Теорема о трёх перпендикулярах Прямая проведённая в плоскости

Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

n Дано: n АН – перпендикуляр к плоскости ą. n AM – наклонная. n а – прямая, проведённая в плоскости ą через M перпендикулярно к проекции НМ наклонной. n Доказать: n ą ┴ АМ

Доказательство: Рассмотрим плоскость АМН. а ┴ АМН, так как она ┴ АН и МН, лежащим в плоскости АМН (а┴НМ по условию и а┴АН, так как АН┴ ą). → а ┴ к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности а ┴ АМ. Теорема доказана.

Обратная теорема. n Прямая, проведённая в плоскости ą через основание М наклонной АМ перпендикулярно к ней, перпендикулярна к её проекции НМ n Дано: n АМ Ω а = М n а┴М n АН ┴ ą ε Н n АМ ┴ а n Доказать: n АМ ┴ а n Доказательство: n а ┴ АМН (а ┴ АМ по условию и а ┴ АН, так как АН ┴ ą) → n а ┴ АМ, АМс(АНМ) n ч. т. д.

Задача № 150 n Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD=6 см, KB=7 см, КС=9 см. n Дано: n KA ┴ ABC n KD = 6 см n КВ = 7 см n КС = 9 см n Найти: n а) d (K, ABC) n б) d (DC, AK)

Решение:

n АКВ║DC, AK принадлежит АКВ-расстояние между n n n скрещивающимися прямыми. Т. к. AD┴AK, AD┴AB, ADΩAB → AD┴AKB → d(DC, AKB)=d(D, AKB)= =AD (длина перпендикуляра, опущенного из D на AKB). Т. к. AB┴BC, AB-проекция, KB-наклонная, то KB┴BC → ∆KBC-прямоугольник → BC²=KC²-KB²= =81 -48=32 → BC=42

n Т. к. ABCD-прямоугольник → AD=BC → AD=42 → d(AK, DC)=42. n Т. к. AK┴ABC и AD принадлежит ABC → n AK┴AD → ∆DKA-прямоугольный → AK²=DK²-AD²=36 -32=4 → AK=2 → d(K, ABC)=2. n Ответ: а) d (K, ABC)=2 б) d (AK, DC)= 42.

Задача № 212 n Дано: n ∆АВС и ∆DBC – правильные. n О – проекция D на АВС n О – центр ∆АВС n Найти: n ф = АВС ^ DBC.

Решение: n 1) Проведём АМ ┴ BC, следовательно АМ - n n n n медиана ∆АВС → DM – медиана ∆DBC → DV – высота ∆DBC → DМ ┴ BC. Получается, DМ ┴ BC, АМ ┴ BC → ے DMA=ABC ^ DBC=ф. 2) DO ┴ ABC → ∆DOM – прямоугольный. DM=BC * OM = r – радиус вписанное окружности в ∆АВС r= → OM= Таким образом, Ответ: соsф-=13, ф=70 гр. 30 мин.