Теорема о производной сложной функции Пусть y

Теорема о производной сложной функции

Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией. Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).

Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x 0 производную и принимает в этой точке значение u 0 = u(x 0), а функция y= f(u) имеет в точке u 0 производную y 'u= f '(u 0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x 0 тоже имеет производную, которая равна y 'x= f '(u 0)·u '(x 0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u 0=u(x 0), у0=f(u 0). Для нового значения аргумента x 0+Δx: Δu= u(x 0 + Δx) – u(x 0), Δy=f(u 0+Δu) – f(u 0). Т. к. u – дифференцируема в точке x 0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→ 0 Δu→ 0. Аналогично при Δu→ 0 Δy→ 0.

По условию Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→ 0) где α→ 0 при Δu→ 0, а, следовательно, и при Δx→ 0. Перепишем это равенство в виде: Δy= y 'uΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx По условию Поэтому, переходя к пределу при Δx→ 0, получим y 'x= y 'u·u 'x. Теорема доказана.

Примеры