Теорема Интегральный признак сходимости Если для знакоположительного ряда

Теорема. (Интегральный признак сходимости). Если для знакоположительного ряда существует неотрицательная функция f (x) 0, такая что: 1) f (x) определена и непрерывна на [1; + ); 2) f (x) монотонно не возрастает, т. е. x 1 < x 2 значение функции f (x 1) f (x 2); 3) для n N значение функции f (x) совпадает с соответствующими членами ряда, т. е. f (n) = an, n = 1, 2, 3, … то ряд (1) и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

3. Оценка остаточного члена знакоположительных рядов. Пусть дан ряд . Определение. Остаточным членом числового ряда называется разность между суммой ряда и его частичной суммой. Т. е. разность При этом остаточный член ряда обозначают RN. Остаточный член числового ряда сам представляет собой ряд:

Если удовлетворяются все условия теоремы (интегральный признак сходимости), то остаточный член числового ряда может быть оценен по формуле: 4. Обобщенный гармонический ряд. Определение: Ряд вида , где a действительное число, – называется обобщенным гармоническим рядом. a 1 - ряд расходится; a>1 – сходится.

4. Приближенное нахождение суммы ряда. Пусть дан ряд . Требуется найти сумму ряда S c точностью =0, 01. Найдем частичную сумму ряда Sn, такую, что - остаток ряда. Так как исходный ряд удовлетворяет условиям теоремы интегральный признак сходимости, это означает, что для ряда существует функция которая монотонно не возрастает и значит ,

и значения которой совпадают со значениями ряда в точках натурального ряда чисел. Значит, остаток ряда Тогда Положим, что: 50 < n 2 n > 7. откуда

Для того, чтобы приближенно найти сумму с точностью 0, 01 необходимо взять членов ряда не меньше 7. с точностью = 0, 01.

2. Знакопеременные ряды. Виды сходимости рядов. Определение (знакопеременного ряда). Ряд называется знакопеременным, если он содержит бесконечно большое число как положительных членов, так и отрицательных. Пример: - знакопеременный. Определение (абсолютной сходимости). Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, т. е. - сходится.

Пример. Исследовать на сходимость: Это знакопеременный ряд. Составим ряд из абсолютных величин: - сходится, как обобщенный гармонический ряд. Значит исходный ряд сходится абсолютно по определению.

Определение (условной сходимости). Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если: 1) Ряд из абсолютных величин расходится, т. е. - расходится. 2) Сам ряд - сходится.

Пример: - условно сходится Ряд из абсолютных величин сам ряд - расходится, но -сходится. Теорема 1 (об абсолютной сходимости). Если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится (т. е. существует сумма ряда). Доказательство: самостоятельно.

Знакочередующиеся ряда. Определение 1 (знакочередующегося ряда). Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если, начиная с некоторого N любые 2 соседних члена ряда имеют противоположные знаки. Пример:

Теорема (Лейбница). Пусть дан ряд Если члены ряда un таковы, что: 1. u 1 u 2 u 3 … >0. 2. , ряд - сходится. Доказательство самостоятельно.

Пример. Дан ряд . Исследуем на абсолют- ную сходимость: - расходится (гармонический ряд). Исследуем на сходимость. Ряд знакочередующийся, следовательно применима теорема Лейбница: 1) 1 > 1/2 > 1/3 > … - последовательность убывающая. 2) . Следовательно ряд сходится, а ряд - - сходится условно.

Оценка остаточного члена знакопеременного ряда. Rn = S – Sn = un+1 – un+2 + un+3 – … = В теореме Лейбница было показано, что для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих этой теореме, справедливо соотношение: S 2 n < u 1. Остаток ряда начинается с un+1 – го члена ряда. Значит для остатка ряда справедлива оценка: Rn < un+1. Значит S – Sn < un+1 удовлетворяет условиям теоремы Лейбница.

Эта формула применяется для отыскания сумм знакочередующихся рядов. Пример. Рассмотрим ряд: . Найти сумму ряда с точностью ε = 0, 1. Так как S – Sn < , то полагая, что < 0, 1 получим, что n + 1 > 10 n > 9. Следовательно:

Теорема (Дирихле). Если дан сходящийся ряд , то ряд, полученный из этого ряда с помощью любой перестановки членов ряда также сходится. Причем сумма ряда, полученная в результате перестановки членов из суммы исходного абсолютно сходящегося ряда, одинаковы. Доказательство самостоятельно.

Теорема (Римана). Пусть ряд сходится. Тогда А (А – число) можно всегда переставить члены исходного условно сходящегося ряда так, что сумма вновь полученного ряда будет больше А. Доказательство самостоятельно.

3. Функциональные ряды. Понятие функционального ряда. Сходимость. Пусть дана последовательность функций f 1(x), f 2(x), …. fn(x) определенная на некоторой области. Выражение вида: f 1(x)+f 2(x)+ …. +fn(x)+… сокращенно записываемое как , называется функциональным рядом. При этом частичной суммой ряда называется функция Sn(x) = f 1(x)+f 2(x)+ …. +fn(x).

Определение (сходимости функций ряда). Функциональный ряд называется сходящимся на множестве D G, если для всех х D существует . Функция Sn(x) называется суммой функционального ряда. Функция S(x) должна быть определена на области D. Если предел в каких-то точках не существует, то говорят, что функциональный ряд расходится.

При каждом фиксированном значении х функциональный ряд является числовым. Поэтому все теоремы для числовых рядов применимы и для функциональных при фиксированных х. Замечание: Для функциональных рядов применяются признаки Даламбера и Коши, состоящие в том, что признак Даламбера: , х – фиксирован. В признаке Коши: , х – фиксирован.

Пример: х – фиксирован. Если <1, то ряд >1, то ряд , х – переменная. - сходится абсолютно, - расходится. Определение. Все множество значений х, при котором ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Схема определения сходимости. 1) Фиксируем х и составляем ряд из абсолютных величин членов исходного ряда. Теперь - числовой ряд. 2) Применяем признаки Даламбера или Коши, из которых получаем в качестве предела число l, зависящее от x. Те x, при которых l(x) < 1 дают область сходимости функционального ряда. Если в некоторых точках l(x*) = 1, то проводится дополнительное исследование числовых рядов вида и точки, в которых эти ряды

сходятся, присоединяют к области сходимости функционального ряда. Равномерно сходящиеся функциональные ряды. Считаем, что область сходимости D представляет собой отрезок [a, b]. Пусть дан функциональный ряд , сходящийся на [a, b] к своей сумме S(x). Это означает, что в точке x 0 для ε > 0, номер N(ε, x 0) : n > N(ε, x 0) выполняется неравенство: S(x 0) – Sn(x 0) < .

А в другой точке x 1 для ε > 0, номер N(ε, x 1) : n > N 1(ε, x 1) выполняется неравенство: S(x 1) – Sn(x 1) < . Существуют такие ряды, что сразу для всех точек из области сходимости можно найти номер, зависящий от , что из неравенства n > N сразу следует неравенство S(x 1) – Sn(x 1) < сразу для всех х. Ряды, которые обладают такими свойствами и называют равномерно сходящимися.

Определение (равномерно сходящегося ряда). Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на [а, b] к своей сумме S(x), если > 0 (сколь угодно малого) сразу для всех х [а, b ], и не зависящих от х : n > N выполняется неравенство Геометрический смысл. n > N Чем больше номер суммы, тем ближе лежит к сумме ряда. Начиная с некоторого n > N все частичные суммы функционального ряда лежат в полосе суммы ряда.

Теорема (Вейерштрасса). Если функциональный ряд на [а, b] мажорируется сходящимся знакоположительным числовым рядом (т. е. начиная с некоторого N сразу для всех х [а, b], fn(x) an), то функциональный ряд равномерно сходится на [а, b]. Без доказательства.

Пример. Так как sin(nx) < 1, значит Ряд - сходится, значит равномерно сходится и исходный ряд в силу теоремы Вейерштрасса.

Свойства равномерно сходящихся рядов. Теорема 1. (О непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда). Если функциональный ряд на [а, b] таков, что: 1) равномерно сходится 2) функции fn(x) непрерывны на этом отрезке для n N, тогда сумма этого ряда непрерывна на этом отрезке, т. е. и произвольна. Без доказательства.

Теорема 2. (Об интегрировании равномерно сходящегося ряда). Если функциональный ряд на [а, b] таков, что: 1) равномерно сходится 2) функции fn(x) непрерывны на этом отрезке для n N, тогда функциональный ряд можно почленно интегрировать, причем: Без доказательства.

Теорема 3. (О почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда). Если функциональный ряд на [а, b] таков, что: 1) равномерно сходится 2) функции fn(x) и f n(x) непрерывны на этом отрезке для n N, 3) Ряд равномерно сходится на [а, b], тогда функциональный ряд можно почленно дифференцировать на [а, b], причем: Без доказательства.