Теоретические основы массообмена Лекция № 11
Сущность массообменных процессов заключается в переносе одного или нескольких компонентов из одной фазы в другую. Компоненты – в термодинамике химически индивидуальные вещества, наименьшего числа которых достаточно для образования всех фаз системы. Количество каждого компонента системы может изменяться независимо от других компонентов. Число компонентов равно числу образующих систему индивидуальных веществ, уменьшенному на число независимых реакций, идущих в этой системе. Фаза – однородная по химическому составу и физическим свойствам часть термодинамической системы, отделенная от других частей (фаз), имеющих иные свойства, границами раздела, на которых происходит изменение свойств.
Для повышения эффективности массообменных процессов в качестве подготовительных и сопутствующих осуществляются механические, гидромеханические и тепловые процессы (предварительное измельчение для увеличения поверхности контакта фаз; движение жидкой или газообразной фазы вдоль поверхности твердого тела для интенсификации массообмена; повышение температуры для интенсивного испарения компонента – дистилляция; сушка). Большинство массообменных процессов включают три стадии: – движение компонента в пределах одной фазы к поверхности раздела фаз; – пересечение поверхности раздела; – удаление от поверхности раздела вглубь другой фазы. Совокупность этих стадий носит название массопередача.
В результате массообменных процессов изменяется состав фаз. При этом существуют различные способы выражения состава фаз (содержания компонентов в фазах): массовые или мольные концентрации (доли) – отношение массы или числа молей компонента к массе или числу молей фазы соответственно (кг/кг или моль/моль); относительные массовые или мольные концентрации – отношение массы или числа молей компонента к массе или числу молей другого компонента фазы соответственно (кг/кг или моль/моль); объемные концентрации (массовые или мольные) – отношение массы или числа молей компонента к объему фазы (кг/м 3 или моль/м 3).
1. Равновесие при массопередаче Протекание массообменных процессов является результатом нарушения термодинамического равновесия в системе. Знание равновесных соотношений и законов позволяет определять условия протекания массообменных процессов, их направление и движущую силу.
Состояние равновесия системы с произвольным числом фаз и компонентов подчиняется правилу фаз Гиббса: S=K–F+2 , где S – число степеней свободы (число независимых параметров, которые можно произвольно изменять, не нарушая числа и вида фаз в системе); K – число компонентов системы; F – число фаз системы.
В качестве примера рассмотрим двухфазную (жидкость-пар) двухкомпонентную систему (спиртвода). В данном случае число степеней свободы равно двум. То есть произвольно можно менять два параметра, например давление и температуру. Все остальные параметры (в данном случае концентрации компонентов в жидкой и паровой фазах) будут соответствовать заданной температуре и давлению. Если произвольно задать концентрацию компонента в одной из фаз и температуру, то заданным параметрам будут соответствовать вполне определенное давление и концентрация компонента в другой фазе.
Как следует из правила фаз Гиббса, определенной концентрации компонента в одной из фаз в заданных условиях соответствует некоторая равновесная концентрация этого же компонента в другой фазе. При изменении первоначальной концентрации соответственно меняется равновесная концентрация (устанавливается новое равновесное состояние). Совокупность равновесных состояний при заданных условиях выражается зависимостью: y* = f (x) или x* = φ (y) , где x* и y* – равновесные концентрации компонента в соответствующих фазах (при заданных x и у). Графическое изображение указанных зависимостей называется линией равновесия. В общем случае – это кривая, однако в отдельных частных случаях – прямая линия.
Отношение концентраций при равновесии называется коэффициентом распределения: y* m= x Для кривой линии коэффициент распределения – это переменная величина, для прямой линии – постоянная, равная тангенсу угла наклона линии равновесия к горизонтали. Конкретный вид законов равновесного распределения будет рассмотрен в дальнейшем. Линия равновесия используется при определении направления и движущей силы массообменного процесса.
2. Материальный баланс массообменного процесса. Рабочая линия Фактические концентрации компонентов в фазах, взаимодействующих в массообменном аппарате, отличаются от равновесных. Это является необходимым условием протекания массообменного процесса.
Рассмотрим массообменный аппарат, в котором осуществляется принцип противотока жидкой и паровой фаз. Составим уравнение материального баланса по переходящему компоненту для произвольно выбранного поперечного сечения аппарата: G * x + Ln * yn = Gk * xk + L * y , где G, L – массовые расходы жидкой и паровой фаз; x, y – содержания переходящего компонента в жидкой и паровой фазах соответственно. Индексы n и k соответствуют начальному и конечному содержанию компонента в фазах, а также начальному и конечному расходу фаз. Величины без индекса соответствуют произвольно выбранному сечению.
Из уравнения материального баланса получим следующее выражение: G y= Ln * yn - Gk * xk x+ L , L Это выражение называется уравнением рабочей линии. Оно устанавливает соотношение между фактическими концентрациями переходящего компонента в жидкой и паровой фазе для произвольного сечения массообменного аппарата. Если предположить, что расходы фаз незначительно изменяются в процессе их движения через массообменный аппарат, то уравнение рабочей линии приобретает вид уравнения прямой линии: y = A *x + B , где A=G / L , B=(L * yn – G * xk) / L.
3. Направление и движущая сила массопереноса Направление и движущую силу массопереноса можно определить по взаимному расположению линии равновесия и рабочей линии на графике в координатах x-y.
Если рабочая линия расположена ниже линии равновесия, то для любого сечения массообменного аппарата фактическое содержание переходящего компонента в паровой фазе ниже равновесного. В силу стремления системы к состоянию термодинамического равновесия содержание компонента в паровой фазе будет стремиться к равновесному, то есть повышаться. Это соответствует переходу компонента из жидкости в пар. Если же рабочая линия расположена выше линии равновесия, то для любого сечения аппарата фактическое содержание переходящего компонента в паровой фазе выше равновесного. То есть при стремлении системы к состоянию равновесия будет наблюдаться снижение содержания переходящего компонента в паровой фазе. Это соответствует переходу компонента из пара в жидкость.
Равенство фактического и равновесного содержания компонента в одной из фаз означает наступление термодинамического равновесия в системе. Степень отклонения системы от состояния термодинамического равновесия определяется разностью фактического и равновесного содержания компонента в фазе. Таким образом, именно эта разность должна рассматриваться как движущая сила массопередачи, определяющаяся как разность ординат ( y) линии равновесия и рабочей линии в одном и том же сечении аппарата.
Движущая сила изменяется при переходе от одного сечения к другому. Таким образом, при расчете массообменного аппарата следует пользоваться усредненным значением движущей силы, которое рассчитывается как среднеарифметическое или среднелогарифмическое значение движущих сил в крайних сечениях аппарата. В одном из крайних сечений движущая сила достигает своего максимального значения ( ymax), в другом – минимального ( ymin). При этом среднелогарифмическая движущая сила рассчитывается по формуле: ymax - ymin yср = ln ( ymax / ymin )
Если же соотношение между максимальным и минимальным значениями движущей силы меньше или равно двум, то с достаточной для технических расчетов точностью можно воспользоваться среднеарифметическим значением движущей силы: yср = ymax + ymin 2 Движущая сила процесса ( xср) может быть выражена также через разность фактической (x) и равновесной (x ) концентраций компонента в жидкой фазе с помощью аналогичных формул.
4. Способы массопереноса. Интенсивность массопереноса 4. 1. Молекулярная диффузия – это перенос компонента в неподвижной среде за счет хаотического движения микрочастиц (молекул, атомов) из зоны с большей концентрацией компонента в зону с меньшей концентрацией.
Количественно молекулярная диффузия описывается первым законом Фика: d. M = - D * d. S * d * grad(c) , где d. M – масса компонента, проходящего за малый промежуток времени d через элементарную поверхность d. S, нормальную направлению диффузии; grad(c) – градиент концентрации диффундирующего компонента; D – коэффициент молекулярной диффузии. Знак «минус» в этом уравнении говорит о том, что направление диффузии противоположно градиенту концентрации компонента.
Градиент концентрации характеризует скорость изменения концентрации диффундирующего компонента в направлении диффузии и равен изменению концентрации в расчете на единицу длины нормали к поверхности постоянной концентрации – изоконцентрационной поверхности. Градиент концентрации – это вектор, направленный по нормали к изоконцентрационной поверхности в сторону возрастания концентрации диффундирующего компонента.
Используя понятие плотности потока массы (массы компонента, проходящего в единицу времени через единицу поверхности – qm= d. M / (d. S * d ) ), закон Фика можно записать в следующем виде: qm= - D * grad(c) Плотность потока массы, очевидно, измеряется в кг/(м 2 с). Если концентрацию компонента выразить в кг/м 3, то градиент концентрации будет иметь размерность кг/м 4, а коэффициент молекулярной диффузии – м 2/с. Таким образом, плотность потока массы диффундирующего компонента пропорциональна градиенту концентрации этого компонента. При этом векторы градиента концентрации и плотности потока массы направлены в противоположные стороны.
Роль коэффициента пропорциональности выполняет коэффициент молекулярной диффузии, который, как следует из закона Фика, численно равен плотности потока массы диффундирующего компонента при единичном градиенте концентрации. Он характеризует способность данного вещества проникать в неподвижную среду. Численные значения коэффициента молекулярной диффузии зависят от свойств диффундирующего компонента и среды, в которой происходит диффузия, а также от температуры и давления. Коэффициенты молекулярной диффузии в газах имеют порядок 10 -5 -10 -4 м 2/с, в жидкостях на 4 -5 порядков меньше.
Таким образом, молекулярная диффузия является весьма медленным процессом, особенно в жидкостях. Коэффициент молекулярной диффузии увеличивается с ростом температуры, а в газах – при снижении давления. Нетрудно заметить, что закон Фика для молекулярной диффузии аналогичен закону Фурье для теплопроводности. Плотность потока массы является аналогом плотности теплового потока, градиент концентрации аналогичен градиенту температур, коэффициент молекулярной диффузии – коэффициенту теплопроводности.
Ограниченность первого закона Фика так же, как и закона Фурье, состоит в том, что он не дает возможности анализировать нестационарные процессы. Для этой цели применяется второй закон Фика, аналогичный дифференциальному уравнению теплопроводности: дc д 2 c =D д д 2 c + дx 2 д 2 c + дy 2 дz 2 В левой части этого уравнения частная производная от концентрации диффундирующего компонента по времени – . В правой части произведение коэффициента молекулярной диффузии на сумму вторых частных производных от концентрации по координатам – x, y, z.
4. 2. Конвективный перенос имеет место в движущихся средах и происходит благодаря движению самой среды. Плотность потока массы компонента при конвективном переносе определяется следующим уравнением: q m= α * w , где w – скорость движения среды; α – коэффициент пропорциональности, зависящий от концентрации переносимого компонента. Конвективный перенос намного интенсивнее молекулярной диффузии.
4. 3. Турбулентная диффузия Массоперенос во многих случаях происходит в турбулентно движущихся средах (газах, парах, жидкостях). Описание турбулентного движения чрезвычайно сложно, так как скорости движения среды к каждой точке турбулентного потока постоянно меняются по величине и направлению. Нахождение полей истинных (мгновенных) для каждого момента времени скоростей турбулентного потока – задача практически невыполнимая. Вместе с тем именно турбулентность способствует перемешиванию потока как в продольном, так и в поперечном направлениях. Таким образом, массоперенос происходит не только в направлении движения потока, но и в перпендикулярном, и даже в противоположном движению потока направлении.
Для описания турбулентной диффузии используют уравнения, аналогичные по форме уравнениям молекулярной диффузии: d. M = - DT * d. S * d * grad(c) qm= - DT * grad(c) ; , где DТ – коэффициент турбулентной диффузии.
Физический смысл коэффициента турбулентной диффузии аналогичен смыслу коэффициента молекулярной диффузии – это плотность потока массы, возникающего вследствие турбулентной диффузии, при единичном градиенте концентрации компонента. Размерность его, очевидно, такая же, как и у коэффициента молекулярной диффузии. Однако его численные значения, в отличие от коэффициента молекулярной диффузии, зависят совершенно от других факторов, а именно от гидродинамической обстановки (скорости потока, степени и характера его турбулентности). Интенсивность турбулентной диффузии во много раз выше молекулярной.
4. 4. Дифференциальное уравнение массообмена в движущейся среде (уравнение конвективной диффузии) Молекулярная диффузия неизбежно сопровождает как конвективный перенос, так турбулентную диффузию. Таким образом, в потоке движущейся среды, как правило, наблюдается сочетание молекулярной и турбулентной диффузий, а также конвективного переноса.
Суммарный перенос компонента в движущейся среде, по аналогии с конвективным теплообменом, называется конвективным массопереносом (конвективной диффузией) и описывается дифференциальным уравнением массообмена в движущейся среде (уравнением конвективной диффузии): дc д 2 c =D д д 2 c + дx 2 д 2 c + дy 2 дz 2
Левая часть этого уравнения представляет собой субстациональную производную от концентрации компонента. Субстанциональная производная состоит из двух частей – локальной и конвективной. Локальная часть характеризует скорость изменения концентрации компонента с течением времени в фиксированной точке пространства. Конвективная часть характеризует скорость изменения концентрации компонента в процессе перемещения частицы в потоке и зависит от скорости движения частицы.
Уравнение конвективной диффузии по структуре аналогично уравнению конвективного теплопереноса (Фурье–Кирхгофа). В случае неподвижной среды конвективная часть превращается в ноль, а уравнение конвективного массопереноса – в уравнение молекулярной диффузии. Уравнение конвективной диффузии совместно с уравнением движения среды (уравнением Навье– Стокса) и уравнением сплошности (неразрывности) потока при соответствующих условиях однозначности образуют замкнутую систему уравнений конвективного массопереноса. В общем виде эта система чрезвычайно сложна с точки зрения получения аналитического решения. Поэтому при анализе процессов конвективного массопереноса используют методы теории подобия.
4. 5. Термодиффузия При наличии перепада температур в фазе возникает массоперенос, обусловленный градиентом температур, который называется термодиффузией. В этом случае более легкий компонент перемещается в направлении градиента температур, то есть в зону с более высокой температурой, а более тяжелый – в противоположном направлении. Явление термодиффузии играет существенную роль при высоких градиентах температур в присутствии молекул, сильно отличающихся по массе (высокоинтенсивные процессы сушки, жарение, экстракция и др. ).
5. Механизм массопереноса В массообменных аппаратах, как правило, осуществляется противоточное движение сред либо обтекание средой поверхности твердого тела. Для интенсификации массопереноса предпочтительнее турбулентный режим движения. Турбулентный поток можно условно разбить на отдельные зоны.
В основной части потока на некотором расстоянии от границы раздела фаз (в ядре потока) наблюдается высокая степень турбулентности. Массоперенос в направлении, перпендикулярном потоку, происходит, главным образом, за счет турбулентной диффузии. Ввиду высокой скорости турбулентной диффузии концентрация переходящего компонента в ядре потока быстро выравнивается и практически постоянна. Вблизи границы раздела фаз происходит торможение потока за счет сил трения и образуется пограничный слой. Степень турбулентности в этом слое снижается по мере приближения к границе раздела фаз. Снижается роль турбулентной и возрастает роль молекулярной диффузии. Концентрация переходящего компонента в этом слое существенно изменяется, что говорит о росте сопротивления массопереносу по мере снижения степени турбулентности в пограничном слое.
Наконец, в непосредственной близости от границы раздела фаз образуется ламинарный подслой, где массоперенос осуществляется только за счет молекулярной диффузии. Несмотря на малую толщину ламинарного подслоя, ввиду малой интенсивности молекулярной диффузии, здесь происходит очень сильное изменение концентрации переходящего компонента по закону, близкому к линейному. Основное сопротивление переносу сосредоточено именно в этом тонком ламинарном подслое. Конвективный перенос имеет место в каждой зоне потока и происходит в направлении движения фазы.
При взаимодействии двух текучих сред (фаз) все сказанное относится к обеим средам (фазам). Таким образом, при массопередаче суммарное сопротивление массопереносу складывается из сопротивления: в пограничном слое первой фазы, при переходе границы раздела фаз и в пограничном слое второй фазы. Практика показывает, что в большинстве случаев сопротивлением границы раздела фаз можно пренебречь. Следовательно, концентрации компонента на границе раздела фаз со стороны одной и другой фазы можно считать равновесными.
На основе рассмотренного механизма массопереноса предпринимались попытки количественного описания процесса при определенных допущениях на основе соответствующих уравнений. В связи с этим известны пленочная модель переноса (Льюиса, Уитмена), модель диффузионного пограничного слоя (Ландау, Левича), различные модели обновления поверхности фазового контакта. Однако несмотря на теоретическую ценность этих моделей, они недостаточно точны и надежны. Причиной этому является сложность и недостаточная изученность турбулентного движения.
6. Массоотдача Перенос компонента из глубины фазы к поверхности раздела фаз или в обратном направлении в пределах одной фазы называется массоотдачей. Как следует из анализа механизма массопереноса, процесс массоотдачи очень сложен.
Для количественного описания и расчета этого процесса применяют уравнения массоотдачи: qm = βx ( x – xгр ) qm = βy ( yгр – y ) где qm – плотность потока массы при массоотдаче; βx , βy – коэффициенты массоотдачи в соответствующих фазах с противоположных сторон от границы раздела фаз; x , y – концентрации переходящего компонента в ядре потока с противоположных сторон от границы раздела фаз; xгр , yгр – концентрации переходящего компонента на границе раздела фаз с противоположных сторон.
Плотность потока массы в большинстве случаев одинакова с обеих сторон от границы раздела фаз. Два уравнения соответствуют двум способам выражения плотности потока массы – через характеристики одной и другой фазы соответственно. В соответствии с уравнениями массоотдачи плотность потока массы переходящего компонента пропорциональна движущей силе массоотдачи (разности концентраций этого компонента в ядре потока и на границе раздела фаз). При этом коэффициентами пропорциональности являются коэффициенты массоотдачи, характеризующие интенсивность массоотдачи в соответствующих фазах и численно равные плотности потока массы, в расчете на единицу соответствующей движущей силы.
Размерность коэффициентов массоотдачи зависит от способа выражения состава фаз. При выражении состава фаз в кг компонента на м 3 фазы размерность коэффициентов массоотдачи будет м/с, а при выражении состава фаз в кг компонента на кг фазы – кг/(с·м 2). Уравнение массоотдачи по структуре аналогично уравнению теплоотдачи (коэффициент массоотдачи аналогичен коэффициенту теплоотдачи, а разность концентраций переходящего компонента – движущая сила массоотдачи аналогична разности температур – движущей силе теплоотдачи). Ввиду сложности процессов массоотдачи аналитическое определение коэффициентов массоотдачи в большинстве случаев невозможно. Поэтому для этой цели чаще всего применяют методы теории подобия.
7. Применение теории подобия для определения коэффициентов массоотдачи l l Количество и структура критериев подобия определяются уравнениями процесса. В систему уравнений массообмена входят: уравнение движения вязкой жидкости (Навье–Стокса); уравнение неразрывности (сплошности) потока; уравнение массообмена в движущейся среде (уравнение конвективной диффузии); граничные условия (условия массопереноса на границе раздела фаз).
l l l В качестве определяющих критериев из уравнения Навье–Стокса используют критерий Рейнольдса, а также критерии Фруда или Галилея (критерий Галилея удобен в том случае, если неизвестна скорость движения среды). Уравнение неразрывности (сплошности) потока не дает иных критериев подобия, кроме тех, которые получены из уравнения Навье–Стокса. Уравнение конвективной диффузии по структуре аналогично дифференциальному уравнению конвективного теплообмена (Фурье–Кирхгофа). Таким образом, критерии, полученные из уравнения конвективной диффузии, аналогичны по структуре соответствующим теплообменным критериям и называются диффузионными (массообменными) критериями. Это диффузионные критерии Фурье (Fo`), Пекле (Pe`), Прандтля (Pr`). На принадлежность к диффузионным критериям указывает знак «штрих» .
l Плотность потока массы переходящего компонента на границе раздела фаз можно выразить с помощью уравнения массоотдачи, а также с помощью уравнения молекулярной диффузии в ламинарном пограничном подслое. Приравнивая одно значение к другому, получим граничные условия, позволяющие сформировать диффузионный критерий Нуссельта (Nu`): - Dx * gradгр(x) = βx * ( x – xгр ) - Dy * gradгр(y) = βy * ( yгр – y ) где индекс «гр» указывает на градиенты концентраций у границы раздела фаз; Dx и Dy – коэффициенты молекулярной диффузии в соответствующих фазах.
Диффузионные (массообменные) критерии имеют следующий вид: D * Fo` = w*ℓ ; Pe` = ℓ 2 v ; Pr` = D β*ℓ ; Nu` = D D Аналогом коэффициентов теплопроводности и температуропроводности здесь является коэффициент молекулярной диффузии – D. Аналогом коэффициента теплоотдачи является коэффициент массоотдачи – β. Остальные величины те же, что и в соответствующих теплообменных критериях. Диффузионный критерий Прандтля образован отношением диффузионного критерия Пекле к критерию Рейнольдса.
Диффузионный критерий Фурье характеризует соотношение скоростей локального изменения концентрации компонента и изменения его концентрации вследствие молекулярной диффузии. Диффузионный критерий Пекле характеризует соотношение массы компонента, переносимой конвективным путем, и массы, переносимой за счет молекулярной диффузии. Диффузионный критерий Прандтля характеризует соотношение свойств диффундирующего компонента и среды. Вместе с тем, вязкость среды при прочих равных условиях определяет поле скоростей в потоке, а коэффициент молекулярной диффузии – поле концентраций. Таким образом, диффузионный критерий Прандтля характеризует подобие полей скоростей среды и концентраций компонента в потоке, следовательно, соотношение толщин гидродинамического и диффузионного пограничного подслоя.
Диффузионный критерий Нуссельта характеризует подобие массопереноса у границы раздела фаз. Очевидно, что определяемым критерием в данном случае является диффузионный критерий Нуссельта, поскольку он содержит искомый коэффициент массоотдачи. Таким образом, критериальное уравнение для массообменных процессов имеет следующий вид: Nu` = f (Fo`, Pe`, Re, Fr, L 1, L 2, … ) При иной комбинации определяющих критериев: Nu` = f (Fo`, Pr`, Re, Gα, L 1, L 2, … ) где L 1 , L 2 , … – геометрические симплексы, определяющие соотношение размеров в системе, где протекает массообменный процесс. Наиболее распространенный вид функции f – степенная зависимость.
В частных случаях в критериальном уравнении могут отсутствовать некоторые критерии подобия. Так, при описании стационарных процессов отсутствует критерий Фурье. При незначительном влиянии сил тяжести на процесс отсутствуют критерии Фруда и Галилея.
8. Массопередача В уравнения массоотдачи входят концентрации преходящего компонента на границе раздела фаз. Расчет или экспериментальное определение этих концентраций – сложная, а иногда невыполнимая задача. Более удобными в этом смысле являются уравнения массопередачи: qm = kx * ( x – x* ) qm = ky * ( y* – y ) где x* и y* – равновесные концентрации переходящего компонента (x* равновесна y, а y* равновесна x); y и x – концентрации в ядре потока в соответствующих фазах; kx и ky – коэффициенты массопередачи, соответствующие определенным движущим силам процесса.
В первом уравнении движущая сила процесса выражается через разность фактического и равновесного значений x (в первой фазе), во втором уравнении – через разность фактического и равновесного значений y (во второй фазе). Два уравнения соответствуют двум способам выражения плотности потока массы переходящего компонента. В уравнениях массопередачи плотность потока массы переходящего компонента пропорциональна соответствующей движущей силе. Роль коэффициентов пропорциональности играют коэффициенты массопередачи, которые характеризуют интенсивность процесса массопередачи и равны плотности потока массы, возникающего при единичной движущей силе процесса. Размерность коэффициентов массопередачи такая же, как и у коэффициентов массоотдачи. Расчет фактических концентраций переходящего компонента осуществляется по уравнению рабочей линии, а равновесных концентраций – по уравнению линии равновесия. Возможность использования рабочей линии здесь обусловлена тем, что во многих случаях фактическая концентрация в ядре потока мало отличается от средней концентрации переходящего компонента в фазе.
Движущие силы массопередачи изменяются при переходе от одного сечения массообменного аппарата к другому. В связи с этим вводят понятие средней движущей силы (см. раздел «Направление и движущая сила массопередачи» ) и в уравнения массопередачи включают среднюю движущую силу: qm = kx * xср qm = ky * yср
Используя уравнения массоотдачи и массопередачи, понятие о коэффициенте распределения и допущение о равновесном распределении переходящего компонента на границе раздела фаз, можно выразить коэффициенты массопередачи через коэффициенты массоотдачи: kx = 1 1/ βx + 1/ m*βy 1 ky = 1/ βy + m / βx
Если линия равновесия не прямая (m не const), то коэффициенты массопередачи изменяются при переходе от одного сечения аппарата к другому. В этом случае аппарат разбивают на участки, в пределах которых коэффициенты массопередачи можно считать постоянными. Далее рассчитывают коэффициенты массопередачи на отдельных участках, а затем вычисляют среднее значение.
9. Объемные коэффициенты массоотдачи и массопередачи Для расчета потоков массы переходящего компонента в массообменных аппаратах необходимо знать площадь межфазной поверхности, что в ряде случаев затруднено. Например, когда одна из фаз находится в раздробленном состоянии в другой фазе (барботаж пара через слой жидкости, разбрызгивание капель жидкости в паре или газе, витание твердых частиц в потоке жидкости или газа). Другой пример – взаимодействие мелкопористых тел с жидкостями или газами (адсорбция, экстракция в системе твердое тело – жидкость).
Потоки массы можно определить по уравнениям массоотдачи и массопередачи: Fm = βx * S * (x - xгр) Fm = kx * S * (x – x*) где Fm – поток массы переходящего компонента, кг/с; S – площадь межфазной поверхности. Если площадь межфазной поверхности неизвестна и не может быть найдена аналитически, то для ее определения применим метод теории подобия. Таким образом, в уравнениях для потока массы два сомножителя должны быть определены методом теории подобия на основе одних и тех же уравнений, а значит на основе одних и тех же определяющих критериев подобия.
Для упрощения расчетов имеет смысл объединить оба сомножителя следующим образом. Ввести понятие удельной, в расчете на единицу объема (V), межфазной поверхности α = S/V. Тогда: Fm = βx * α * V * (x - xгр) Fm = kx * α * V * (x – x*) Объем в данном случае – это объем рабочей камеры аппарата – величина легко определяемая. Произведение коэффициента массоотдачи и удельной межфазной поверхности называют объемным коэффициентом массоотдачи (βV). Произведение коэффициента массопередачи и удельной межфазной поверхности называют объемным коэффициентом массопередачи (k. V).
На этом основании можно записать следующие уравнения: Fm = βV * (x - xгр) Fm = k. V * (x – x*) В этих уравнениях отсутствует площадь межфазной поверхности. При этом количество неизвестных коэффициентов, по сравнению с исходными уравнениями, не увеличилось.
Для определения объемных коэффициентов массоотдачи используют соответствующие критериальные уравнения, особенность которых состоит в том, что в качестве определяемого критерия используется диффузионный критерий Нуссельта, включающий объемный коэффициент массоотдачи: βV * ℓ 2 Nu. V` = D Нетрудно убедиться, что соотношения между объемными коэффициентами массопередачи и объемными коэффициентами массоотдачи остаются такими же, как и для обычных коэффициентов массопередачи и массоотдачи (см. раздел «Массопередача» ).
10. Массоперадача с твердой фазой Массопередача с твердой фазой встречается при адсорбции, экстракции, сушке. Твердая фаза в этих случаях является пористым материалом. При взаимодействии с текучей средой (жидкостью или газом) за счет массоотдачи компонент переходит от поверхности тела в окружающую среду или обратно. В результате происходит изменение концентрации компонента на поверхности твердого тела. Это, в свою очередь, приводит к возникновению градиента концентрации и массопереноса внутри твердой фазы.
Перенос вещества в неподвижном слое твердого материала называется массопроводностью и представляет собой, как правило, неустановившийся процесс. Процесс массопроводности описывается уравнением массопроводности, аналогичным первому закону Фика: qm= - K * grad(c) , где К – коэффициент массопроводности. Коэффициент массопроводности представляет собой коэффициент внутренней диффузии, выражающийся в тех же единицах, что и коэффициент молекулярной диффузии, и определяющийся экспериментально.
По аналогии с дифференциальным уравнением молекулярной диффузии можно записать дифференциальное уравнение массопроводности: дc д 2 c =D д д 2 c + дx 2 д 2 c + дy 2 дz 2 Граничные условия в данном случае получают, сопоставляя уравнение массоотдачи в омывающей твердое тело среде и уравнение массопроводности: - K * gradгр(c) = β * Δс , где Δс – разность концентраций переходящего компонента на границе раздела фаз и в ядре потока среды, омывающей твердое тело; β – коэффициент массоотдачи в среде, омывающей твердое тело.
Дифференциальное уравнение массопроводности с указанными граничными условиями позволяет описать массоперенос внутри твердой фазы. В данном случае возможно как аналитическое решение (в относительно простых случаях), так и применение теории подобия. И в том, и в другом случае решение удобно представлять в безразмерном виде, то есть в виде зависимости между критериями подобия. Из дифференциального уравнения массопроводности и указанных граничных условий можно получить следующие критерии подобия: Fo` = K * / ℓ 2 , Bi` = β * ℓ / K где Fo` – диффузионный критерий Фурье, включающий коэффициент массопроводности; Bi` – диффузионный критерий Био.
Диффузионный критерий Био характеризует соотношение скоростей внешней и внутренней диффузии (аналогичен теплообменному критерию Био). Диффузионный критерий Фурье в данном случае характеризует соотношение скоростей локального изменения концентрации компонента и изменения его концентрации вследствие массопроводности (в твердой фазе).
Искомой величиной в данном случае является концентрация диффундирующего компонента, распределенного в твердой фазе. В качестве определяемого безразмерного комплекса используют безразмерную концентрацию: c = ( c – cгр ) / ( снач – с* ) , где сгр – концентрация компонента на границе твердого тела; снач – начальная концентрация компонента в твердом теле; с* – концентрация компонента, равновесная концентрации этого же компонента в ядре потока омывающей тело среды; с - текущая концентрация компонента в твердом теле.
Текущая концентрация компонента в твердом теле зависит как от времени, так и от координаты – расстояния от границы раздела фаз. Поэтому в критериальном уравнении наряду с определяющими критериями подобия должна присутствовать безразмерная координата x/δ (x – расстояние от границы раздела фаз, δ – характерный размер, например толщина твердого тела). В результате критериальное уравнение будет иметь следующий общий вид: с = f (Bi`, Fo`, x/δ , … ) При достаточно сложной форме твердого тела возможно наличие нескольких безразмерных координат и геометрических симплексов, на что указывает многоточие.
Для тел простейшей формы возможно нахождение аналитического выражения функции f, из которого можно найти среднюю концентрацию переходящего компонента в твердой фазе в зависимости от времени, что позволяет установить кинетику и эффективность процесса. В этом случае для облегчения расчетов пользуются специальными таблицами и графиками, аналогичными тем, которые применяются при расчете нестационарной теплопроводности. В случае невозможности получить аналитическое решение, критериальное уравнение удобнее сразу представлять в виде зависимости средней безразмерной концентрации от критериев Био и Фурье, если не ставится более детальная задача.
Скачать презентацию Теоретические основы массообмена Лекция 11 Сущность
ПАПП Лекция 11.ppt