Теорема Клини. Нумерация. Пусть. S — некоторое

Теорема Клини.

Нумерация. Пусть. S - некоторое множество. Любое отображение из N на это множество ν называется нумерациейэтого множеств При этом упорядоченная пара ν) (S, называется нумерованным множеством. Пустьν – нумерация. Отношение называется нумерационной эквивалентностью.

Нумерацияν называется : q разрешимой если отношение , рекурсивно; qпозитивнойесли существует , рекурсивная функция, область значений которой есть множество кодов пар из , то есть, все пары чиселx, y со свойством = νy могут νx быть перечислимы с помощью некоторого алгоритма;

qнегативной если существует , рекурсивная функция, область значений которой есть множество кодов пар из , то есть, все пары чиселx, y со свойством ≠ νy νx могут быть перечислимы с помощью некоторого алгоритма; qоднозначнойесли ν взаимно, однозначно.

Теорема Клини. Теорема. Пусть. U – главная вычислимая универсальная функция для класса вычислимых функций одного аргумента, а – произвольная всюду h определённая вычислимая функция одного аргумента. Тогда существует такое число что n, , то есть n и h(n) – номера одной функции.

Другими словами, нельзя найти алгоритма, преобразующего программы, который бы по каждой программе давал другую (не эквивалентную ей). Эту теорему называюттеоремой Клини о неподвижной точке теоремой о или рекурсии.

Доказательство: □Рассмотрим произвольное отношение эквивалентности (будем обозначать ег x ≡ y) на множестве натуральных чисел Покажем, что следующие два свойства не могут выполняться одновременно: 1) для всякой вычислимой функции f существует всюду определённая вычислимая функция являющаяся её g, ≡ - продолжением, то есть,

если f(x) определено при некотором то x, g(x) ≡ f(x). 2) Существует всюду определённая вычислимая функция не имеющая h, ≡ - неподвижной точки, то есть функция, для которой ≠ h(n) для всехn. n Если x ≡ y – отношение равенства (= y), то x второе свойство выполнимо (положим, например, h(n) = n + 1 поэтому не ), выполнимо первое. Теорема о неподвижной точке получится, если y x≡ понимать как

(x и y – номера одной и той же функции). В этом случае выполнимо первое свойство, и поэтому не выполнено второе. Пустьf – произвольная вычислимая функция одного аргумента. Рассмотрим функцию. V(n, x) = U(f(n)x). Поскольку , U является главной универсальной функцией, найдётся всюду определённая функция для которой s, V(n, x) = U(s(n) x) при всехn и x. ,

Эта функция и будем искомым ≡ - продолжением. В самом деле, если f(n) определено, то s(n) будет другим номером той же функции, что и f(n). Докажем, что указанные два свойства отношения эквивалентности несовместн Возьмём вычислимую функцию f, от которой никакая вычислимая функция н может отличаться всюду. По предположению существует всюду

определённое вычислимое ≡ - продолжение функцииf. g Рассмотрим функцию = h(g(x)), где t(x) h – вычислимая всюду определённая функция, не имеющая ≡ -неподвижной точки. Тогда t будет всюду отличаться от В самом деле, если f. f(x) определено, то ≡ g(x) ≠ h(g(x)) = t(x) f(x) , и потому f(x) ≠ t(x) Если жеf(x) не. определено, то этот факт сам по себе уже отличаетf(x) и t(x)■.

Теорему о неподвижной точке можно переформулировать и так: Теорема. Пусть. U(n, x) – главная вычислимая универсальная функция для класса вычислимых функций одного аргумента. Пусть V(n, x) – произвольная вычислимая функция. Тогда функции и V совпадают на U некотором сечении: найдётся такое p, что , то есть U(p, n) = V(p, n)для любогоn.

Следствие. Существует программа, печатающая (на любом входе) свой собственный текст. Пусть. U(n, x) - главная вычислимая универсальная функция для класса всех вычислимых функций одного аргумента. Тогда существует такое числоp, что U(p, x) = pдля любого x.

Замечания. Замечание 1. Существует бесконечное множество неподвижных точек. Действительно, существует бесконечно много чисел при n, которых.

Замечание 2. Неподвижную точку можно выбрать вычислимо зависящей от некоторог параметра. Пусть. U - главная универсальная функция для класса вычислимых функций одного аргумента, а - вычислимая всюду h определённая функция двух аргументов. Тогда существует всюду определённая вычислимая функция одного аргумента, n которая по любому указывает p неподвижную точку : или при всех и x. p

Замечание 3. Если W – главное универсальное перечислимое множество, то всякая вычислимая всюду определённая функция h имеет неподвижную точку для n, которой.

Найти задачу – не меньшая радость, чем отыскать решение. Томас де Куинси