA= p=(p 1, p 2)=(0. 25, 0. 75) SB = q=(q 1, q 2)=(0. 5, 0. 5) 34

Математическое ожидание выигрыша (чистая цена игры) в этом случае определяется как: 35

Задание 1 д): Рассчитать чистую цену игры: 2 игрока в теннис A и B постоянно играют друг с другом. Статистически зафиксировано, что вероятность выигрыша игрока А: - если он стоит у сетки: ü 0. 8, если при этом игрок B также стоит у сетки; ü 0. 2, если при этом B стоит у задней линии; - если он стоит у задней линии: ü 0. 4, если при этом игрок B также стоит у сетки; ü 0. 6, если при этом B стоит у задней линии. Равновесные стратегии игроков: SA= p=(p 1, p 2)=(0. 25, 0. 75) SB = q=(q 1, q 2)=(0. 5, 0. 5) 36

37

Теорема о минимаксе • Каждая матричная игра имеет хотя бы одну седловую точку в смешанных стратегиях «… Любопытно то, что как первый, так и второй игрок не получают никакого преимущества от знания распределения вероятностей ходов противника» 38