Тема урока: Смежные и вертикальные углы.
Давай вспомним! n Что такое угол?
АОВ ВОА О О n. Как обозначаются углы? А ОА ч Лу Луч ОВ В
Какой инструмент Для измерения можно углов использовать для используют измерения углов? транспортир. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
IIIII 2 IIIII 3 B 0 10 20 8 7 6 5 4 IIIII IIIII IIIII 10 9 IIIII 11 IIIII 12 IIIII 13 IIIII 50 1 180 170 150 160 30 тр к 40 120 14 IIIII 110 са и IIIII 15 IIIII 16 IIIII 17 IIIII I Б ис се 140 130 80 70 80 IIIII O 0 10 20 30 70 100 60 90 100 0 180 170 160 40 150 50 60 140 130 120 110 АOB = 700 А Что называется биссектрисой угла ?
Мера угла A O это величина поворота луча вокруг вершины О, переводящего луч ОА в положении ОВ.
Единицы измерения угла Всего 180 частей. 1 часть – это 1 градус. 1/60 часть градуса называется минутой , обозначается знаком « ′» 1/60 часть минуты называется секундой , обозначается знаком » « ″
Виды углов Название угла Рисунок Градусная мера ОСТРЫЙ УГОЛ менее 90˚ ПРЯМОЙ УГОЛ 90˚ ТУПОЙ УГОЛ >90˚, но <180˚ РАЗВЕРНУТЫЙ 180˚
Какой угол образует клюв вороны, когда: "Ворона сыр во рту держала? " А когда "Ворона каркнула во все воронье горло? "
Острый Тупой
В сказке об углах квадрата браткруг отрубил ему углы. Какими они стали после этого?
n. К вашим знаниям об углах сегодня добавится еще два вида:
Начертите развернутый угол АОС. Начертите произвольный луч ОB, лежащий между сторонами развернутого угла. B O C A
Определение смежных углов А а другие стороны этих углов являются противоположными лучами. О О О О Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, В С ВОА и ВОС смежные
Являются ли смежными углы AOD и BOD AOС и DOС AOС и DOВ AOС, DOС и BOD?
Построение смежных углов
1. Одну из сторон угла продолжить за его вершину. А 2. Получившийся угол АОС является смежным с углом АОВ. С 0 1 2 3 4 5 6 7 8 О 9 10 11 12 13 14 В 15 16 17 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII Угол смежный для острого угла является тупым.
1. Одну из сторон угла продолжить за его вершину. А С О В 2. Получившийся угол АОС является смежным для угла АОВ. Угол смежный для тупого угла является острым.
1. Одну из сторон угла продолжить за его вершину. 2. Получившийся угол АОС является смежным с углом АОВ А В О С Угол смежный с прямым углом является прямым
Cвойство смежных углов Теорема. Сумма смежных углов С B A О 1. Сколько углов изображено на рисунке? Какие это углы? 2. Существует ли какая-нибудь взаимосвязь между этими углами? (Вспомните аксиому сложения углов). равна 1800 Дано: AOC и BOC – смежные. Доказать: AOC + BOC = 180. Доказательство. 1) Так как AOC и BOC – смежные, то лучи ОА и ОВ – противоположные, то есть, AOB – развернутый, следовательно, AOB = 180. 2) Луч OC проходит между сторонами AOB, значит, AOC + BOC = AOB = 180
Решите задачу по чертежу D 0 30 1 A ? C Решение:
Начертите произвольный AOB. Постройте лучи OC и OD, противоположные к его сторонам. D А В О Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются противоположными лучами к сторонам другого. С
Найдите вертикальные углы. C B O А D D B O А С B D А N С D B M А С
Построение вертикальных углов
В 1. Построить угол. 2. Продлить каждую сторону угла за его вершину. 1 2 IIIII I I 0 IIIII I C III IIII 4 D 3 IIIII 5 IIII II IIIII 6 IIII I IIIIII 7 IIIII О 9 IIII 8 10 IIIII 12 IIIII 11 IIIII I IIIII 17 16 IIIIII 15 IIIII 14 IIIII I IIIII 13 IIIII 0 IIIIIII 1 2 IIII II IIII 3 IIIII 4 IIIIII 5 I IIIII 6 IIIII 7 IIII 8 IIII II 9 IIIII 10 IIIII 11 IIII 12 IIII II IIII 13 IIIII 1 I IIII 4 IIIII 15 IIIIII 16 IIIII 17 IIII А
Свойство вертикальных углов Теорема. Вертикальные A D O B C углы равны. Дано: AOD и COB – вертикальные. Доказать: AOD= COB Доказательство. Каждый из углов AOD и COB является смежным с углом AOB. По свойству смежных углов: AOD + AOB = 180 и COВ + AOB = 180. Имеем: AOD = 180 – AOB и COB = 180 – AOB, значит, AOD = COB
Решите задачу по чертежу Решение:
Задания для самопроверки Определите по рисункам: Найдите 1 и 2 ? 1 50° 2 1 + 2 = 90° Найдите 1 и 2 ? 11 79° 1 _ 2 2 = 70°
Дано: = 3 . Найти: и . ОС- биссектриса Найти BOC
Закончи предложение n n n Если один из смежных углов равен 50°, то другой равен… 130° Угол, смежный с прямым, … прямой Если один из вертикальных углов прямой, то второй. . . прямой Угол смежный с острым… тупой Если один из вертикальных углов равен 25°, то второй угол равен… 25°
1. Сумма смежных углов равна…. A 3600 B 900 C 1800
2. Как называется угол меньше 1800, но больше 900 A острый B тупой C прямой
3. Чему равен угол, если смежный с ним равен 470? A 1330 B 0 47 C 0 43
4. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают 6 часов? A B тупой развернутый C прямой
5. Найдите
6. Найдите
7. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого. A 900 и 1000 B 0 60 и C 0 и 40 0 120 0 80
8. Угол равен 720. Чему равен вертикальный ему угол? A 0 18 1080 B C 720
9. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают три часа? A острый B тупой C прямой
Проверь себя. 1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. B 7. B 8. C 9. C
Обучающая самостоятельная работа В С o А D 1. На рисунке изображены прямые АС и ВD, пересекающиеся в точке О. Дополните записи: ВОС и . . . - вертикальные, ВОС и . . . - смежные, СОD и . . . - вертикальные, СОD и . . . - смежные. 2. Начертите угол МОК. Постройте смежный с ним: а) угол КОN; б) угол MOR. 3. Запишите пары смежных углов, имеющиеся на рисунке: В А Е D C F 4. Запишите пары вертикальных углов, имеющиеся на рисунке: В D М А С N
Образец оформления решения задачи При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Один из них равен 430. Найдите величины остальных углов. F M Дано: МК PF = О МОF = 43° 43 0 Найти: FOK, KOP, POM. Решение: O P МОF и KOP вертикальные, значит, по свойству вертикальных углов, МОF = KOP , KOP = 43° МОF + FOK = 180°, так как они смежные. Отсюда FOK = 180°- 43°=137° K FOK и POM вертикальные, значит FOK = POM , POM =137° Ответ: 1370, 430, 1370
Решение задач 1 2 Дано: ∠ 1 и ∠ 2 - смежные ∠ 1> ∠ 2 в 2 раза Найти ∠ 1 и ∠ 2 Решение 1. Пусть ∠ 2 = х, тогда ∠ 1=2 х 2. Т. к. ∠ 1 + ∠ 2 = 180°(по теореме о смежных углах), то х + 2 х = 180° 3 х = 180°, х =180°: 3 х =60°, ⇒ ∠ 2= 60° ⇒ ∠ 1 = 2∙ 60°= 120° Ответ: ∠ 1= 120° ∠ 2= 60°
а Решение задач 2 b Решение 1 3 4 Дано: a∩b ∠ 2 меньше ∠ 1 в 4 раза Найти ∠ 1, ∠ 2, ∠ 3 и ∠ 4 1. Пусть ∠ 2=х°, тогда ∠ 1=4 х°( по условию), 2. Т. к. ∠ 1+ ∠ 2=180°( по теореме о смежных углах), то 4 х°+ х°=180° 5 х = 180° х =36° ⇒ ∠ 2= 36°, ∠ 1=4∙ 36°=144° 3. ∠ 3= ∠ 1, ∠ 4= ∠ 2( по теореме о вертикальных углах), значит ∠ 3= 144°, ∠ 4=36°. Ответ: 144°, 36°, 144°, 36°.
Биссектриса угла В О С А Биссектрисой угла АОВ называется луч ОС, делящий угол пополам.
Биссектриса угла B M D O C N A Биссектрисы ОМ и ОN вертикальных углов составляют продолжение одна другой.
Биссектриса угла M C O B N А Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
Самостоятельная работа
Задача 1. Найдите углы, полученные при пересечении двух прямых, если один из углов равен 102 0. Задача 2. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз меньше другого. Задача 3. Чему равны смежные углы, если один из них на 300 больше другого? Задача 4. Найдите величину каждого из двух вертикальных углов, если их сумма равна 980.
Домашнее задание!