ТЕМА СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Урок 1

ТЕМА: СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ:

ОГЛАВЛЕНИЕ: Урок № 1 Системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления; Урок № 2 Непозиционные системы счисления. Урок № 3 Позиционные системы счисления. Алфавит, основание (базис). Формы записи чисел в позиционных системах счисления; Урок № 4 Перевод десятичных чисел в другие СС.

ТЕМА УРОКА: СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. ПОЗИЦИОННЫЕ И НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. Урок № 1

СОДЕРЖАНИЕ: Вступление; Цифры, числа; Системы счисления; Позиционные СС, непозиционные СС; Римская непозиционная система счисления; Пример 1; Пример 2; Пример 3; Позиционные системы счисления Домашнее задание

Современный человек каждый день запоминает номера телефонов и маши, в магазине подсчитывает стоимость покупки, ведёт семейный бюджет и т. д. Числа и цифры… они с нами везде.

ЦИФРЫ И ЧИСЛА: – это символы, участвующие в записи числа, и составляющий некоторый алфавит. Число – это некоторая величина. Цифры

Числа складываются из цифр по особым правилам. На разных этапах развития человечества, у разных народов эти правила были различны и сегодня мы их называем системами счисления. Система счисления(СС) – это способ представления чисел и соответствующие правила работы над ними.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше, и которые используются сейчас можно разделить на две большие группы. 333 Три сотни Три десятка Три единицы Вывод: Значение цифры зависит от её положения в числе.

Рассмотрим теперь число в римской системе счисления: ХХХ Десять Вывод: Значение цифры не зависит от её положения в числе. Итак, как уже было сказано все СС можно разделить на две большие группы:

Системы счисления Позиционные Непозиционные Позиционные СС – это СС, в которой значение цифры зависит от её позиции в числе. Непозиционные СС – это СС, в которой значение цифры (её «вес» ) не зависит от её позиции в числе

Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных. Последние в свою очередь являются результатом длительного исторического развитья непозиционных СС.

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ: Римская непозиционная система счисления: Давайте вспомним какие символы используются для записи римских чисел. I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000

ПРИМЕР 1: Число ССХХХII складывается из 2 х сотен, 3 х десятков и 2 х единиц, получаем число 232 Правило: В римской СС цифра записываются с лева на право в порядке убывания, в таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.

ПРИМЕР 2: 1)VI=5+1=6 2)IV=-1+5=4 3)MCMXCVIII =1000 -100+1000 -10+100+5+3=1998. 4)DCDLXIV =500 -100+50+10 -1+5=964

ПРИМЕР 3: Записать число 444 в арабской СС. 444 400 (D-C) 40 (L-X) CDXLIV 4 (V-I)

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ СС, применяемая в современной математике – десятичная СС или арабская. С возникшей в Индии десятичной системой счисления первыми познакомились арабы. Они по достоинству её оценили и стали использовать в торговых операциях. Именно они завезли эту СС в Европу. С начала ХII века СС распространилась по всей Европе под названием Арабская. Будучи проще и удобнее всех остальных СС она быстро вытеснила их. С тех пор числа, используемые для записи чисел в десятичной системе счисления называют арабскими.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Ø Учить определения; Ø Придумать свою систему счисления, описать способ счета, правила записи чисел. Привести примеры.

ТЕМА УРОКА: СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. Урок № 2

СОДЕРЖАНИЕ Афинская СС; Пример 1; Китайская СС; Пример 2; Система счисления племён Майя; Пример 3; Алфавитные СС; Пример 4; Домашнее задание.

АФИНСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ:

ПРИМЕР 1: ∆∆∆ I I = 10+10+10+4=34. C помощью этих цифр жители Древней Греции мог записать любое число. Великий греческий математик Диофант Александрийский записывал дроби примерно так, как сейчас: числитель над знаменателем, но без черты. Это был один из способов записи дробей в Древней Греции.

КИТАЙСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ:

ПРИМЕР 2: Записать числа в Китайской СС. Ø 1385632 Ø 20447 Ø 1013 Ø 2388077

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ ПЛЕМЁН МАЙЯ:

Впрочем, если бы над записанным нами числом провели еще одну черту, то она обозначало бы не 2000 (пять раз двадцать двадцаток), а только 1800: следующим за двадцать узловым числом было 360, то есть восемнадцать двадцаток. Это было связано с тем, что майя насчитывали 360 дней в году.

ПРИМЕР 3: Записать числа в СС племени Майя. Ø 574 Ø 185 Ø 228 Ø 289

АЛФАВИТНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

ПРИМЕР 4:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Выполнить тест.

ТЕМА УРОКА: ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. АЛФАВИТ, ОСНОВАНИЕ (БАЗИС). ФОРМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ. Урок № 3

Системы счисления - это способ представления чисел и соответствующие правила работы над ними. Позиционные Непозиционные Позиционные СС – это СС, в которой значение цифры зависит от её позиции в числе. Непозиционные СС – это СС, в которой значение цифры (её «вес» ) не зависит от её позиции в числе

Основание десятичной СС равно 10, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 они образуют алфавит. Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием n<10 используют n первых цифр арабского алфавита, при n>10 и n=10 используют буквы латинского алфавита.

Пример 1: 12 -ичнач система счисления. 12 месяцев в году, 12 дюймов в фунте, два 12 -ти часовых периода в сутках. И так далее. Основание 12 -ричной СС равно 12 так как записать любое число можно с помощью 12 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В – они образуют алфавит.

Разряд – позиция цифры в числе. Алфавит – цифры, используемые при записи чисел. Основание(базис) – количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной СС. Позиционных систем счисления очень много так как основанием может быть любое число не меньшее 2.

ДАННЫЕ О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ ЗАПИШЕМ В ТАБЛИЦУ: Основание Название Алфавит n=2 Двоичная 0, 1 n=3 Троичная 0, 1, 2 n=8 Восьмеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 n=16 Шестнадцатеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F n=10 Десятичная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Для того, чтобы отличать одну СС от другой основание СС записывается нижним индексом. Пример 2: 1011012, 36718, 2 В 8 F 16. Обратите внимание на то, что эти числа нельзя считать как «сто одна тысяча сто один в двоичной СС» нужно считать так: «один, ноль, один в двоичной СС»

ПРИМЕР 3: Свернутая запись числа. 12463810=1∙ 100000+2∙ 10000+4∙ 1000+6∙ 100+3∙ 10+ 8∙ 1= =1∙ 105+2∙ 104+4∙ 103+6∙ 102+3∙ 101+8∙ 100 Развернутая запись числа.

В СС с основанием р (р-ичная) единицами разрядов служат последовательные степени числа р. Р единиц одного разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в р-ичной СС требуется р различных знаков (цифр), изображающих числа: 0, 1, …, (р-1). Число р в р-ичной СС выглядит как 10 р(один ноль).

Общий вид записи чисел Ар=аn-1 an-2…a 1 a 0 a 1 a-2…a-m Ар=(an-1∙pn-1+an-2∙pn 2+…+a ∙p 0+a ∙p-1+a 0 -1 -2 -m 2∙p +…+a-m∙p )- -Свернутая форма записи числа. Развернутая форма записи числа. Здесь: Ар – число; Р – основание СС; а – цифры числа; i n – число разрядов целой части числа; m – число разрядов дробной части числа.

ПРИМЕР 4: Получить развернутую форму десятичных чисел: Ø 32478=3∙ 104+2∙ 103+4∙ 102+7∙ 101+8∙ 100; Ø 26, 387=2∙ 101+6∙ 100+3∙ 10 -1+8∙ 10 -2+7∙ 10 -3;

ПЕРЕВОД В ДЕСЯТИЧНУЮ СС: Чтобы перевести число из любой системы счисления в десятичную необходимо: 1. Записать развернутую форму записи числа; 2. Выполнить преобразование по правилам десятичной СС.

ПРИМЕР 5: Перевести в десятичную СС. 1. 1123=1∙ 32+1∙ 31+2∙ 30=1∙ 9+1∙ 3+2∙ 1=1410; 2. 1011012=1∙ 25+0∙ 24+1∙ 23+1∙ 22+0∙ 21+1∙ 20=3 2+8+4+1=4510; 3. 15 FC 16=1∙ 163+5∙ 162+15∙ 161+12∙ 160=4096 +5∙ 256+15∙ 16+12=4096+1280+240+12=5 62810; 4. 101, 112=1∙ 22+0∙ 21+1∙ 20+1∙ 2 -1+1∙ 2 -2=5, 7510;

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Задание 1: Записать развернутую запись числа: А 10, 8, 6, 16 число 25341, А 10, 8, 6, 16 число 125, 34. Задание 2: Перевести в десятичную СС. А 9, 8, 6, 16 число 341.

ТЕМА УРОКА: ПЕРЕВОД ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДРУГИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. Урок № 4

СОДЕРЖАНИЕ: Задание 1; Перевод целых чисел; Пример 1; Перевод дробных чисел; Пример 2; Перевод смешанны чисел: Пример 3.

ЗАДАНИЕ 1: Перевести в десятичную СС: 120, 48= 80, 510 E 41 A 16= 1468675810

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. 1. Основание новой СС принять за десятичное число и все последующие действия производить в десятичной СС. 2. Последовательно производить деление данного числа не основание новой СС до тех пор, пока не получится неполное частное, меньшее делителя. 3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой СС привести в соответствие с алфавитом новой СС. 4. Составить число в новой СС, записывая его, начиная с последнего частного.

ПРИМЕР 1: Перевести число 3710 в двоичную СС. 37 2 3710 =1001012 36 18 2 1 18 9 2 а 0 0 8 4 2 а 1 1 4 2 2 а 2 0 2 1 а 3 0 а 5 а 4

ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ: 1. Основание новой СС принять за десятичное число и все последующие действия производить в десятичной СС. 2. Последовательно умножать данное число, и полученные дробные части произведений до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна 0 или не будет достигнута необходимая точность представления числа в новой СС. 3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой СС привести в соответствие с алфавитом новой СС. 4. Составить дробную часть числа в новой СС, начиная с целой части первого произведения.

ПРИМЕР 2: Перевести 0, 187510 в 2, 8, 16 -ичные СС: 0, 1875 2 0, 3750 2 0, 7500 2 1, 5000 2 1, 0000 0, 00112 0, 1875 8 1, 500 8 4, 000 0, 148 0, 1875 16 3, 000 0, 316

ПЕРЕВОД СМЕШАННЫ ЧИСЕЛ: Такой перевод осуществляется в два этапа: Целая и дробная части переводятся отдельно по соответствующему алгоритму; В итоговой записи числа отделяются запятой(, ).

ПРИМЕР 3: Перевести 315, 187510 в 8, 16 -ичную СС. Из рассмотренных выше примеров следует