Теорема 1. Пусть граф Т имеет m вершин. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1)Т является деревом; 2)Т не содержит циклов и имеет n-1 ребер; 3)Т связен и имеет n-1 ребер; 4)Т связен и каждое его ребро является мостом. 5)Любые 2 вершины Т соединены ребром. 6)Т не содержит циклов, но добавляя к нему любое иное ребро, мы получим ровно 1 цикл.
Если m=1, утверждение очевидно. Пусть n≥ 2. 1) ->2) По определению Т не содержит циклов; тогда удаление любого ребра разбивает Т на 2 графа, каждый из которых – дерево. По индуктивному предложению число ребер в каждом из этих деревьев на единицу меньше числа вершин. Из 2) ->3) Если Т несвязен, то каждая из его компонент связанный граф без циклов, число вершин в каждой из его компонент на 1 больше, чем ребер. Тогда полное число вершин Т больше полного числа его ребер по крайней мере на 2, а это противоречит тому, что Т имеет n-1 ребро. 3) ->4) удаление любого ребра приводит к графу с n вершинами и n-2 ребрами, который не может быть связен.
4) ->5). Так как Т связен, то каждая пара его вершин соединена по крайней мере одной простой цепью. Если же данная пара его вершин соединена двумя простыми цепями, то они замыкаются в цикл, а это противоречит тому, что каждое ребро в Т является мостом. 5) ->6). Если Т содержит цикл, то любые 2 вершины этого цикла соединены, по крайней мере, двумя прямыми цепями. Добавим теперь к графу Т какое – то ребро L; тогда, мы получим цикл, поскольку инцидентные ребру L вершины уже соединены в Т простой цепью. При этом получим только 1 цикл. 6) ->1). Пусть Т несвязен, тогда добавление любого ребра, соединяющего вершину одной компоненты с вершиной другой компоненты, не приводит к образованию цикла.
Пусть G – лес с n вершинами и k компонентами; тогда G имеет n-k ребер.
Дополнением остовного леса T графа G является граф, полученный из G удалением ребер Т. Теорема 2. Если Т остовной лес графа G, то 1) всякий разрез в G имеет общее ребро с Т; 2) каждый цикл в G имеет общее ребро с дополнением Т.
Если добавить к Т любое, не содержащееся в нем ребро из G, то по 6) теоремы 1 получим единственный цикл; множество всех циклов, полученных тем же способом (путем добавления по отдельности каждого ребра из G, не содержащегося в Т), называется фундаментальной системой циклов, ассоциируемой с Т. Число циклов равно циклическому рангу графа G.
Нужно построить сеть железных дорог, причем, пассажир из любого города может проехать в любой другой. Количество рельсов должно быть минимальным. Граф, вершины которого соответствует городам, а ребра – соединяющие их, железные дороги, должен быть деревом.
