Тема ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА ИССЛЕДОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

Тема: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА. ИССЛЕДОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ПЕРИОД Число T ≠ 0 называют периодом равенства функции f(x), если для всех x верны f(x-T) = f(x+T) = f(x) (подразумевается, что x+T и x-T входят в область определения функции, если в нее входит x). Функцию называют периодической, если она имеет период (хотя бы один). Периодические функции естественно возникают при описании колебательных процессов. Если функция имеет период T, то периодами этой функции будут и числа -T, 2 T. . . – одним словом, все числа n. T, где T – целое число, не равное нулю. Наименьшим положительным периодом функции f называется такое число T, что T – период f, и ни одно положительное число, меньшее T, периодом f уже не является. Наименьший положительный период как синуса, так и косинуса равен 2π. Поскольку число 2π является периодом синуса и косинуса, оно будет также периодом тангенса и котангенса. Однако для этих функций 2π – не наименьший период: наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса будет π: tg(x+π) = tgx и ctg(x+π) = ctgx.

ФУНКЦИЯ y = sin x Свойства функции: График функции y = sin x 1. D(sin x) = R 2. y = sin x – нечетная функция, график симметричен относительно начала координат 3. периодичноть: T = 2π 4. sin x = 0 при х = πn, n Z (нули функции) 5. промежутки знакопостоянства: sin x > 0 при 0 + 2πn < x < π+ 2πn, n Z sin x < 0 при π + 2πn < x < 2π+ 2πn, n Z 6. промежутки монотонности: x [- π /2 + 2πn; π /2 + 2πn], n Z – возрастает x [ π /2 + 2πn; 3π /2 + 2πn], n Z– убывает 7. экстремумы: y max = 1 при х = π /2 + 2πn, n Z y min = - 1 при х = - π /2 + 2πn, n Z 8. E(sin x) = [- 1 ; 1] 9. производная: (sin x )´ = cos x

Геометрическая интерпретация: аргумент – это центральный угол, измеряемый в радианах. По оси t (Ox) откладываем действительные числа или углы в радианах, по оси у (Оу) соответствующие значения функции. Например, угол a на единичной окружности соответствует точке (a; sin a)

Построение функции y = sin x ±b y y = sin x +1 y = sin x -1 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 0 -1 π/2 π 3π/2 2π

Построение функции y = sin x ±b y y = sin(x +π/2) y = sin x 1 x -2π y = sin(x -π/2) -3π/2 -π -π/2 0 -1 π/2 π 3π/2 2π

ФУНКЦИЯ y = cos x Свойства функции: График функции y = cos x 1. D(cos x) = R 2. y = cos x – четная функция, график симметричен относительно оси ординат 3. периодичноть: T = 2π 4. cos x = 0 при х = π /2 + πn, n Z (нули функции) 5. промежутки знакопостоянства: cos x > 0 при - π /2 + 2πn < x < π /2 + 2πn, n Z cos x < 0 при π /2 + 2πn < x < 3π /2 + 2πn, n Z 6. промежутки монотонности: x [ π+ 2πn; 2π+ 2πn], n Z – возрастает x [0 + 2πn; π+ 2πn], n Z– убывает 7. экстремумы: y max = 1 при х = 2πn, n Z y min = - 1 при х = π+ 2πn, n Z 8. E(cos x) = [- 1 ; 1] 9. производная: (cos x )´ = - sin x

Построение функции y = cos x ±b y y = cos x +1 y = cos x -1 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 0 -1 π/2 π 3π/2 2π

Построение функции y = cos(x ±π/2) y 1 y = cos(x -π/2) y = cos x y = cos(x +π/2) x -2π -3π/2 -π -π/2 0 -1 π/2 π 3π/2 2π

ФУНКЦИЯ y = tg x Свойства функции: График функции y = tg x 1. D(tg x) = x R/ π /2 + πn, n Z 2. y = tg x – нечетная функция график симметричен относительно начала координат 3. периодичноть: T = π 4. tg x = 0 при х = πn, n Z (нули функции) 5. промежутки знакопостоянства: tg x > 0 при 0 + πn < x < π /2 + πn, n Z tg x < 0 при - π /2 + πn < x < 0 + πn, n Z 6. промежутки монотонности: x [- π /2 + πn; π /2 + πn], n Z – возрастает 7. экстремумов нет 8. E(tg x) = R 9. производная: (tg x )´ = 1/cos 2 x

ФУНКЦИЯ y = ctg x Свойства функции: График функции y = ctg x 1. D(ctg x) = x R / πn, n Z 2. y = ctg x – нечетная функция график симметричен относительно начала координат 3. периодичноть: T = π 4. ctg x = 0 при х = π /2 + πn, n Z (нули функции) 5. промежутки знакопостоянства: ctg x > 0 при 0 + πn < x < π /2 + πn, n Z ctg x < 0 при π /2 + πn < x < π + πn, n Z 6. промежутки монотонности: x [0+ πn; π+ πn], n Z – убывает 7. экстремумов нет 8. E(ctg x) = R 9. производная: (ctg x )´ = - 1/sin 2 x