ТЕМА Решение систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ 1

ТЕМА: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). 1. Постановка задачи (1)

AX=f (2) T – искомый вектор где X=(x 1, …. xn) столбец размерности n, f =(f 1, …, fn)T - заданный векторстолбец с вещественными компонентами размерности n, A – квадратная матрица размерности с вещественными коэффициентами ai, j, i, j=1, …, n, т. е A={ai, j}

Например. • ai, j=0 i, j=1, 2, …n - нулевая матрица; • E= {ai, j}, где ai, j =1, i=j и ai, j =0, i j} – единичная матрица; • A= {ai, j}- симметричная матрица, если ai, j= aj, i для любых i, j , т. е. ее элементы расположены симметрично относительно главной диагонали; • Верхняя треугольная матрица – все элементы, расположенные ниже главной (левой) диагонали, равны нулю;

• Нижняя треугольная матрица – все элементы, расположенные выше главной (левой) диагонали, равны нулю; • Диагональная матрица – ненулевыми являются только элементы, расположенные на главной диагонали • Ленточная или 2 -х, 3 -х-диагональная матрица – ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и параллельно ей в непосредственной близости;

• Клеточные матрицы, ненулевые элементы располагаются в виде клеток; • Разреженные матрицы – большинство элементов нулевые, могут быть беспорядочно расположенные.

2. Устойчивость СЛАУ

Предположим, что А и f заданы с некоторой погрешностью, тогда вместо (1) фактически имеем “возмущенную систему”

Будем считать, что вектор решения X и столбец свободных членов f задачи (1) принадлежат линейному пространству , состоящему из nмерных вещественных векторов, и введем в этом пространстве норму || ||, конкретный вид которой принципиального значения не имеет.

Определение. Нормой вектора Х называется поставленное в соответствие этому вектору неотрицательное число ||Х||, удовлетворяющее аксиомам: 1. || Х || 0 ||0||=0 2. || Х||= ||Х|| , =const, 3. || Y+Х ||≤|| Х || + || Y || , Y,

1. || Х ||I = max xi , 1≤ i ≤ n; 2. || Х ||II = xi , i=1, . . , n; 3.

Определение. Нормой матрицы А называется поставленное этой матрице в соответствие неотрицательное число || А|| такое, что 1. || А|| 0 А Н || 0 ||=0 2. || А||= || А || =const, А Н 3. || А+В ||≤|| А || + || В || , А, В Н 4. || АВ||≤||А|| || В|| , А, В Н Здесь Н – линейное пространство квадратных матриц n-го порядка.

1. первая || A ||I = max , 1≤i, j≤n; 2. вторая || A ||II = max , 1≤i, j≤n; 3. третья ||A||Ш = где наибольшее собственное значение матрицы A

Определение. Если для любой матрицы А и любого вектора Х выполняется неравенство || АХ|| || А|| || Х||, то говорят, что норма матрицы согласована с данной нормой вектора. Определение Нормой матрицы А, подчиненной данной норме вектора, называется число , 0 - верхняя грань (т. е. максимальное число) множества норм такого вида.

* =0 Определение. Говорят, что система (1) устойчива по правой части, если при любых f , f* справедлива оценка || Х|| М|| f ||, (3) где М>0 - постоянная, не зависящая от правых частей f , f*. Оценка (3) выражает факт непрерывной зависимости решения от правой части, т. е. показывает, что || Х || при || f || .

A* X*=f* ( + )(X + X) =(f+ f) X +A X= f+ f (4) AX - f = 0 (5) A X= f (6) и, т. к. определитель матрицы А не равен 0, из (6) имеем (7)

переходя к норме, получаем Следовательно, на основании аксиом нормы, можем записать (8)

3. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений. Число обусловленности. и

Т. к. для системы (1) из аксиом нормы можно записать || f || А|| || Х || , (9) то после перемножения (8) и (9) получаем оценку устойчивости для относительных погрешностей (10)

Обозначим -1|| || А || МА = || А (11) Из (10) и (11) имеем требуемую оценку устойчивости решения (1) по правой части, выраженную через относительные погрешности. (12)

К свойствам числа обусловленности относят следующие: 1. МА 2. 3. МАВ МА МВ

Получим количественные оценки для коэффициентной устойчивости. f f* f=0 и * , но при этом det(A+ ) 0. Тогда из (2) получаем (13)

Учитывая, что из (1) (14) Получаем (15) Используя тождество

находим, что Используя предыдущее выражение, (15) перепишем (16)

С учетом (13) перепишем (16) (17) Переходя к нормам и умножив обе части (17) на получаем неравенство, означающее коэффициентную устойчивость системы (1) (18)

Пример. det(A) = -21+21. 0003 = 0, 0003

det(A- Е)=0 -(3 - )(7+ )+21. 0003=-21+7 3 + 2+21. 0003= 2+4 +0. 0003=0 Откуда 1=-0. 0001, 2=-3. 9999.

если , то т. е. при

в соответствии с оценкой (12) имеем 1. 3569· 100%=135%≤ 566%

Например. Пусть А= {аi, j}={0. 1, i=j; 0, i j; i, j=1, …, n} диагональная матрица nго порядка. Тогда det(A)= , но сама система не является плохо обусловленной, т. к. МА=1, т. е число обусловленности матрицы А равно 1. Это следует из свойств числа обусловленности симметричной матрицы или определяется непосредственно. (Например для матрицы 2 -го порядка: (0. 1 - )=0 )

Т. к. каждая компонента вектора правой части или каждый элемент матрицы А округляется с относительной погрешностью , где m- характеризует разрядность сетки, то оценок из (12) и (18) имеем