Теорема Менелая и ее применение при решении задач

Теорема Менелая и ее применение при решении задач (подготовка к ЕГЭ) Методическая разработка Рудаковой Татьяны Викторовны Учителя математики МБОУ «Гимназия № 2» г. Курчатова Курской области

Содержание 1. а) б) 2. 3. Теоретические факты: пропорциональные отрезки в треугольниках отношение площадей треугольников. Теорема Менелая. Применение теоремы для решения задач.

Теоретические факты Теорема Фалеса Параллельные прямые пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. С´ В´ А´ О А В Теоремы об отношении площадей треугольников 1. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, содержащих эти углы В С К А М С

Теоремы об отношении площадей треугольников 2. Пусть ∆АВС и ∆АВD имеют общую сторону АВ. Тогда отношение их площадей равно отношению высот, проведенных из вершин С и D. Q В С D А 3. Отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты равно отношению оснований: В P S(∆АВС) : S(АВD) = СР: DQ. А D P С S(∆АВС) : S(АВD) =AC: АD.

Задача. (Р. К. Гордин. Математика. ЕГЭ-2014. Задача. С 4. № 6. 3) На стороне ВС треугольника АВС и на продолжении стороны АВ за вершину В расположены точки М и К соответственно, причем ВМ: МС = 4: 5 и ВК: АВ=1: 5. Прямая КМ пересекает сторону АС в точке N. Найти отношение СN: АN. Решение 1. Проведем ВР параллельно КМ. 2. По теореме Фалеса для угла NАК: С z N 5 d N Р 4 d 5 z А 5 х М 4 х 4 x 5 у 3. По теореме Фалеса для угла ВСР: К Ву 4. Итак, z=4 d, тогда АN=6 z=24 d, значит СN: АN=5: 24. Ответ: 5: 24

Предложенный вариант решения задачи – один из традиционных, без применения теоремы Менелая. Рассмотрим другой (более рациональный) способ решения, применяя указанную теорему Теорема Менелая Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC ∆ABC взяты соответственно точки С´, А´ и В´, не совпадающие с вершинами ∆ABC. Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство Для дальнейшего решения задач воспользуемся необходимым условием данной теоремы.

Теорема Менелая В С´ А´ А С В´ Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны АС треугольника АВС за точку С отмечены соответственно точки А´, С´, В´, лежащие на одной прямой, то

1. Проведем СК //АВ, тогда ∆СКВ´ ~ ∆ АС´В´, поэтому В С´ А´ К А С В´ СК = 2. ∆ СКА´ ~ ∆ВС´А´, поэтому 3. Подставляя СК из п. 1, имеем

Задача. (Р. К. Гордин. Математика. ЕГЭ-2014. Задача. С 4. № 6. 3) На стороне ВС треугольника АВС и на продолжении стороны АВ за вершину В расположены точки М и К соответственно, причем ВМ: МС = 4: 5 и ВК: АВ=1: 5. Прямая КМ пересекает сторону АС в точке N. Найти отношение СN: АN. Стрелки на рисунке (от точки А) показывают, как легко запомнить последовательность отрезков в пропорции. С 5 х N M у 4 х А 5 у Найдем K В Ответ:

Задача. (Р. К. Гордин. Математика. ЕГЭ-2014. Задача. С 4. № 6. 10) В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису СD? Решение: 1. С Для треугольника ВСD и секущей АК: К О А D В 2. Найдем ДА: ДА = = Найти: 3. Ответ: Найдем :

Задача. (Р. К. Гордин. Математика. ЕГЭ-2014. Задача С 4. № 6. 14) В ∆АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята т. К, делящая эту сторону в отношении АК: ВК=2: 3, а на стороне АС взята т. L, делящая АС в отношении. AL: LС=5: 3. Точка Q пересечения прямых СК и ВL отстоит от прямой АВ на расстояние 1, 5. Найти сторону АВ. Решение: 1. Для тр. АСК и секущей ВL найдем отношение CQ: QK. С 3 y L Q 5 y А Р 2 x H К 3 x В 2. Проведем высоту СР. СР// QH. 3. По теореме Фалеса Н – середина РК, тогда QH-средняя линия СРК, значит СР=3. 4. S (АВС) =0, 5 АВ • СР, тогда АВ=2 S(АВС) : СР=4. Ответ: АВ = 4.

Задача. ( Математика ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко. Трениров. работа 28. С 4) На сторонах АВ, ВС и АС ∆АВС взяты соответственно точки К, L и М, причем АК: КВ=2: 3, ВL: LС=1: 2, СМ: МА=3: 1. В каком отношении отрезок КL делит отрезок ВМ? Решение: В у 3 х 2 х Р 2 z А Найти Ответ: 1. Для ∆АВС и секущей КL: L О К z М 2 у 3 z 2. АР = С РС = АС = 4 z =2 z, значит = 3. Для ∆АВМ и секущей КL:

Задача. (Сайт А. А. Ларина. Тренировочный вариант № 67. от 09. 03. 2014. С 4) В ∆АВС на сторонах АВ, ВС, и СА отложены соответственно отрезки АD =⅓ АВ, ВЕ = ⅓ ВС, СF = ⅓ CА. а) доказать, что , где М = АЕ ∩ СD, К = СD ∩ ВF, N = АЕ∩ВF. б) найти, какую часть от площади ∆АВС составляет площадь ∆MNK. 1. Для ∆АВF и секущей DC: а) докажем, что В у Е 2 х D х А N М 2 у 2. Для ∆АЕС и секущей FВ: К 2 z F z С 3. Для ∆DBC и секущей ЕА аналогично

Задача. (Сайт А. А. Ларина. Тренировочный вариант № 67. от 09. 03. 2014. С 4) В ∆АВС на сторонах АВ, ВС, и СА отложены соответственно отрезки АD =⅓ АВ, ВЕ = ⅓ ВС, СF = ⅓ CА. б) найти, какую часть от площади ∆АВС составляет площадь ∆MNK. б) Итак, В E D А М М Тогда N К K F С Ответ:

Заключение Решение задач с помощью теоремы Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными. Теорема Менелая помогает быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена. Используемая литература § § § ЕГЭ 2014. Математика. Задача С 4. Гордин Р. К. Под ред. Семенова А. Л. 2013 г. Математика. ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. 2014 г. http: //alexlarin. net/ege/2014/trvar 67. html