Теорема Менелая Теория Тренажеры Задачи

Теорема Менелая. • Теория. • Тренажеры. • Задачи.

Теорема Менелая (теория). Теорема: Пусть некоторая прямая пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. Точки это пересечения со сторонами или их продолжениями соответственно. Тогда имеет место следующее равенство: А В С

Правило для запоминания В А С Обход можно начинать с любой точки, но при этом обязательно чередовать: вершина – точка на стороне – вершина – точка на стороне и т. д.

Тренажер-1. Для заданных чертежей записать теорему Менелая.

Тренажер-2. На заданных чертежах найти два возможных применения теоремы Менелая. Пример:

Тренажер-3. Найти отношения отрезков: 2 3 3 5 8 6 1 ? ? 4 6 ? 3 9 2 12 4 4 ? ?

Задачи. Задача 2. Задача 1. В треугольнике АВС проведена медиана AD. На ней выбрана точка К так, что AK: KD=3: 1. В каком отношении прямая ВК делит площадь треугольника АВС? A Доказать теорему о точке пересечения медиан. F 3 M Р K 1 А Е С B D С

Задачи. Задача 3. Задача 4. На сторонах треугольника АВС даны соответственно точки М и N такие, что АМ: МВ=СN: NA=1: 2. В каком отношении точка S (пересечение этих отрезков) делит каждый из этих отрезков? В треугольнике АВС биссектриса AD делит ВС в отношении 2: 1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису? B B 2 2 Е Р S 1 A 2 N 1 С A К D 1 С

Задачи. В y 3 x S=3 К x 2 z S=1 z А S=2 Q L 2 y S=6 С Задача 5. Решение: В треугольнике АВС на стороне 1) Применим теорему Менелая АВк взята точка ABL: что К так, треугольнику АК: ВК=1: 3, а на стороне ВС взята точка L так, что CL: BL=2: 1. Пусть Q – точка 2) Найдем пересеченияплощадь AL и CК. прямых треугольника ABQ: Найти площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQL равна 2. 3) Используем отношение площадей треугольников ABL и ALC: Ответ: площадь треугольника равна 9.

Задачи. Решение: B Точка М, лежащая на 3 x стороне параллелограмма 2 y 2) Применим теорему ABCD, соединена с S=5 K 2 x Менелая к треугольнику BDM: O S=15 вершиной В. Диагональ АС M y пересекает отрезок ВМ в точке К. Площадь D 3) Используем отношение площадей треугольника КВС треугольников BMС и DMC: равна 6, площадь треугольника КМС равна 4. Найти площадь исходного Получаем, что площадь всего параллелограмма равна 30. параллелограмма. S=6 S=10 S=15 S=4 А C Задача 6. (ЕГЭ-2008)

Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах. M F B K O A D В правильной четырехугольной пирамиде MABCD точка F – середина ребра МВ, точка К делит ребро МD в отношении C МК: KD=5: 1. • В каком отношении плоскость АFK делит: 1) Высоту МО данной пирамиды? 2) Ребро МС?

Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах. M Решение: Построение сечения. L F 2) FK – пересечение плоскости сечения с BMD. Н B K O A 1) AF и AK – прямые пересечения плоскости с гранями пирамиды. D 3) Прямая AL – C пересечение плоскости сечения с АМС. 4) Прямые FL и FK – прямые пересечения плоскости с гранями пирамиды. 5) AFLK – искомое сечение.

Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах. Решение: нахождение отношения МН: НО M M x F L F x B Н B 5 y Н K y 2 z О D 2 z 3 z z S C 1) По теореме Менелая для треугольника ВMD получаем: K O A 2) Для треугольника ВМС получаем: D S

Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах. Нахождение отношения ML: LC M М 5 x L F Н А Н B C K O A D L 3 x О C По теореме Менелая для треугольника МОС получаем: