ТЕМА Средние величины СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ СРЕДНЯЯ ВЕЛИЧИНА

ТЕМА: Средние величины

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ СРЕДНЯЯ ВЕЛИЧИНА – обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень изменяющегося признака в расчете на единицу однородной совокупности. Задача средней величины – одним числом выразить уровень изучаемого варьирующего признака у всех единиц совокупности

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ n ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН Средняя арифметическая где: Хi – индивидуальные значения изучаемого признака n – количество единиц совокупности

Пример расчета Имеются данные о стаже работы членов коллектива (в годах): Номер работника 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Стаж, x 8 2 5 4 6 1 3 9 7 10

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ n ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН Средняя взвешенная где: f – частота (вес) признака

Пример расчета Имеются данные о стаже работы членов коллектива: Номер работника 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Стаж (лет), x 8 2 5 1 5 2 7 1 Стаж (лет), x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Число работников, f 2 3 - - 3 - 1 1 - -

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН n Средняя гармоническая (простая) n Средняя гармоническая (взвешенная)

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН n Средняя геометрическая где: x 1, x 2…xn – варианты признака n – число наблюдений

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН n n Средняя квадратическая (простая) Средняя квадратическая (взвешенная)

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ n ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН Средняя хронологическая где: x 1, x 2…xn – значения показателя в соответствующие периоды наблюдения n- число периодов наблюдений

Правило мажорантности средних величин Хгарм ≤ Хгеом ≤ Харифм ≤ Хквадр ≤ Хкуб

Пример расчета различных видов средних величин Имеется две оценки студента: 2 и 5 а) Средняя арифметическая б) Средняя гармоническая в) Средняя кубическая

Свойства средней арифметической 1. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней величины равна нулю.

Свойства средней арифметической 2. Если каждое индивидуальное значение признака увеличить или уменьшить на одно и то же число, то и средняя увеличится (уменьшится) на это же число.

Свойства средней арифметической 3. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на одно и то же число, то и средняя увеличится (уменьшится) в это же число раз.

Свойство средней взвешенной 4. Если веса усредняемого признака увеличить (уменьшить) на одно и то же постоянное число, оставив без изменения его индивидуальные значения, то средняя взвешенная при этом не изменится.

Расчет среднего значения в интервальных рядах Численность работников, х 15 - 55 56 - 95 96 - 135 Кол-во предприятий в группе (частота), f Середина интервала (1, 2, 6, 8, 10) 35 5 (4, 5, 9) 3 (3, 7) 2 75 115

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ Момент статистической величины где: x - величина изучаемого признака А – середина условного среднего интервала f – частота появления признака i – показатель степени, определяющий порядок момента

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ Расчет среднего значения в интервальных рядах с использованием момента статистической величины где: A – середина условного среднего интервала i- величина интервала m 1 - начальный момент первого порядка

Расчет среднего значения в интервальных рядах с использованием момента статистической величины Количество часов работы Число за месяц (в часах, х) студентов, f Условное отклон. , а fa S 5 -10 6 -4 -24 6 10 -15 11 -3 -33 17 15 -20 12 -2 -24 29 20 -25 20 -1 -20 49 25 -30 31 0 0 0 30 -35 27 1 27 92 35 -40 18 2 36 65 40 -45 11 3 33 47 45 -50 22 4 88 36 50 -55 14 5 70 14 ИТОГО 172 - 153 101 254

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ Расчет момента статистической величины n способом произведений n способом сумм

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ Структурные средние величины n Статистическая мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в совокупности ПРИМЕР Имеются данные о возрасте сотрудников: 21, 49, 30, 28, 55, 30, 19, 44, 51, 30, 25, 28, 62 Определите модальное значение показателя «возраст» .

Нахождение моды в интервальных рядах распределения где: ХМо – нижняя граница модального интервала i. Мо – величина модального интервала f. Mo – частота модального интервала f. Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному f. Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ Структурные средние величины Статистическая медиана – значение признака, находящееся в середине упорядоченного ряда и делящее совокупность на две равные части. ПРИМЕР Имеются данные о возрасте сотрудников: 21, 49, 39, 28, 55, 30, 19, 44, 51, 33, 25, 28, 62 Определите медианное значение показателя «возраст» . Ранжированный ряд: 19, 21, 25, 28, 30, 33, 39, 44, 49, 51, 55, 62

Нахождение медианы в интервальных рядах распределения где: x. Mе – нижняя граница медианного интервала i. Me – величина медианного интервала f. Me – частота медианного интервала SMe-1 – накопленная частота в интервалах, предшествующих медианному

Расчет моды и медианы в интервальных рядах Количество часов работы Число за месяц (в часах, х) студентов, f S 5 -10 11 17 15 -20 12 29 20 -25 20 49 25 -30 31 80 30 -35 27 107 35 -40 18 125 40 -45 11 136 45 -50 22 158 50 -55 14 172 ИТОГО Me 6 10 -15 Mo 6 172 Mo=25+5*((31 -20)/(31 -20)+(31 -27))=28, 66 час Me=30+5*((86 -80)/27)=31, 1 час

Соотношение средней величины и структурных средних

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ n