Скачать презентацию Теоремы сложения и умножения вероятностей 1 Условная вероятность Скачать презентацию Теоремы сложения и умножения вероятностей 1 Условная вероятность

задачи и теоремы Теории вероятности.ppt

  • Количество слайдов: 43

Теоремы сложения и умножения вероятностей 1. Условная вероятность. 2. Теоремы умножения вероятностей. 3. Теоремы Теоремы сложения и умножения вероятностей 1. Условная вероятность. 2. Теоремы умножения вероятностей. 3. Теоремы сложения вероятностей. 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Ирина Юрьевна Харламова

1. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 2 1. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 2

Условная вероятность n Вероятность события А при условии, что событие В с вероятностью Р(В) Условная вероятность n Вероятность события А при условии, что событие В с вероятностью Р(В) 0 уже произошло, обозначается Р(А/В) и называется условной вероятностью события А при условии, что имело место событие В. 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 3

Условная вероятность В – событие Условная вероятность В – событие "вынутый шар - белый", А 1 -событие "шар вынимается из 1 -ой урны", А 2 -событие "шар вынимается из 2 -ой урны" 2 1 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 4

Условная вероятность 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 5 Условная вероятность 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 5

События А и В называются независимыми если осуществление одного не влияет на вероятность осуществления События А и В называются независимыми если осуществление одного не влияет на вероятность осуществления другого, т. е. или Ирина Юрьевна Харламова

2. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 7 2. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 7

ТЕОРЕМА 1 Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на ТЕОРЕМА 1 Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило. Ирина Юрьевна Харламова

А – «первая карта – дама» , В – «вторая карта дама» 2/18/2018 Ирина А – «первая карта – дама» , В – «вторая карта дама» 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 9

ТЕОРЕМА 2 Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей, т. е. ТЕОРЕМА 2 Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей, т. е. Ирина Юрьевна Харламова

ТЕОРЕМА 2 Усложненное строение буквы «а» за чет повторения движения в овале Р(А)=0, 06 ТЕОРЕМА 2 Усложненное строение буквы «а» за чет повторения движения в овале Р(А)=0, 06 Буква «д» с надстрочечным элементом Р(В)=0, 29 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 11

ТЕОРЕМА 3 Если для двух событий выполняется равенство то эти события независимые. Ирина Юрьевна ТЕОРЕМА 3 Если для двух событий выполняется равенство то эти события независимые. Ирина Юрьевна Харламова

ТЕОРЕМА 4 Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них ТЕОРЕМА 4 Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т. е. Ирина Юрьевна Харламова

Ю Р И С Т А 1 – первая буква «ю» , А 2 Ю Р И С Т А 1 – первая буква «ю» , А 2 – вторая буква «р» , А 3 – третья буква «и» , А 4 – третья буква «с» , А 5 – пятая буква «т» . В ‑ появится слово «юрист» . 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 14

Ю 2/18/2018 Р И С Ирина Юрьевна Харламова Т 15 Ю 2/18/2018 Р И С Ирина Юрьевна Харламова Т 15

ТЕОРЕМА 5 Вероятность совместного появления несколь событий, независимых в совокупности, равн произведению вероятностей этих ТЕОРЕМА 5 Вероятность совместного появления несколь событий, независимых в совокупности, равн произведению вероятностей этих событий, т Ирина Юрьевна Харламова

Ю 2/18/2018 Р И С Ирина Юрьевна Харламова Т 17 Ю 2/18/2018 Р И С Ирина Юрьевна Харламова Т 17

3. СУММА ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 18 3. СУММА ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 18

ТЕОРЕМА 6 Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, ТЕОРЕМА 6 Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, т. е. Ирина Юрьевна Харламова

25 ЧЕЛОВЕК ИМЕЮТ СЛЕДУЮЩИЕ ОЦЕНКИ ОТЛИЧНО - 5 ХОРОШО - 10 УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО - 10 25 ЧЕЛОВЕК ИМЕЮТ СЛЕДУЮЩИЕ ОЦЕНКИ ОТЛИЧНО - 5 ХОРОШО - 10 УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО - 10 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 20

Какова вероятность того, что наугад вызванный курсант отличник или хорошист? 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова Какова вероятность того, что наугад вызванный курсант отличник или хорошист? 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 21

А – наугад вызванный курсант – отличник, В – наугад вызванный курсант – хорошист. А – наугад вызванный курсант – отличник, В – наугад вызванный курсант – хорошист. 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 22

ТЕОРЕМА 7 Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих ТЕОРЕМА 7 Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Ирина Юрьевна Харламова

СЛЕДСТВИЕ Сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих полную группу, равна 1: Ирина Юрьевна Харламова СЛЕДСТВИЕ Сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих полную группу, равна 1: Ирина Юрьевна Харламова

Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятности поражения ими цели соответственно Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятности поражения ими цели соответственно равны 0, 8 и 0, 7. Какова вероятность поражения цели? 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 25

А 1 – поражение цели первым стрелком, А 2 – поражение цели вторым стрелком, А 1 – поражение цели первым стрелком, А 2 – поражение цели вторым стрелком, В – поражение цели вообще 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 26

ТЕОРЕМА 8 Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей ТЕОРЕМА 8 Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: Ирина Юрьевна Харламова

2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 28 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 28

СЛЕДСТВИЕ В случае трех совместных событий вероятность их суммы вычисляется по формуле: Ирина Юрьевна СЛЕДСТВИЕ В случае трех совместных событий вероятность их суммы вычисляется по формуле: Ирина Юрьевна Харламова

ТЕОРЕМА 9 Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна разности ТЕОРЕМА 9 Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: Ирина Юрьевна Харламова

2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 31 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 31

3. Формула полной вероятности. Формула Байеса 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 32 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 32

ТЕОРЕМА 10 Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из ТЕОРЕМА 10 Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из событий В 1, В 2, . . . , Вn, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А, т. е. Ирина Юрьевна Харламова

Вероятность того, что во время работы ПК произошел сбой: в арифметическом устройстве 0, 3, Вероятность того, что во время работы ПК произошел сбой: в арифметическом устройстве 0, 3, в оперативной памяти – 0, 2, в остальных устройствах – 0, 5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0, 8, 0, 9. Найти вероятность того, что возникший в ПК сбой будет обнаружен. 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 34

Обозначим через А событие – сбой будет обнаружен. Возможны следующие предположения (гипотезы): В 1 Обозначим через А событие – сбой будет обнаружен. Возможны следующие предположения (гипотезы): В 1 – сбой произошел в арифметическом устройстве, В 2 – сбой произошел в оперативной памяти, В 3 – сбой произошел в остальных устройствах. Воспользуемся формулой полной вероятности: 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 35

Алгоритм применения ф. Байеса 1. Выдвигают предположения – гипотезы В 1, В 2, . Алгоритм применения ф. Байеса 1. Выдвигают предположения – гипотезы В 1, В 2, . . . , Вn. Данные гипотезы составляют полную группу несовместных событий. Ирина Юрьевна Харламова

Алгоритм применения ф. Байеса 2. Устанавливают доопытные (априорные) вероятности данных гипотез: из интуитивных или Алгоритм применения ф. Байеса 2. Устанавливают доопытные (априорные) вероятности данных гипотез: из интуитивных или каких-либо других соображений. Ирина Юрьевна Харламова

Алгоритм применения ф. Байеса 3. Проводят эксперимент, в результате которого происходит событие А. Таким Алгоритм применения ф. Байеса 3. Проводят эксперимент, в результате которого происходит событие А. Таким образом получают новую информацию, на основании которой выполняют переоценку доопытных вероятностей гипотез по формуле Байеса: Ирина Юрьевна Харламова

Алгоритм применения ф. Байеса где Р(А) определяется по формуле полной вероятности. Т. о. заменяют Алгоритм применения ф. Байеса где Р(А) определяется по формуле полной вероятности. Т. о. заменяют доопытные (априорные) вероятности гипотез послеопытными (апостериорными). Ирина Юрьевна Харламова

Вероятность обнаружить признак А в рукописи, выполненной женщиной равна 0, 1, а в рукописи, Вероятность обнаружить признак А в рукописи, выполненной женщиной равна 0, 1, а в рукописи, выполненной мужчиной – 0, 3. На исследование поступила рукопись, в которой обнаружен данный признак. Какова вероятность, что данная рукопись выполнена женщиной? Какова вероятность, что данная рукопись выполнена мужчиной? 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 40

А – в рукописи обнаружен признак А; М – рукопись выполнена мужчиной; Ж – А – в рукописи обнаружен признак А; М – рукопись выполнена мужчиной; Ж – рукопись выполнена женщиной. 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 41

А – в рукописи обнаружен признак А; М – рукопись выполнена мужчиной; Ж – А – в рукописи обнаружен признак А; М – рукопись выполнена мужчиной; Ж – рукопись выполнена женщиной. 2/18/2018 Ирина Юрьевна Харламова 42

Ирина Юрьевна Харламова Ирина Юрьевна Харламова