Теоретическая механика Тема Метод сечений

Теоретическая механика Тема: «Метод сечений»

Деформации рассматриваемого тела (элементов конструкции) возникают от приложения внешней силы. При этом изменяются расстояния между частицами тела, что в свою очередь приводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают внутренние усилия. При этом внутренние усилия определяются универсальным методом сечений (или метод разреза).

Известно, что различают силы внешние и силы внутренние. Внешние усилия (нагрузки) – это количественная мера взаимодействия двух различных тел. К ним относятся и реакции в связях. Внутренние усилия – это количественная мера взаимодействия двух частей одного тела, расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешних усилий. Внутренние усилия возникают непосредственно в деформируемом теле.

Метод сечений позволяет определить внутренние силы, которые возникают в стержне, находящемся в равновесии под действием внешней нагрузки. Рассмотрим идеально упругий призматический стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 1. 2)

Выделим внутри стержня какие-либо две частицы K и L, расположенные на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Для большей наглядности предположим, что между этими частицами имеется некоторая пружинка, удерживающая их на определенном расстоянии друг от друга. Пусть натяжение пружинки равно нулю.

Приложим теперь к стержню растягивающую силу (рис. 1. 2, б). Пусть в результате деформации стержня, частица K перейдет в положение , а частица L – в положение. Соединяющая эти частицы пружинка при этом растянется. После снятия внешней нагрузки частицы вернутся в первоначальное положение K и L благодаря усилию, которое возникло в пружинке. Сила, которая возникла между частицами (в пружинке) в результате деформации идеально упругого стержня, называется силой упругости или внутренней силой. Она может быть найдена методом сечений.

Этапы метода сечений Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить.

Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1. 3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z. Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть. Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами, заменим действие отброшенной части внутренними силами (рис. 1. 3, б).

Внутренние силы в методе сечений Полученную бесконечную систему сил по правилам теоретической механики можно привести к центру тяжести поперечного сечения. В результате получим главный вектор R и главный момент M (рис. 1. 3, в). Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.

Получим 6 внутренних силовых факторов, возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы (рис. 1. 3, г) и три момента (рис. 1. 3, д). Сила N - продольная сила – поперечные силы, момент относительно оси z ( ) – крутящий моменты относительно осей x, y ( ) – изгибающие моменты.

Запишем для оставленной части тела уравнения равновесия (уравновесим): Из уравнений определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня.

Вычисление продольной и поперечных сил, крутящего и изгибающих моментов продольная сила N равна сумме проекций всех сил (активных и реактивных), действующих на любую из частей рассеченного стержня, на ось z; поперечные силы равны сумме проекций всех сил, действующих на любую из частей стержня, на оси x и y, соответственно; крутящий момент равен сумме моментов всех сил, действующих на любую из частей стержня, относительно продольной оси z; изгибающие моменты равны сумме моментов всех сил, действующих на любую из частей стержня, относительно осей x и y, соответственно.

При построении эпюр внутренних усилий, заключается в следующем: 1. Определите реакции в связях по величине и направлению в базовой системе координат. 2. Определите количество участков бруса для использования метода сечений. 3. Мысленно рассеките брус в пределах исследуемого участка и изобразите на Ваше усмотрение левую или правую условно отсеченную часть. 4. Укажите пределы изменения положения сечения вдоль продольной оси в базовой системе координат на этом участке. 5. Введите в искомом сечении соответственно левую или правую следящую систему координатных осей. 6. Задайтесь положительными направлениями внутренних усилий в следящей системе координат. 7. Составьте уравнения равновесия для рассматриваемой условно отсеченной части бруса в следящей системе координат. 8. Определите из уравнений равновесия искомые внутренние усилия. 9. Вычислите искомые внутренние усилия на границах участков и при необходимости, — их экстремальные значения. 10. Выбрав масштаб усилий, выполните построение эпюры в соответствие с полученными их модульными значениями и

Указанная последовательность действий составляет суть метода сечений (разреза), единственного метода для определения внутренних усилий. Эпюры внутренних усилий позволяет визуально найти положение опасного сечения, где действуют наибольшие по модулю внутренние усилия. В этом сечении прочих равных условиях наиболее вероятно разрушение конструкции предельных нагрузках.

Спасибо за внимание!