Теорема Вариньона Опорные знания q. Определение параллелограмма

Теорема Вариньона

Опорные знания q. Определение параллелограмма Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. q Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

q. Площадь многоугольника составленного из нескольких многоугольников Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. q. Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними.

1 2 5 4 6 3

Поиск доказательства Постройте произвольный четырехугольник ABCD и проведите в нем диагонали Ø Найдите середины сторон и обозначьте следующими буквами: P на AB, S на AD, R на CD, Q на BC Ø Последовательно соедините P, R, S, Q. Какая фигура получилась? (четырехугольник) Ø Рассмотрим треугольник ABD. Чем является PS в этом треугольнике? (средней линией) Ø Какой стороне она параллельна? И чему она равна в данном случае? ( BD, половине BD) Ø

Рассмотрим треугольник CBD. Чем является QR в этом треугольнике? (средней линией) Ø Какой стороне она параллельна? И чему она равна в данном случае? ( BD, половине BD) Ø То есть, что мы можем сказать о PS и QR? Какие они? ( параллельны и равны) Ø Теперь рассмотрим треугольники ABC и ADC. Ø Чем является PQ в треугольнике ABC? (средней линией) Ø Какой стороне она параллельна? И чему она равна в данном случае? (AC, половине AC) Ø

Чем является SR в треугольнике ADC? (средней линией) Ø Какой стороне она параллельна? И чему она равна в данном случае? (AC, половине AC) Ø То есть, что мы можем сказать о PQ и SR? Какие они? ( параллельны и равны) Ø

Ø Мы получили, что в четырехугольнике PQRS противоположные стороны какие? (попарно параллельны) Ø Тогда какой четырехугольник мы получили? (параллелограмм) Этот параллелограмм называют параллелограммом Вариньона 4 -ка ABCD

Ø Теперь рассмотрим чему равна площадь этого параллелограмма. Как можно выразить его площадь?

Ø Рассмотрим треугольник PQB. Скажите, можно выразить его площадь через площадь треугольника ABC? Ø Чему равна площадь треугольника ABC, если известны стороны AB, BC и угол между ними? где α = ABC Ø Чему равна площадь треугольника PQB?

Аналогично, рассматривая треугольники APS, SDR, QRC, мы получим следующее: Но площади треугольников ABD и BDC составляют площадь какой фигуры? А площади треугольников ADC и ABC составляют площадь какой фигуры?

Тогда получим Итак, площадь параллелограмма PQRS можно записать в следующем виде:

Теперь сформулируем теорему Фигура, образованная путем последовательного соединения середин сторон четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади четырехугольника.

Доказательство: 1. Рассмотрим: - треугольник ABD: PS – средняя линия, PS‖BD, PS = ½BD; - треугольник CBD: QR - средняя линия, QR‖BD, QR = ½BD. Следовательно, PS‖QR. 2. Рассмотрим: - треугольник ABC: PQ – средняя линия, PQ‖AC, PQ = ½AC; - треугольник ADC: SR – средняя линия, SR‖AC, SR = ½AC. Следовательно, PQ‖RS.

Из 1. и 2. следует, что PQRS параллелограмм. 3. Доказано!

Пьер Вариньон (1654– 22. XII 1722) — французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики колледжа Мазарини (1688), профессор Коллеж де Франс. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году Вариньон был другом Ньютона, Лейбница и Бернулли. Основной вклад Вариньон совершил в статику и механику; кроме того, труды Вариньона посвящены анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике. За исключением Лопиталя, Вариньон был самым первым пропагандистом дифференциального исчисления во Франции. В 1687 году в своей работе «Проект новой механики…» Вариньон дал точную формулировку закона параллелограмма сил, развил понятие момента сил и вывел теорему, получившую имя Вариньона. В работе «Новая механика или статика, проект которой был дан в 1687» (1725) Вариньон дал систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и о правилах оперирования ими.

Спасибо за внимание!!!!!!

A D B C

А P S В D Q R С