Теорема Бернулли исторически является первой и наиболее простой формой закона больших чисел. Она теоретически обосновывает свойство устойчивости относительной частоты.
Теорема (Закон больших чисел в форме Я. Бернулли, 1713 г. ). Если вероятность появления события А в одном испытании равна p, число наступления этого события при n независимых испытаниях равно n. A, то для любого числа ε > 0 имеет место равенство то есть относительная частота P*(A) события А сходятся по вероятности к вероятности p события А:
Введем случайные величины Х 1, Х 2, … Хn следующим образом: Хi = 1, если в i-м испытании появилось событие А, а если не появилось, то Хi = 0. Тогда число n. A (число успехов) можно представить в виде Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Хi равны М(Хi) = 1 следующим образом: Хi = 1, если в i-м испытании появилось событие А, а если не появилось, то Хi = 0. Тогда число n. A (число успехов) можно представить в виде Закон распределения случайной величины Хi имеет вид Хi 0 1 P 1 -p p при любом i. Таким образом случайные величины Хi независимы, их дисперсии ограничены одним и тем же числом , так как
Поэтому к этим случайным величинам можно применить теорему Чебышева : Но Следовательно,
Теорема Бернулли теоретически обосновывает возможность приближенного вычисления вероятности события с помощью его относительно частоты. Так, например, за вероятность рождения девочки можно взять относительную частоту этого события, которая, согласно статистическим данным, приближенно равна 0, 485. Неравенство Чебышева для случайных величин принимает вид
Обобщением теоремы Бернулли на случай, когда вероятности pi появления события А в каждом из n испытаний различны, является теорема Пуассона: где pi – вероятность события А в i-м испытании.
Вероятность наличия опечатки на одной странице рукописи равна 0, 2. Оценить вероятность того, что в рукописи, содержащей 400 страниц, частость появления опечатки отличается от соответствующей вероятности по модулю меньше, чем 0, 05. Воспользуемся формулой В данном случае p = 0, 2, q = 0, 8, n = 400, ε = 0, 05. Имеем
Скачать презентацию Теорема Бернулли исторически является первой и наиболее простой
PТеорема Бернулли.ppt