ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ Учебный практикум ОМСК

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ Учебный практикум ОМСК - 2010

Темы: 1. 2. 3. Системы счисления Кодирование данных в ЭВМ Логические основы ЭВМ

1. Системы счисления 1. 1. Основные понятия Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления. В непозиционных системах каждая цифра имеет свой вес, и ее значение не зависит от положения в числе – от позиции. Пример – римская система. В позиционных системах значения цифр зависят от их положения (позиции) в числе.

1. Системы счисления 1. 1. Основные понятия В любой позиционной системе число может быть представлено в виде суммы степенного ряда с основанием равным основанию системы счисления. где N – число; aj - цифры числа; p - основание системы счисления (p>1) Пример:

1. Системы счисления 1. 1. Основные понятия В аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в двух состояниях, поэтому основной системой счисления, применяемой в ЭВМ, является двоичная система. Двоичные числа записываются с помощью двух цифр: 0 и 1. Восьмеричная система счисления употребляется в информатике как вспомогательная, для записи информации в сокращенном виде. Использует восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада). Шестнадцатеричная система также используется для записи информации в сокращенном виде. Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр - латинскими буквами: 10 -A, 11 -B, 12 -C, 13 -D, 14 -E, 15 -F. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы в двоичной системе счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада). Соответствие основных систем счисления представлено в Таблице 1. 1.

1. Системы счисления 1. 1. Основные понятия Соответствие основных систем счисления представлено в следующей таблице: 10 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 1 10 11 100 101 110 111 8 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 8 9 10 11 12 13 14 15 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

1. Системы счисления 1. 2. Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную Для того чтобы перевести число из системы счисления с основанием N в десятичную необходимо найти сумму степенного ряда с основанием N. Пример:

1. Системы счисления 1. 3. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием Алгоритм: 1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока получим неполное частное меньше делителя. 2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. 3. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного, следом за которым идут все остатки в обратном порядке.

1. Системы счисления 1. 3. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием Примеры: a) Результат перевода: б) Остаток 14 заменяем буквой Е в соответствии с ал-фавитом шестнадцатеричной системы счисления. Результат перевода:

1. Системы счисления 1. 3. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием Алгоритм: Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему ее необходимо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

1. Системы счисления 1. 3. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием Примеры: a) б) Результат перевода: (с точностью до 3 знаков) Результат перевода:

1. Системы счисления 1. 3. Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием Пример: 1) Переводим целую часть Результат перевода: 2) Переводим дробную часть

1. Системы счисления 1. 4. Перевод чисел из одной недесятичной системы счисления в другую недесятичную Для перевода из восьмеричной системы счисления в двоичную достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах. Соответствие триады цифре в восьмеричной системе счисления указаны в следующей таблице: триада Пример: 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111

1. Системы счисления 1. 4. Перевод чисел из одной недесятичной системы счисления в другую недесятичную Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо двигаясь от точки влево и вправо, разбить двоичное число на группы по три разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. Пример:

1. Системы счисления 1. 4. Перевод чисел из одной недесятичной системы счисления в другую недесятичную Для перевода из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим четырехразрядным двоичным числом (тетрадой), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах. Соответствие тетрады цифре в десятичной системе счисления указаны в следующей таблице: тетрада 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Пример:

1. Системы счисления 1. 4. Перевод чисел из одной недесятичной системы счисления в другую недесятичную Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад. Пример: В общем случае для перевода чисел из одной недесятичной системы счисления в другую недесятичную систему счисления необходимо использовать в качестве посредника десятичную систему счисления.

1. Системы счисления Задания для самостоятельной работы: 1. Укажите, какие целые числа следуют за указанными числами в соответствующей системе счисления: а) 12 б) 1012 в) 1112 г) 11112 е) 18 ж) 78 з) 378 и) 1778 п) F 16 м) 1 F 16 н) FF 16 о) 9 AF 916 д) 1010112 к) 77778 п) CDEF 16

1. Системы счисления Задания для самостоятельной работы: 2. Укажите, какие целые числа предшествуют указанным числам в соответствующей системе счисления: а) 102 е) 108 л) 1016 б) 10102 ж) 208 м) 2016 в) 10002 з) 1008 н) 10016 г) 100002 и) 1408 о) A 1016 д) 101002 к) 10008 п) 100016

1. Системы счисления Задания для самостоятельной работы: 3. Запишите наибольшее десятичное число, которое может быть записано тремя цифрами: а) в двоичной системе; б) в восьмеричной системе; в) в шестнадцатеричной системе; г) в троичной системе счисления?

1. Системы счисления Задания для самостоятельной работы: 4. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: а) 10110112 б) 101101112 в) 0111000012 г) 0. 10001102 е) 5178 ж) 10108 з) 12348 и) 0. 348 л) 1 F 16 м) ABC 16 н) 101016 о) 0. А 416 д) 110100. 112 к) 123. 418 п) 1 DE. C 816

1. Системы счисления Задания для самостоятельной работы: 5. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: а) 12510 б) 22910 в) 8810 г) 37. 2510 д) 206. 12510 6. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: а) 1 0011 1111 01112 г) 10111100. 112 б) 1110101011 1012 д) 10111. 11111011112 в) 10111001. 1011001112 е) 1100010101. 110012

1. Системы счисления Задания для самостоятельной работы: 7. Переведите числа в двоичную и восьмеричную системы счисления: а) 2 СE 16 б) 9 F 4016 в) A 74 FC 16 г) ABCDE 16 д) 1010. 10116 е) 1 ABC. 9 D 16 8. Выпишите целые числа из указанных промежутков в соответствующих системах счисления. Выполните проверку, используя десятичную систему счисления. а) от 1011012 до 1100002 в двоичной системе; б) от 2023 до 10003 в троичной системе; в) от 148 до 208 в восьмеричной системе; г) от 2816 до 3016 в шестнадцатеричной системе.

1. Системы счисления Задания для самостоятельной работы: 9. Найдите наибольшее и наименьшее число среди указанных чисел. а) 748, 1100102, 7010, 3816 б) 6 E 16, 1428, 11010012, 10010 в) 7778, 1011111112, 2 FF 16, 50010 г) 10010, 11000002, 6016, 1418 д) 2 СE 16, 1235510, 3542016, 10101011102, 76528 10. Найдите основание системы счисления, в которой десятичное число 59 эквивалентно числу 214. 11. В какой системе счисления справедливо следующее: а) 21 + 24 = 100 б) 22 + 44 = 110

1. Системы счисления 1. 5. Арифметические действия в различных позиционных системах счисления Арифметические действия во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам. Поэтому при выполнении арифметических действий можно руководствоваться известными в десятичной системе счисления правилами сложения, вычитания, умножения и деления «столбиком» . При этом для каждой системы счисления можно составлять свои таблицы сложения и умножения, которые облегчают выполнение арифметических операций.

1. Системы счисления 1. 6. Арифметические операции в двоичной системе счисления Таблицы сложения и умножения для двоичной системы счисления представлены в следующих таблицах: + 0 1 0 0 1 1 1 0 * 0 1 0 0 0 1 Пример: а) X=1101, Y=101; Результат: 1101+101=10010.

1. Системы счисления 1. 6. Арифметические операции в двоичной системе счисления При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается единица из старшего разряда. Эта занимаемая единица равна двум единицам данного разряда. Пример: Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y Результат 10010 – 101=1101

1. Системы счисления 1. 6. Арифметические операции в двоичной системе счисления Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения. Пример: 1001 101=? Результат 1001 101=101101

1. Системы счисления 1. 6. Арифметические операции в двоичной системе счисления Деление двоичных чисел производится по тем же правилам, что и десятичные. При этом используются таблицы двоичного умножения и вычитания. Пример: 1100. 011: 10. 01=? Результат 1100. 011: 10. 01=101. 1

1. Системы счисления 1. 7. Арифметические операции в других системах счисления В следующих таблицах представлены результаты сложения и умножения для восьмеричной системы счисления + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 10 2 2 3 4 5 6 7 10 11 3 3 4 5 6 7 10 11 12 4 4 5 6 7 10 11 12 13 5 5 6 7 10 11 12 13 14 6 6 7 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16 * 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 10 12 14 16 3 0 3 6 11 14 17 22 25 4 0 4 10 14 20 24 30 34 5 0 5 12 17 24 31 36 43 6 0 6 14 22 30 36 44 52 7 0 7 16 25 34 43 52 61

1. Системы счисления 1. 7. Арифметические операции в других системах счисления Деление двоичных чисел производится по тем же правилам, что и десятичные. При этом используются таблицы двоичного умножения и вычитания. Пример: Вычислить а) Проверка 258=16+5=2110 148=8+4=1210 418=32+1=3310 2110+1210=3310 Результат: б) Проверка 258=16+5=2110 148=8+4=1210 3748=192+56+4=25210 2110 1210=25210 Результат:

1. Системы счисления 1. 7. Арифметические операции в других системах счисления Другим способом выполнения арифметических действий в различных системах счисления является перевод чисел в десятичную систему счисления, выполнение необходимых операций и обратный перевод результата. Пример: Вычислить: 101. 012=4+1+0. 25=5. 2510 17. 38=8+7+0. 375=15. 37510 123=3+2=510 1 А 16=16+10=2610 Результат 77. 12510

1. Системы счисления Задания для самостоятельной работы: 1. Найдите сумму и разность (вычитая из большего меньшее) чисел в соответствующих системах счисления. Выполните проверку, используя десятичную систему счисления. а) 1112 и 101002 д) 158 и 208 и) 1 А 16 и 3116 б) 10. 112 и 100. 12 е) 478 и 1028 к) F 9 E 16 и 2 А 3016 в) 111. 12 и 100102 ж) 56. 78 и 1018 л) D. 116 и B. 9216 г) 100012 и 1110. 112 з) 16. 548 и 30. 018 м) ABC 16 и 567816

1. Системы счисления Задания для самостоятельной работы: 2. Найдите произведение чисел, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения. а) 1011012 и 1012 д) 378 и 48 б) 1111012 и 11. 012 е) 168 и 78 в) 1011. 112 и 101. 12 ж) 7. 58 и 1. 68 г) 1012 и 1111. 0012 з) 6. 258 и 7. 128

1. Системы счисления Задания для самостоятельной работы: 3. Найдите частное чисел 100101102 и 10102. Выполните проверку умножением. 4. Найдите частное чисел 100110101002 и 11002. Выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление. 5. Вычислите значения выражений: а) 2568 + 10110, 12 ·(608 + 1210) - 1 F 16 б) 1 AD 16 - 1001011002 : 10102 + 2178 в) 101010 + (10616 - 11012) 128 г) 10112 · 11002 : 148 + (1000002 - 408)

1. Системы счисления Задания для самостоятельной работы: 6. Найдите основание системы счисления, в которых выполнено следующее сложение. (Указание: Представьте члены уравнений в виде степенного ряда с основанием х). а) 98+89=121 б) 1345+2178=3534 в) 10101+1111+1011=20000 г) 765+576+677=2462 д) 98+56+79=167

2. Кодирование данных в ЭВМ Любая информация (числа, команды, записи и т. п. ) представляется в ЭВМ в виде двоичных кодов фиксированной или переменной длины. Отдельные элементы двоичного кода, имеющие значение 0 или 1, называют разрядами или битами (от англ. binary digit – двоичный знак). Двоичный код, состоящий из 8 разрядов, носит название байта. Для записи чисел также используют 32 -разрядный формат (машинное слово), 16 разрядный формат (полуслово) и 64 -разрядный формат (двойное слово). Данные – это информация, представленная в двоичном коде. Кодирование – преобразование входной информации в форму, воспринимаемую компьютером, т. е. двоичный код. Декодирование – преобразование данных из двоичного кода в форму, понятную человеку.

2. Кодирование данных в ЭВМ Способ кодирования и декодирования информации в ЭВМ, в первую очередь, зависит от вида информации, а именно, что должно кодироваться: числа, текст, графические изображения или звук. Существуют два основных формата представления чисел в памяти компьютера. Один из них используется для кодирования целых чисел, второй (так называемое представление числа в формате с плавающей точкой) используется для задания некоторого подмножества действительных (вещественных) чисел.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 1. Кодирование целых чисел Чтобы получить внутреннее представление целого числа N, хранящегося в k-разрядном машинном слове, необходимо: 1) перевести число N в двоичную систему счисления; 2) полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k разрядов. Например, если за основу представления чисел взят один байт, то для представления числа будет отведено 7 разрядов, а для записи кода знака один разряд. В дальнейшем, если количество разрядов кода не указано будем предполагать, что под запись кода выделен один байт.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 1. Кодирование целых чисел Пример: Получить внутреннее представление целого положительного числа 1607 в 2 -х байтовой ячейке: Переведем число в двоичную систему: 160710 = 110010001112. Дополним незначащими нулями до 16 разрядов. Внутреннее представление числа 1607 в ячейке будет следующим: 0000 0110 0100 0111.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 1. Кодирование целых чисел В ЭВМ в целях упрощения выполнения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. Использование кодов позволяет свести операцию вычитания чисел к арифметическому сложению кодов этих чисел. Применяются прямой, обратный и дополнительный коды чисел.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 1. Кодирование целых чисел Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с внутренним представлением числа. Значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел 1. В записи кода знаковый разряд принято отделять запятой (точкой). Пример: В случае, когда для записи кода выделен один байт, для числа 1310=11012 прямой код 0, 0001101, для числа -1310=-11012 прямой код 1, 0001101.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 1. Кодирование целых чисел Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1) Пример: Для числа 1310=11012 прямой код 0, 0001101; обратный код 0, 0001101. Для числа -1310=-11012 прямой код 1, 0001101; обратный код 1, 1110010.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 1. Кодирование целых чисел Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы. Дополнительный код используется чаще обратного, т. к. позволяет упростить конструкцию АЛУ (Арифметическо-логическое устройство). Пример: Для числа 1310=11012 Прямой код Обратный код 0, 0001101 Для числа -1310=-11012 Прямой код Обратный код 1, 0001101 1, 1110010 Дополнительный код 0, 0001101 Дополнительный код 1, 1110011

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 2. Сложение двоичных чисел в обратном и дополнительном кодах При сложении чисел в обратном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде прибавляется к младшему разряду суммы кодов. При сложении чисел в дополнительном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде отбрасывается. Если результат арифметических действий является кодом отрицательного числа, необходимо преобразовать его в прямой код. При этом обратный код преобразуется в прямой инверсией цифр во всех разрядах кроме знакового. Дополнительный код преобразуется в прямой также, как и обратный, с последующим прибавлением единицы к младшему разряду.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 2. Сложение двоичных чисел в обратном и дополнительном кодах Пример: Сложить двоичные числа X и Y в обратном и дополнительном кодах. а) X= 111, Y= -11; 1) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики: 2) Сложим числа, используя коды: Перевод в прямой код Перевод в обратный код Сложение в обратном коде Перевод в дополнительный код Сложение в дополнительном коде

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 2. Сложение двоичных чисел в обратном и дополнительном кодах б) X= -101, Y= -110; 1) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики: 2) Сложим числа, используя коды: Перевод в прямой код Перевод в обратный код Сложение в обратном коде Перевод в дополнительный код Сложение в дополнительном коде

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 2. Сложение двоичных чисел в обратном и дополнительном кодах Так как сумма является кодом отрицательного числа (знак 1), то необходимо перевести результаты в прямой код: - из обратного кода (X+Y)обр=1, 1110100 (X+Y)пр=1, 0001011; - из дополнительного кода (X+Y)доп=1, 1110101 (X+Y)пр=1, 0001010+0, 0000001=1, 0001011. Таким образом, X+Y= -1011 и полученный результат совпадает с обычной записью.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 3. Переполнение разрядной сетки При переполнении разрядной сетки, происходит перенос единицы в знаковый разряд. Это приводит к неправильному результату, причем положительное число, получившееся в результате арифметической операции, может восприниматься как отрицательное (так как в знаковом разряде « 1» ) и наоборот.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 3. Переполнение разрядной сетки Пример: При сложении положительных чисел получилось отрицательное число: Переполнение происходит, если абсолютная сумма чисел больше, либо равна 2 k-1, где k — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата k=8, 2 k-1 = 27 = 128)

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 3. Переполнение разрядной сетки Для обнаружения переполнения разрядной сетки вводятся модифицированные коды. В модифицированном обратном и модифицированном дополнительном кодах под знак числа отводится не один, а два разряда: « 00» соответствует знаку «+» , « 11» - знаку «-» . Комбинация « 01» или « 10» в знаковых разрядах служит признаком переполнения разрядной сетки. Сложение чисел в модифицированных кодах ничем не отличается от сложения в обычных обратном и дополнительном кодах.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 3. Переполнение разрядной сетки Пример: а) Рассмотрим предыдущий пример, выполнив сложение в модифицированном обратном коде: Комбинация « 01» в знаковых разрядах означает, что произошло переполнение и получившийся результат - неверный.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 3. Переполнение разрядной сетки б) Найти разность X-Y: X=41 и Y= 26, используя внутреннее представление чисел. Решение: Двоичное число Модифицированный обратный код Модифицированный дополнительный код X= 101001 Y= -011010 Переполнения нет (в знаковых разрядах « 00» ), поэтому полученный результат - верный (X+Y=11112=1510, соответственно 41 -26=15)

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 1) Запишите число в прямом, обратном и дополнительном кодах: а) 11010; б) -11101; в) -101001; г) -1001110. 2) Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт): а) 31; б) -63; в) 65; г) -128. 3) Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт): а) -9; б) -15; в) -127; г) -128. 4) Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде: а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000. 5) Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде: а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000.

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 6) Переведите X и Y в прямой, обратный и дополнительный коды. Сложить их в обратном и дополнительном кодах. Результат перевести в прямой код. Проверить полученный результат, пользуясь правилами двоичной арифметики. а) X= -11010 Y= 1001111 б) X= -11101 Y= -100110 в) X= 1110100 Y= -101101 г) X= -10110 Y= -111011 д) X= 1111011 Y= -1001010 е) X= -11011 Y= -10101

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 7) Сложите X и Y в модифицированном обратном и модифицированном дополнительном восьмиразрядных кодах. В случае появления признака переполнения увеличить число разрядов до 16 в кодах и повторить суммирование. Результат перевести в прямой код. Выполнить проверку в десятичной системе счисления. а) X= 10110 Y= 110101 б) X= 11110 Y= -111001 в) X= -11010 Y= -100111 г) X= -11001 Y=-100011 д) X= -10101 Y= 111010 е) X= -1101 Y= -111011

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 8) Проверьте, для каких пар чисел невозможно выполнить операцию сложения в однобайтовом формате. Подтвердите свой выбор, используя модифицированный код. а)14 и 19 б)87 и 41 в) -90 и -32 г) -101 и 92 д) -28+100 9) Приведите пример пары чисел, для которых возникнет переполнение при суммировании в 16 -разрядном коде. Подтвердите свой пример, используя модифицированный код.

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 10) Выполните арифметические операции путем сложения дополнительных кодов чисел в формате 1 байт. Укажите, в каких случаях имеет место переполнение разрядной сетки: а) 9 – 2 г) -20 – 10 ж) -120 – 15 б) 2 - 9 д) 50 - 25 з) -126 - 1 в) -5 - 7 е) 127 - 1 и) -127 - 1

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 4. Кодирование вещественных чисел Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т. е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. Вследствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной. Для отображения вещественных чисел, которые могут быть как очень маленькими, так и очень большими, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 4. Кодирование вещественных чисел Пример: Десятичное число 36, 5 может быть записано так: 36. 5· 100 или 3. 65· 101 или 0. 365· 102 или 365· 10 -1 или 3650· 10 -2 … Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M·qp, где M — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а p — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 4. Кодирование вещественных чисел В связи с тем, что запись вещественного числа с плавающей точкой неоднозначна, принято использовать нормализованную запись. Если «плавающая» точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует: Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0. 12 |M| <1. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 4. Кодирование вещественных чисел Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе. Пример: Нормализованное представление вещественных чисел: а) Десятичная система: 263, 36 = 0. 26336· 103 -0, 00000564=-0. 564· 10 -5 б) Двоичная система: 0, 000011 = 0. 11· 2 -100 (порядок -1002 = -410) -101, 01 = -0. 10101· 211 (порядок 112 = 310) Использование нормализованных чисел существенно упрощают схему арифметико-логического устройства.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 4. Кодирование вещественных чисел Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 4. Кодирование вещественных чисел Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2 k-1 - 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от -128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 4. Кодирование вещественных чисел Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел. Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 4. Кодирование вещественных чисел Стандартные форматы представления вещественных чисел: 1) одинарный — 32 -разрядное нормализованное число со знаком, 8 -разрядным смещенным порядком и 24 -разрядной мантиссой (старший бит мантиссы, всегда равный 1, не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет только 23 разряда). 2) двойной — 64 -разрядное нормализованное число со знаком, 11 -разрядным смещенным порядком и 53 -разрядной мантиссой (старший бит мантиссы не хранится, размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет 52 разряда). 3) расширенный — 80 -разрядное число со знаком, 15 разрядным смещенным порядком и 64 -разрядной мантиссой. Позволяет хранить ненормализованные числа.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 5. Арифметические действия над нормализованными числами в ЭВМ При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков. В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу. В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 5. Арифметические действия над нормализованными числами в ЭВМ Пример: а) Сложить двоичные нормализованные числа 0. 10111· 2 -1 и 0. 11011 · 210. Решение Порядок первого числа -1 меньше порядка второго числа 10. Поэтому выравниваем первое число: 0. 10111· 2 -1 0. 010111· 20 0. 0010111· 21 0. 00010111· 210 Результат: 0. 11101111 210

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 5. Арифметические действия над нормализованными числами в ЭВМ б) Найти разность двоичных нормализованных чисел 0. 10101· 210 и 0. 11101· 21 Решение Необходимо выравнивать вычитаемое, т. к. его порядок меньше: 0. 11101· 21 0. 011101· 210 Результат следует привести к нормализованному виду: 0. 1101· 20.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 5. Арифметические действия над нормализованными числами в ЭВМ При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется. Пример: Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел: (0. 11101 · 2101) · (0. 1001 · 211) = (0. 11101 · 0. 1001) · 2(101+11) = 0. 100000101 · 21000

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 5. Арифметические действия над нормализованными числами в ЭВМ При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется. Пример: Выполнить деление двоичных нормализованных чисел: (0. 1111 · 2100): (0. 101 · 211) = (0. 1111 : 0. 101) · 2(100 -11) = 1. 1 · 21 = 0. 11 · 210

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 1. Запишите десятичные числа в формате с плавающей точкой с порядком равным -3, 0, 2 а) 39, 84 б) -401, 5 в) 0, 0256 г) 10 400 2. Запишите числа в нормализованном виде в двоичной системе счисления: а) 11, 012 г) 15, 410 б) -101012 д) 41, 210 в) 0, 0112 е) -0, 03510

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 3. Найти сумму и разность чисел нормализованного вида в двоичной системе счисления: а) 12 и 4 б) -7 и -5 в) 12 и -3 г) 1, 2 и 4 д) -7, 5 и -5, 5 е) 7, 2 и -5, 4 4. Найти произведение чисел нормализованного вида в двоичной системе счисления: а) 7 и 5 б) 6 и -2 в) 8 и -4 5. Найти частное чисел нормализованного вида в двоичной системе счисления: а) 45 и 5 б) 120 и -2 в) -18 и 9

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 6. Кодирование текстовой информации Множество символов, используемых при записи текста, называется алфавитом. Количество символов в алфавите называется его мощностью. Формула, связывающая информационный вес символа алфавита i и мощность алфавита N: 2 i = N Для представления текстовой информации в компьютере чаще всего используется алфавит мощностью 256 символов. Один символ из такого алфавита несет 8 бит информации, т. к. 28 = 256. Но 8 бит составляют один байт, следовательно, двоичный код каждого символа занимает 1 байт памяти ЭВМ. Все символы такого алфавита пронумерованы от 0 до 255, а каждому номеру соответствует 8 -разрядный двоичный код от 0000 до 1111. Этот код является порядковым номером символа в двоичной системе счисления.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 6. Кодирование текстовой информации Для разных типов ЭВМ и операционных систем используются различные таблицы кодировки, отличающиеся порядком размещения символов алфавита в кодовой таблице. Международным стандартом на персональных компьютерах является таблица кодировки ASCII (American Standard Code for Information Interchange). Принцип последовательного кодирования алфавита заключается в том, что в кодовой таблице ASCII латинские буквы (прописные и строчные) располагаются в алфавитном порядке. Расположение цифр также упорядочено по возрастанию значений.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 6. Кодирование текстовой информации Стандартными в этой таблице являются только первые 128 символов, т. е. символы с номерами от нуля (двоичный код 0000) до 127 (01111111). Сюда входят 32 управляющих кода, основные знаки препинания и арифметические символы, цифры и латинские буквы. Остальные 128 кодов, начиная со 128 (двоичный код 10000000) и заканчивая 255 (1111), используются для кодировки букв национальных алфавитов, символов псевдографики и научных символов. Цифры кодируются по стандарту ASCII в двух случаях – при вводе-выводе и когда они встречаются в тексте. Если цифры участвуют в вычислениях, то осуществляется их преобразование в другой двоичных код.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 6. Кодирование текстовой информации Пример: При использовании в тексте числа 57 каждая цифра будет представлена своим кодом в соответствии с таблицей ASCII. В двоичной системе это – 00110101 00110111. При использовании числа 57 в вычислениях его код будет получен по правилам перевода в двоичную систему – 00111001.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 6. Кодирование текстовой информации При кодировании национальных алфавитов, возникают определенные трудности, связанные с отсутствием единого кода. Так, например, для кириллицы применяют 5 различных кодировок: КОИ 8, СР 1251, СР 866, Mac, ISO. Организационные трудности, связанные с созданием единой системы кодирования текстовых данных вызваны ограниченным набором кодов (256). Поэтому создана система UNICODE, основанная на 16 -разрядном кодировании символов. UNICODE позволяет обеспечить уникальные коды для 216=65 536 различных символов — этого достаточно для размещения в одной таблице символов большинства языков планеты.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 6. Кодирование текстовой информации Пример: Сколько бит памяти компьютера занимает словосочетание «Вычислительная система» без учета кавычек? Решение Слово «Вычислительная» состоит из 14 букв, а «система» из 7, с учетом пробела имеем 14+7+1=22 символа компьютерного алфавита. Следовательно, словосочетание «вычислительная техника» занимает 22 байта или 22· 8=176 бит.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 6. Кодирование текстовой информации Пример: Найти объем памяти книги, которая содержит 100 страниц; на каждой странице – 35 строк, в каждой строке – 50 символов. Решение Страница содержит 35 × 50 = 1750 байт информации. Объем всей информации в книге (в разных единицах): 1750· 100 = 175 000 байт. 175 000: 1024 = 170, 8984 Кбайт. 170, 8984: 1024 = 0, 166893 Мбайт.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 6. Кодирование текстовой информации Пример: Что зашифровано последовательностью десятичных кодов: 108 105 110 107, если буква i в таблице кодировки символов имеет десятичный код 105? Решение Учитывая принцип последовательного кодирования и порядок букв в латинском алфавите, имеем: 105 106 107 108 109 110 i J k l m n Следовательно, закодировано слово link

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 6. Кодирование текстовой информации Пример: С помощью последовательности десятичных кодов: 225 232 242 зашифровано слово бит. Найти последовательность десятичных кодов этого же слова, записанного заглавными буквами. Решение: При решении учтем, что разница между десятичным кодом строчной буквы кириллицы и десятичным кодом соответствующей заглавной буквы равна 32, причем сначала кодируются прописные буквы, а затем - строчные. Если букве б соответствует код 225, заглавная буква Б имеет десятичный код 225 -32=193. Следовательно, слову БИТ соответствует последовательность кодов: 193 200 210.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 6. Кодирование текстовой информации Пример: Объем сообщения, содержащего 2048 символов, составил 1/512 часть Мбайта. Определить мощность алфавита. Решение I = 1/512 * 1024 * 8 = 16384 бит. - перевели в биты информационный объем сообщения. а = I / К = 16384 /1024 =16 бит - приходится на один символ алфавита. 216 = 65536 символов - мощность использованного алфавита. Именно такой алфавит используется в кодировке Unicode.

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 1. Свободный объем оперативной памяти компьютера 640 Кбайт. Сколько страниц книги поместится в ней, если на странице 16 строк по 64 символа в строке? 2. Средняя скорость чтения человека составляет 160 символов в минуту. Сколько информации он переработает за 2 часа непрерывного чтения текста? 3. В память ЭВМ вводится текст со скоростью 160 символов в секунду. Сколько потребуется времени, чтобы заполнить 64 Кбайта? 4. Комплект файлов учебной программы занимает 32 Кбайт памяти ПК. Инструкция к программе – текст 35 строк по 80 символов. Какую часть программы занимает инструкция (в процентах)?

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 5. Текст занимает полных 10 секторов на односторонней дискете объемом 180 Кбайт. Дискета разбита на 40 дорожек по 9 секторов. Сколько символов содержит текст? 6. В архиве библиотеки университета 32 стеллажа с книгами. Все стеллажи содержат по 8 полок, на каждой полке 30 книг. В среднем, каждая книга содержит 250 страниц, на каждой странице по 50 строк, а в каждой строке по 40 символов. Определите, какой объем внешней памяти необходимо приобрести университету для перевода данного архива в электронный. 7. Сколько бит в сообщении объемом четверть килобайта?

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 8. Сколько различных символов в битовом сообщении 111100010101000011110001111011010000 в ASCII–коде? 9. Текст ADBCE закодирован как 000101000110010000110. Как будет декодирован текст 000100001100001100101, закодированный по этому же коду? 10. Два текста содержат одинаковое количество символов. Первый текст записан на русском языке, а второй на языке племени нагури, алфавит которого состоит из 16 символов. Чей текст несет большее количество информации? 11. Словарь Эллочки – «людоедки» (персонаж романа «Двенадцать стульев» ) составляет 30 слов. Сколько бит достаточно, чтобы закодировать весь словарный запас Эллочки?

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 12. Текст имеет объем 20 килобайт (на каждой странице 40 строк по 64 символа в каждой). Определите количество страниц в тексте в ASCII–коде. 13. В кодируемом английском тексте используется только 26 букв латинского алфавита и 6 знаков пунктуации. До какого размера можно гарантировано сжать текст, содержащий 1000 символов без потерь информации. 14. Досье на сотрудников занимают 8 Mb. Каждое из них содержит 16 страниц (32 строки по 64 символа в строке). Сколько сотрудников в организации? 15. Лазерный принтер Canon LBP печатает со скоростью в среднем 6, 3 Кбит в секунду. Сколько времени понадобится для распечатки 8 -ми страничного документа, если известно, что на одной странице в среднем по 50 строк, в строке 80 символов

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 7. Кодирование графической информации Создавать и хранить графические объекты в компьютере можно двумя способами – как растровое или как векторное изображение. Растровая графика Растровое изображение состоит из отдельных точек, каждая из которых может иметь свой цвет. Основные характеристики изображения: —Разрешение - это количество элементарных точек в изображении по вертикали и по горизонтали. —Глубина цвета - это количество бит информации для хранения цвета точки конкретной палитры цветов. —Качество растрового изображения определяется его разрешением и используемой палитрой цветов (16, 256, 65536 цветов и более).

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 7. Кодирование графической информации Следует различать разрешение оригинальной картинки и разрешение экранного изображения. Разрешение оригинала измеряется в точках на дюйм (dots per inch - dpi) и зависит от требований к качеству изображения и размеру файла, способу оцифровки и создания исходной иллюстрации, избранному формату файла и другим параметрам. В общем случае действует правило: чем выше требование к качеству, тем выше должно быть разрешение оригинала.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 7. Кодирование графической информации Для экранных копий изображения элементарную точку растра принято называть пикселем (англ. pixel образовано от словосочетания picture element, что означает элемент изображения). Размер пикселя варьируется в зависимости от выбранного экранного разрешения, разрешение оригинала и масштаба отображения. Цвет каждой точки изображения должен быть закодирован. Количество бит для хранения точек изображения (глубина цвета) будет разное для разных цветовых палитр.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 7. Кодирование графической информации Для черно-белого изображения без полутонов (монохромное изображение) пиксель может принимать только два значения: белый и черный (светится – не светится), а для его кодирования достаточно одного бита памяти: 1 – белый, 0 – черный. Для четырехцветного изображения – 2 бита. Количество различных цветов и количество бит, необходимых для их кодировки связаны между собой формулой: 2 i=N, где i – глубина цвета, N – количество цветов в изображении.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 7. Кодирование графической информации Соответствие глубины цвета и количества отображаемых цветов смотри в таблице 2. 1. Глубина цвета Количество отображаемых цветов 4 24=16 8 28=256 16 (High Color) 216=65 536 24 (True Color) 224=16 777 216 Объем видео памяти, необходимый для хранения изображения, зависит от разрешения и глубины цвета.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 7. Кодирование графической информации Пример: Определить объем видеопамяти компьютера, который необходим для реализации графического режима монитора с разрешающей способностью 1024 768 точек и палитрой из 65536 цветов (High Color). Решение Глубина цвета составляет: i = log 265 536 = 16 бит Количество точек изображения равно: 1024· 768 = 786 432 Требуемый объем видеопамяти равен: 16 бит · 786 432 = 12 582 912 бит = 1, 5 Мбайт

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 7. Кодирование графической информации Пример: Сканируется цветное изображение размером 10 10 см. Разрешающая способность сканера 600 dpi и глубина цвета 32 бита. Какой информационный объем будет иметь полученный графический файл. Решение Переведем разрешающую способность сканера из точек на дюйм в точки на сантиметр: 600 dpi : 2, 54 » 236 точек/см. Следовательно, размер изображения в точках составит 2360 точек. Общее количество точек изображения равно: 2360 = 5 569 600 Информационный объем файла равен: 32 бит 5569600 = 178 227 200 бит » 21, 25 Мбайт

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 7. Кодирование графической информации Пример: Определить максимально возможную разрешающую способность экрана с диагональю 15 дюймов и размером точки экрана 0, 28 мм. Решение Выразим размер диагонали в сантиметрах: 2, 54 см 15 = 38, 1 см Определим соотношение между высотой и шириной экрана для режима 1024 768 точек: 768 1024 = 0, 75 Определим ширину экрана. Пусть ширина экрана равна L, тогда высота равна 0, 75 L. По теореме Пифагора имеем: L 2 + (0, 75 L)2 = 38, 12 1, 5625 L 2 = 1451, 61 L 2 929 L 30, 5 см Количество точек по ширине экрана равно: 305 мм : 0, 28 мм = 1089 Максимально возможным разрешением экрана монитора является 1024 768.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 7. Кодирование графической информации Для представления цвета в виде числового кода чаще всего используется RGB-модель (от англ. Red, Green, Blue – красный, зеленый, голубой). Цветовое изображение на экране монитора формируется путем смешивания трех базовых цветов: красного, зеленого и синего. Это связано с природной цветовой чувствительностью глаза человека. Практически любой цвет, воспринимаемый глазом, можно получить, смешивая три этих базовых цвета. По сути, кодирование цвета ничем не отличается от кодирования текста. Также создается таблица цветов, где каждый цвет имеет определенный код.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 7. Кодирование графической информации Векторная графика Базовым элементом векторного изображения является линия. Как и любой объект, она обладает свойствами: формой (прямая, кривая), толщиной, цветом, начертанием (пунктирная, сплошная). Замкнутые линии имеют свойство заполнения (или другими объектами, или выбранным цветом). Так как линия описывается математически как единый объект, то и объем данных для отображения объекта средствами векторной графики значительно меньше, чем в растровой графике. Информация о векторном изображении кодируется как обычная буквенно-цифровая и обрабатывается специальными программами. Кроме того, благодаря математическому описанию графического изображения, изменение размера векторного рисунка не приводить к ухудшению качества картинки, т. к. меняются только аргументы функции, описывающие объект. В тоже время, увеличение растрового изображения возможно за счет изменения пикселя, что непосредственно влияет на качество изображения (эффект пикселезации).

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 1. Растровый графический файл содержит черно-белое изображение (без градаций серого) размером 100 х100 точек. Какой объем памяти требуется для хранения этого файла? 2. Растровый файл, содержащий черно-белый (без оттенков серого) квадратный рисунок, имеет объем 200 байт. Рассчитайте размер стороны квадрата (в пикселях). 3. Объем изображения, размером 40 х50 пикселей, составляет 2000 байт. Определите количество цветов в данном изображении. 4. Известно, что видеопамять компьютера имеет объем 512 Кбайт. Разрешающая способность экрана 640 на 200. Сколько страниц экрана одновременно разместится в видеопамяти при палитре: а) из 8 цветов; б) 16 цветов; в) 256 цветов?

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 5. Рисунок построен с использованием палитры 256 цветов на экране монитора с графическим разрешением 1024 768. Рассчитать объем памяти необходимый для хранения этого рисунка. 6. Рассчитайте объем памяти, необходимый для хранения рисунка, использующего 4 градации серого и построенного при графическом разрешении монитора 800 х 600. 7. Какое количество цветов отображается на экране при глубине цвета 32 бита? Какой объем видеопамяти необходим для реализации данной глубины цвета при различных разрешающих способностях экрана: 640 480, 800 600, 1280 1024? 8. Определите разрешение 256 -цветного рисунка, объемом 120 байт.

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 9. В процессе преобразования растрового графического изображения количество цветов уменьшилось с 65536 до 16. Во сколько раз уменьшится объем занимаемый им памяти? 10. Для хранения изображения размером 64 32 точек выделено 64 Кбайт памяти. Определите, какое максимальное число цветов допустимо использовать в этом случае. 11. Сканируется цветное изображение стандартного размера A 4 (21 29, 7 см). Разрешающая способность сканера 1200 dpi, глубина цвета 24 бита. Какой информационный объем будет иметь полученное изображение. 12. Определите максимально возможную разрешающую способность экрана для монитора с диагональю 17” и размером точки экрана 0, 25 мм.

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 13. Определите требуемый объем видеопамяти для различных графических режимов экрана монитора. Заполните таблицу. Разрешающая способность экрана 4 Глубина цвета (бит на точку) 8 16 24 32 640 на 480 800 на 600 1024 на 768 1280 на 1024 14. Каков информационный объем книги, если в ней 200 страниц текста (на каждой странице 50 строк по 80 символов) и 10 цветных рисунков. Каждый рисунок построен при графическом разрешении монитора 800 600 с палитрой 16 цветов.

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 14. Каков информационный объем книги, если в ней 200 страниц текста (на каждой странице 50 строк по 80 символов) и 10 цветных рисунков. Каждый рисунок построен при графическом разрешении монитора 800 600 с палитрой 16 цветов. 15. Достаточно ли видеопамяти объемом 256 Кбайт для работы монитора в режиме 640 480 и палитрой из 16 цветов? 16. В векторном графическом редакторе нарисован квадрат со стороной 50 мм, в котором построена одна диагональ. Полученное изображение сохранено в виде черно-белого растрового изображения. Необходимо определить объем изображения, если для изображения отрезка длиной 1 мм. требуется 10 пикселей.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 8. Кодирование звуковой информации Звук представляет собой звуковую волну с непрерывно меняющейся амплитудой и частотой. Чем больше амплитуда, тем он громче для человека, чем больше частота сигнала, тем выше тон. Для того чтобы компьютер мог обрабатывать звук, непрерывный звуковой сигнал должен быть превращен в последовательность электрических импульсов (двоичных нулей и единиц). При двоичном кодировании непрерывного звукового сигнала он заменяется серией его отдельных выборок — отсчетов. Количество различных уровней сигнала или состояний при данном кодировании можно рассчитать по формуле: N=2 i, где i – глубина кодирования звука, а N – количество различных уровней сигнала.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 8. Кодирование звуковой информации Например, звуковые карты, в которых каждому значению амплитуды звукового сигнала присваивается 16 -битный код, могут обеспечить кодирование 65536 уровней сигнала. Количество выборок в секунду может быть в диапазоне от 8000 до 48000, т. е. частота дискретизации аналогового звукового сигнала может принимать значения от 8 до 48 к. Гц. При частоте 8 к. Гц качество дискретизированного звукового сигнала соответствует качеству радиотрансляции, а при частоте 48 к. Гц - качеству звучания аудио-CD. Следует также учитывать, что возможны как моно-, так и стереорежимы.

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 8. Кодирование звуковой информации Пример: Подсчитать, сколько места будет занимать одна минута цифрового звука на жестком диске или любом другом цифровом носителе, записанного с частотой 44. 1 к. Гц; и разрядностью 16 бит. Решение Если записывают моносигнал с частотой 44. 1 к. Гц, разрядностью 16 бит (2 байта), то каждую минуту аналого -цифровой преобразователь будет выдавать 44 100 · 2 · 60 = 5 290 000 байт (примерно 5 Мб) данных Если записывают стереосигнал, то 5 290 000· 2=10 580 000 байт (около 10 Мб)

2. Кодирование данных в ЭВМ 2. 8. Кодирование звуковой информации Пример: Какой информационный объем имеет моноаудиофайл, длительность звучания которого 1 секунда, при среднем качестве звука (16 бит, 24 к. Гц)? Решение 16 бит· 24 000 = 384 000 бит = 48 000 байт = 47 Кб Пример: Рассчитайте объем стереоаудиофайла длительностью 20 секунд при 20 -битном кодировании и частоте дискредитации 44. 1 к. Гц. Решение 20 бит· 20· 44100· 2 = 35 280 000 бит = 4 410 000 байт = 4. 41 Мб

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 1. Определите количество уровней звукового сигнала при использовании 8 -битных звуковых карт. 2. Подсчитайте, сколько места будет занимать одна минута цифрового звука на жестком диске или любом другом цифровом носителе, записанного с разрядностью 16 бит и частотой: а) 11 к. Гц; б) 22 к. Гц; г) 32 к. Гц. 3. Какой объем данных имеет моноаудиофайл, длительность звучания которого 1 минута, при среднем качестве звука (8 бит, 22 к. Гц)? 4. Рассчитайте объем стереоаудиофайла длительностью 20 секунд при 20 -битном кодировании и частоте дискредитации 44. 1 к. Гц.

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 5. Одна минута записи цифрового аудиофайла занимает на диске 1, 3 Мб, разрядность звуковой платы – 8. С какой частотой дискретизации записан звук? 6. Подсчитайте объем файла с 10 минутной речью записанного с частотой дискретизации 11025 Гц при 4 разрядном кодировании. 7. Подсчитайте время звучания звукового файла объемом 3. 5 Мбайт содержащего стерео запись с частотой дискретизации 44100 Гц, 16 -ти разрядном кодировании.

2. Кодирование данных в ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 8. Объем свободной памяти на диске – 0, 01 Гб, разрядность звуковой платы – 16. Какова длительность звучания цифрового аудиофайла, записанного с частотой дискретизации 44100 Гц? 9. Какой объем памяти требуется для хранения цифрового аудиофайла с записью звука 44 к. Гц при условии, что время звучания составляет 3 минуты? 10. Оцените информационный объем аудиофайла при качестве звука 16 бит, 48 к. Гц в моно и стереоформате.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ В основе всех действий произведенных компьютером лежат логические выводы, основанные на математической логике. Любая интегральная схема строится с использованием триггеров и логических элементов. Логика– это совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления. Алгебра логики возникла в середине 19 века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами. Алгебра логики (математическая логика) – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 1. Основные понятия формальной логики Формальная логика - наука о формах и законах мышления. Основными формами мышления являются понятие, суждение и умозаключение. Понятие - это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, отличающие его от других. Суждение (высказывание) - это форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его признаком, отношения между предметами или факт существования предмета и которая может быть либо истинной, либо ложной. Языковой формой выражения суждения является повествовательное предложение. Вопросительные и побудительные предложения суждениями не являются. Суждения рассматриваются не с точки зрения их смысла и содержания, а только с точки зрения их истинности или ложности. Истинным будет суждение, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных объектов.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 1. Основные понятия формальной логики Суждения могут быть простыми и сложными. Простые суждения выражают связь двух понятий. Сложные - состоят из нескольких простых суждений. Пример: «В неделе семь дней» – истинное суждение, а «Понедельник начинается в субботу» – ложное, причем оба эти суждения являются простыми. Суждение «Земля вращается вокруг солнца и в марте наступит весна» сложное. Умозаключение - прием мышления, позволяющий на основе одного или нескольких суждений-посылок получить новое суждение (знание или вывод).

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 1. Основные понятия формальной логики Пример: Классический образец верного умозаключения: Все люди смертны. Сократ – человек. Следовательно, Сократ смертен. Примерами умозаключений являются доказательства теорем в геометрии.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 2. Логические операции 1. Логическое отрицание, инверсия (от латинского inversio –переворачиваю). Отрицанием не. А некоторого высказывания А называется такое высказывание, которое истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно. Обозначение: , , , Читается: «не А» , «не верно, что…» Таблица истинности отрицания Логическая схема «НЕ» (инвертор): 1 0 0 1

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 2. Логические операции Пример: Высказывание = «Это прямоугольный треугольник» Высказывание = «Не верно, что это прямоугольный треугольник» или «Это не прямоугольный треугольник» .

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 2. Логические операции 2. Логическое умножение, конъюнкция (от латинского conjunctio - союз, связь). Конъюнкцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В. • Обозначение: , , , • Читается: «А и В» • Таблица истинности конъюнкции А В 1 1 0 0 0 1 0 0

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 2. Логические операции Определение конъюнкции в виде формулы: = min(A, B) Логическая схема «И» (конъюктор): Пример: Высказывание А = «В треугольнике есть прямой угол» Высказывание В = «В треугольнике есть острый угол» Высказывание = «В треугольнике есть прямой и острый угол»

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 2. Логические операции 3. Логическое сложение, дизъюнкция (от латинского disjunctio - разобщение, различие). Дизъюнкцией двух высказываний называется такое новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно ХОТЯ БЫ ОДНО из этих высказываний. • Обозначение: , , • Читается: «А или В» • Таблица истинности дизъюнкции А В 1 1 0 0 0

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 2. Логические операции • Определение дизъюнкции в виде формулы: = max(A, B) • Логическая схема «ИЛИ» (дизъюнктор) Пример: Высказывание А = «В треугольнике есть прямой угол» Высказывание В = «В треугольнике есть острый угол» Высказывание = «В треугольнике есть прямой или острый угол»

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 2. Логические операции 4. Логическое следование, импликация (от латинского implico - тесно связываю, переплетаю) Сложное высказывание может быть образовано с помощью слов «если. . . , то. . . » . Высказывание, расположенное после слова «если» , называется основанием или посылкой, а высказывание, расположенное после слова «то» , называется следствием или заключением. Импликацией двух высказываний называется такое новое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда истинно основание и ложно заключение.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 2. Логические операции • Обозначение: , • Читается: «Если А или В» , «Из А следует В» , • Таблица истинности импликации А В 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Пример: «Если в треугольнике есть прямой угол, то треугольник прямоугольный»

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 2. Логические операции 5. Эквивалентность, равнозначность (от латинского aequivalens – равноценные) Эквивалентностью двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны. • Обозначение: , • Читается: «А эквивалентно В» , «А равносильно В» , «А тогда и только тогда, когда В»

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 2. Логические операции Таблица истинности эквивалентности А В 1 1 0 0 0 1 Пример: «Треугольник тогда и только тогда прямоугольный, когда в нем есть прямой угол»

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 1. Определите, какие предложения не являются высказываниями: а) Земля входит в состав планет Солнечной системы; б) Уходя, гасите свет; в) Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов; г) Все четырехугольники – квадраты; д) Который час? е) Ура, каникулы! ж) 10+5>15; з) Джордж Буль – английский математик; и) В Ом. ГАУ есть факультет МОЕНД; к) В Омске более миллиона жителей.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 2. Разбейте сложные высказывания на простые составляющие. Запишите сложное высказывание в алгебраической форме. а) На улице дождь, а зонта нет; Решение представлено в следующей таблице: Сложное высказывание Простые составляющие D= Идет дождь, а зонта нет A= Идет дождь В= Зонт есть Алгебраическая форма высказывания

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: б) Когда живется весело, то и работа спорится; в) Если говоришь неправду, то либо ошибаешься, либо обманываешь; г) Для сохранения мира на Земле необходимо увеличить усилия всех государств в борьбе за мир; д) Все планеты Солнечной системы вращаются вокруг Солнца и имеют форму шара; е) Четырехугольник тогда и только тогда является квадратом, если все его стороны и углы равны; ж) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: з) «В коллективе возникает хороший психологический климат тогда и только тогда, когда будут однозначно определены задачи, ответственность и компетенция каждого сотрудника» (Р. Шмидт); и) «Кабы молодость знала, Кабы старость да могла, Жизнь так часто не хромала. Жизнь бы иначе пошла» (П. Вяземский); к) «Добродетель, милый мой студент, не делится на части; или она есть, или ее нет» (О. Бальзак).

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 3. Из заданных простых высказываний постройте сложное высказывание. Запишите алгебраическую форму полученного высказывания. а) «Завтра будут занятия по компьютерной графике» , «Я начну изучать Photoshop» , «Я начну изучать Corel. Draw» ; Решение (один из возможных вариантов) представлено в следующей таблице: Простые составляющие Сложное высказывание A = Завтра будут занятия по компьютерной графике В = Я начну изучать Photoshop С = Я начну изучать Corel. Draw D = Если завтра будут занятия по компьютерной графике, то я начну изучать Photoshop или Corel. Draw Алгебраическая форма высказывания

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: б) «Ночи бывают лунные» , «Ночи бывают безлунные» ; в) «Студент получил все зачеты» , «Студент сдал все экзамены» , «Студент успешно прошел сессию» ; г) «Законы природы можно познать» , «Законы природы нельзя изменить» ; д) «Лиственные деревья сбрасывают зимой листву» , «Береза – лиственное дерево» ; е) «Я буду готовиться к занятиям дома» , «Я буду готовиться к занятиям в библиотеке» ; ж) «Геометрия Евклида непротиворечива» , «Геометрия Лобачевского непротиворечива» ; з) «Солнечный день» , «Температура 240 С» , «Поехали на пикник» ; и) «Система линейных уравнений имеет единственное решение» , «Определитель главной матрицы равен нулю» ; к) «ЭВМ быстро обрабатывает информацию» , «Проведенный эксперимент дал очень много информации» .

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 4. Определите истинность или ложность суждения: а) Число либо четное, либо нечетное; б) Солнце всходит на востоке; в) Стример – это устройство ввода информации; г) Понедельник начинается в субботу; д) Ночью все кошки серые; е) Это предложение ложно; ж) В следующем году мы пойдем в горы; и) В одном городе парикмахер стрижет волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижет себя сам; к) Суждение может быть истинным или ложным.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 5. Определите истинность высказываний и тип логической операции: а) Луна – планета Солнечной системы и 17 – простое число; б) Луна – планета Солнечной системы или 17 – простое число; в) Кислород – металл или квадрат прямоугольник; г) Данное число четно или число, большее его на единицу, четно; д) Две прямые на плоскости параллельны и пересекаются; е) Эйфелева башня находится в Париже или она находится в Нью. Йорке; ж) Либо Эйфелева башня находится в Париже, либо она в Нью. Йорке; з) Произвольно взятое число либо делится на 2, либо делится на 3; и) Если Солнце всходит на юге, то оно заходит на западе; к) Если Солнце всходит на востоке, то оно заходит на западе.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 3. Основные законы логики Наименование Закон тождества Вид А = А Комментарии Всякая мысль тождественна сама себе. Закон непротиворечия Не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание. Закон исключенного третьего В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Закон двойного отрицания Если дважды отрицать высказывание, то в результате получается исходное высказывание. Свойства констант: Законы идемпотентности: А 0 = А А 0 = 0 А 1 = 1 А 1 = А А А = А А А = A Отсутствие коэффициентов. Отсутствие степеней.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 3. Основные законы логики Наименование Вид Комментарии Законы коммутативности: А В = В А Соответствуют переместительному закону алгебры. Законы ассоциативности: А (В С) = (А В) С А (В С) = (А В) С Соответствуют распределительному закону алгебры. А (В С) = (А В) (А С) Дизъюнкция относительно конъюнкции. Справедлив только в логике, в алгебре аналога не имеет. А (В С) = (А В) (А С) Конъюнкция относительно дизъюнкции. Соответствуют сочетательному закону алгебры. Законы дистрибутивности: Законы исключения (склеивания): Законы поглощения: Законы де Моргана: А (А В) = А Отрицание вариантов. Отрицание одновременной истинности.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 3. Основные законы логики Определим еще ряд важных формул, позволяющих упрощать логические выражения: 1. 2. 3. 4. Пример: Упростить логическое выражение: Решение - по закону дистрибутивности А вынесли за скобку; - по закону исключения третьего в скобках имеем 1; - свойство констант; Ответ:

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 3. Основные законы логики Пример: Упростить логическую функцию: Решение - используя свойство констант, добавим единичку; - заменяем единицу по закону исключения третьего; - раскрыли скобки; - добавим основываясь на закон идемпотентности; - группируем и выносим за скобки по закону дистрибутивности; - используем закон исключенного третьего; - свойства констант; Ответ: Пример:

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 4. Алгоритм построения таблиц истинности для сложных высказываний 1. Размер таблицы истинности определяется по количеству простых высказываний и количеству переменных и логических операций: Количество строк = 2 n + 1 (n - количество простых высказываний, а еще одна строка добавляется для заголовка) Количество столбцов = количество переменных + количество логических операций 2. Построить таблицу истинности с исходными данными, учитывая все возможные сочетания логических значений 0 и 1. . 3. При построении таблиц истинности для сложных высказываний необходимо учитывать порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении: 1) инверсия; 2) конъюнкция; 3) дизъюнкция; 4) импликация; 5) эквивалентность.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 4. Алгоритм построения таблиц истинности для сложных высказываний Пример: Построить таблицу истинности для логического выражения: Решение n=3 (A, B, C), следовательно в таблице истинности 9 строк и 3 переменные и 3 операции потребуют 6 столбцов. А В С 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 4. Алгоритм построения таблиц истинности для сложных высказываний Пример: Докажите, что выражение всегда принимает значение ИСТИНА. Доказательство представлено в следующей таблице А В 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 4. Алгоритм построения таблиц истинности для сложных высказываний Пример: Доказать, что логическое выражение равносильно эквивалентности. Доказательство представлено в следующей таблице А В (А В) (B A) (А В) (B A) 1 1 1 0 0 1 1 1 Из таблицы видно, что высказывание верно в тех случаях, когда значения А и В одинаковые, что соответствует операции эквивалентности .

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 4. Алгоритм построения таблиц истинности для сложных высказываний Алгебра логики напрямую связана с построением функциональных схем ЭВМ. Пример: Постройте схему, работа которой описывается логической формулой Решение & X Y 1 Z

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 4. Алгоритм построения таблиц истинности для сложных высказываний Пример: X Запишите логическую функцию, Y описывающую состояние функциональной схемы: Z Решение & X 1 Y Z Ответ 1 &

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 5. Алгоритм построение логической функции по ее таблице истинности 1. Выберите в таблице истинности те строки, в которых значение функции равно единице. 2. Выписать искомую формулу в виде дизъюнкции нескольких логических элементов. Число этих элементов равно числу выбранных строк. 3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции записать в виде конъюнкции аргументов функции. 4. Если значение какого-либо аргумента функции в соответствующей строке таблице равно нулю, то этот аргумент мы берем с отрицанием.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 5. Алгоритм построение логической функции по ее таблице истинности Пример: Дана таблица истинности для некоторой логической функции F(X, Y), необходимо построить логическую X Y F функцию F: 0 0 1 1 0 1 0 Решение 1. В таблице 2 строки, в которых значение функции равно 1; 2. Функция будет иметь вид дизъюнкции двух элементов; 3. Оба элемента дизъюнкции записываем в виде конъюнкции

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 5. Алгоритм построение логической функции по ее таблице истинности 4. По первой строке X=0 и Y=0, следовательно, оба аргумента необходимо взять с отрицанием: . По третьей строке X=1, а Y=0, значит, с отрицанием берем только Y: . Получаем функцию: Упрощаем полученную функцию: Проверка Для проверки достаточно создать таблицу истинности полученной функции: Ответ X Y F 0 0 1 0 1 1 1 0 X Y 0 0 1 1 0 1 0

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 6. Решение логических задач средствами алгебры логики Обычно используется следующая схема решения: 1. Вводится система обозначений для логических высказываний 2. Конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи 3. Определяются значения истинности этой логической формулы 4. Из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении Пример: Определить, кто из подозреваемых участвовал в создании вредоносной программы, если известно: а) если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал; б) если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 6. Решение логических задач средствами алгебры логики Решение 1. Введем следующие высказывания: И — «Иванов участвовал в создании вредоносной программы» ; П — «Петров участвовал в создании вредоносной программы» ; С — «Сидоров участвовал в создании вредоносной программы» . 2. Переведем заданные условия на язык формальной логики: а) б) Оба высказывания истинны по условию задачи. Конъюнкция полученных высказываний соответствует условию задачи. Получаем:

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 6. Решение логических задач средствами алгебры логики 3. Таблица истинности полученной функции: И 0 0 1 1 П 0 0 1 1 С 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 4. Из таблицы видно, что функция принимает значение ИСТИНА в трех строках. В этих строках переменная И всегда принимает значение ИСТИНА, а переменные П и С имеют разные значения. Следовательно, в создании вредоносной программы принимал участие Иванов. Ответ: Иванов

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 7. Табличный способ решения логических задач Пример: Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. У двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 7. Табличный способ решения логических задач Решение Исходные данные разбиваются на тройки (имя — профессия — увлечение) и составляется таблица, которая заполняется исходя из беседы друзей: Юрий не врач и не увлекается туризмом, а из слов врача понятно, что он увлекается туризмом. Имя Юра Профессия врач Увлечение туризм

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 7. Табличный способ решения логических задач Буква «а» , присутствующая в слове «врач» , указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно врач — Тимур. В его имени есть буквы «т» и «р» , встречающиеся в слове «туризм» , следовательно, второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени — Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы «ю» и «р» . Следовательно, окончательно имеем: Имя Юра Тимур Влад Профессия физик врач юрист Увлечение бег туризм регби

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 1. Составите таблицы истинности для логических выражений: а) не А и В б) не (А и В) в) (А и В) или С г) не (А и В и С) д) (А или (В и не С)) е) ж) з) и) к)

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 2. Упростите: а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к)

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 3. Определите вид сложного высказывания, записать его структуру формулой логики высказываний, упростите полученную функцию при необходимости: а) Ни сна, ни отдыха измученной душе; б) Чай ни горячий, ни холодный; в) Я поеду в Москву, и если встречу там друзей, то мы интересно проведем время; г) Свет включен, а лампочка не горит, значит, нет электричества или перегорели пробки или перегорела лампочка; д) Неверно, что если дует ветер, то солнце светит только тогда, когда нет дождя; е) Члены финансового комитета должны избираться среди членов дирекции. Нельзя быть одновременно членом дирекции и членом библиотечного совета, не будучи членом финансового комитета. Член библиотечного совета не может быть членом финансового комитета.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 3. Постройте функциональную схему: а) (А или В) и не С б) (Х или не Y) и не (Z и не Y) в) г) д) 4. Определите логическую формулу функциональной схемы, составьте таблицу истинности: & 1 а) А б) X 1 & 1 В Y Z

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: в) X & д) 1 X Y Y Z г) X Y Z Z & 1 1 &

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 5. Условия работы схемы заданы таблицей истинности. Составьте формулу логической функции, упростите ее, начертите схему, путем тестирования полученной схемы проверьте правильность: X Y Z F(X, Y, Z) а) б) А В F(А, В) 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 6. Упростите логическую схему: 7. Решите логическую задачу: X 1 & Y а) Кто из абитуриентов Антипов, Белов, Соловьев и Дорофеев играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее: • если Антипов или Белов играет, то Соловьев не играет; • если Белов не играет, то играют Соловьев и Дорофеев; • Соловьев играет. б) Сформулируйте данный прогноз в лаконичной форме: • если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя; • если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра; • если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: в) В студенческую команду КВН приняли трех студентовпервокурсников: Иванова, Петрова и Сидорова. Новички талантливы, умеют: петь, монтировать видео и звук, писать сценарии, пародировать, показывать пантомиму, танцевать. Известно, что: • Петров самый высокий • Певец ниже сценариста • Певец, сценарист и Иванов любят пиццу • Когда Звуко-видео монтировщик ссорится с танцором Петров мирит их • Иванов не умеет ни танцевать, ни показывать пантомиму. Кто чем занимается, если известно, что каждый из новичков обладает двумя талантами.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: г) Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: английский, немецкий и французский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает английский, Сергей не изучает английский, а Михаил не изучает французский» . Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? д) Если из четырех лекций в расписании занятий за математикой может следовать любая дисциплина, информатика может следовать только за математикой, а английский язык - только за информатикой, то какой по счету лекцией может быть история? Определить за минимум рассуждений. Одно рассуждение - простое высказывание относительно одного из перечисленных предметов.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: е) Студент А - отличник, у Б - пятерка или четверки, у В и Д - четверки или тройки, у Г - возможны все оценки. Какие оценки у каждого из них по контрольной работе, если все они получили различные оценки? ж) Обсуждая свои возможности по поступлению в вуз, абитуриенты Андрей, Борис и Владимир высказали следующие предположения (в виде сложного высказывания, состоящего из двух простых высказываний) вида: Андрей – «Я не смогу поступить, а Владимир - поступит» ; Борис – «Владимир не поступит, а Андрей – поступит» ; Владимир – «Если я поступлю, то Борис - не поступит или наоборот» . После сдачи экзаменов выяснилось, что каждый высказал одно верное и одно ложное простое утверждение. 1) Кто поступил в вуз, если не смог поступить лишь один из них? 2) Кто поступил в вуз, если поступил лишь один из них?

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: з) Виктор, Роман, Юрий и Сергей заняли на олимпиаде по информатике первые четыре места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа: Сергей - первый, Роман - второй; Сергей - второй, Виктор - третий; Юрий - второй, Виктор - четвертый. Как распределились места, если в каждом ответе только одно утверждение истинно? и) Квадрат, круг, ромб и треугольник вырезаны из белой, синей, красной и зеленой бумаги. Известно, что: круг не белый и не зеленый; синяя фигура лежит между ромбом и красной фигурой; треугольник не синий и не зеленый; квадрат лежит между треугольником и белой фигурой. Определите геометрическую форму зеленой фигуры.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: к) Борис, Виктор, Григорий и Егор встретились на конференции. Студенты приехали из разных городов: один – из Твери, другой – из Омска, третий – из Томска, а четвертый – из Казани. Известно, что Борис жил в одной комнате с парнем из Казани и ни один из них никогда не был ни в Твери, ни в Томске. Григорий играл в одной команде с товарищем из Твери, а против них обычно сражался приятель из Казани. Егор и студент из Твери увлекались игрой в шахматы. Из какого города приехал Виктор. 12. Проверьте правильность следующего умозаключения. Для того чтобы Саша прошел по конкурсу в Ом. ГУ, достаточно, чтобы или Аня, или Вика не прошли по конкурсу в университет. Вика пройдет по конкурсу вместе с Димой. Не может быть, чтобы по конкурсу прошли и Аня, и Саша. Вывод: для того чтобы Аня прошла по конкурсу в институт, необходимо, чтобы по конкурсу прошли Дима и Саша.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 8. Практическое применение алгебры логики Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная система, а значений логических переменных тоже два. Из этого следует два вывода: 1. Одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовых данных, представленных в двоичной системе счисления, так и логических переменных; 2. На этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 8. Практическое применение алгебры логики Задача: Пусть в некотором конкурсе решается вопрос о допуске участников к следующему туру тремя членами жюри, один из которых является председателем. Решение положительно, если председатель и хотя бы один член жюри высказались за допуск участника. Необходимо разработать устройство для голосования: каждый член жюри нажимает на одну из двух кнопок «за» или «против» , если все условия соблюдаются, загорается сигнальная лампочка.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 8. Практическое применение алгебры логики Решение Формально, задача сводится к следующему: требуется составить функциональную схему устройство, которое выдает 1, если участник допускается к следующему туру или 0, если участник А В С F(A, B, C) выбывает из конкурса. 1. Представим работу жюри в виде таблицы, для этого обозначим председателя жюри A, а рядовых членов жюри В и С. 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1. 2. Построим логическую функцию на основе нашей таблицы:

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 8. Практическое применение алгебры логики 2. Построим логическую функцию на основе нашей таблицы: 3. Упростим полученную функцию Имеем:

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 3. 8. Практическое применение алгебры логики Для проверки построим таблицу истинности: А В С 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 Таблица равна исходной, следовательно, A функция построена верно. 4. Построим логическую схему B для функции C 0 0 0 1 1 1 & 1

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 1. Постройте функциональную схему, содержащую 4 переключателя, которая проводит электрический ток только в том случае, если включен 4 -ый переключатель и хотя бы один из трех оставшихся переключателей. 2. Постройте схему с пятью переключателями, которая проводит электрический ток только в том случае, когда замкнуто ровно 4 переключателя. 3. В комнате три стола, на каждом столе кнопки. Составьте схемы, выполняющие следующие условия: а) верхний свет в комнате зажигается нажатием кнопки на одном из столов; б) верхний свет в комнате зажигается только в случае одновременного нажатия кнопок на всех столах.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 4. Судейская коллегия, состоящая из трех членов, выносит решение большинством голосов при тайном голосовании. Постройте такую схему, чтобы голосование каждого члена «за» производилось нажатием кнопки (включением выключателя) и в случае принятия решения загоралась сигнальная лампа. X 5. В результате тестирования Y Z схемы (проверки всех возможных комбинаций входящих сигналов) оказалось, что выходной сигнал является тавтологией инвертора одного из входящих сигналов. Необходимо найти этот входной сигнал и упростить схему. 1 & & 1

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: 6. Инженер создал некоторое устройство. В процессе разработки стало ясно, что чаще всего выходят из строя три узла устройства. О неисправности каждого узла можно судить по трем сигнальным лампочкам. Первоначально, для диагностики и ремонта устройства составлена следующая инструкция: • если неисправен хотя бы один из узлов устройства, то горит, по крайней мере, одна из лампочек; • если неисправен первый узел, но исправен третий узел, то загорается вторая лампочка;

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ Задания для самостоятельной работы: • если неисправен третий узел, но исправен второй узел, то загорается вторая лампочка, но не загорается первая лампочка; • если неисправен второй узел, но исправен третий узел, то одновременно загораются две первые лампочки или не загорается первая лампочка; • если горит первая лампочка и при этом либо неисправен первый узел, либо все три узла исправны, то горит вторая лампочка. В процессе тестирования устройства загорелась первая лампочка. Необходимо определить, какие узлы вышли из строя, и проверить состоятельность прилагаемой инструкции.

Список источников: o Кочергина Т. И. Теоретические основы информатики. Учебный практикум / Т. И. Кочергина. – Омск: Изд-во ФГОУ ВПО Ом. ГАУ, 2010. – 74 с.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ Учебный практикум ОМСК — 2010