Тема: Поверхности, геом. тела Цель : Изучить способы задания поверхностей на комплексном чертеже, различия между поверхностями и телами Задачи: 1. Ознакомиться с понятиями «поверхности» и «тела» , отличие между ними 2. Изучить способы задания поверхностей на комплексном чертеже. 3. Ознакомиться с классификацией поверхностей
План 1. Определение поверхности, тел, отличие 2. Способы задания поверхности на комплексном чертеже. 3. Классификация поверхностей
Определение поверхности, тел, отличие Геометрическим телом называют часть пространства, ограниченную со всех сторон поверхностями. Детали, используемые в качестве моделей для выполнения чертежей, как правило, можно мысленно разбить на составляющие геометрические тела – цилиндры, конусы, призмы, шары, торы и т. д. Поверхность - это непрерывное двупараметрическое (двумерное) множество точек. Поверхность - это непрерывное однопараметрическое (одномерное) множество линий, имеющих единый закон образования.
плоскость может рассматриваться как множество прямых цилиндрическая поверхность как множество прямолинейных или кривых образующих Множество точек, определяющих поверхность, называется ее точечным каркасом. Множество линий, определяющих поверхность, называется ее линейным каркасом. Если множество элементов (точек, линий), определяющих поверхность непрерывно, то каркас называется непрерывным, в противном случае он называется дискретным.
Д. З. Отличие поверхностей и тел • Поверхности Тела
Способы задания поверхности на комплексном чертеже. Существуют три способа задания кривых поверхностей: • 1. Аналитический - при помощи уравнений; • 2. При помощи каркаса; • 3. Кинематический, т. е. перемещением линий в пространстве.
Аналитический способ . поверхности, заданной аналитически • Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает кривую поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению (системой алгебраических уравнений).
Каркас поверхности приведен пример каркаса поверхности, состоящей из двух ортогонально расположенных семейств линий а 1, а 2, а 3, …, аn, b 1, b 2, b 3, …bn. При каркасном способе задания кривая поверхность задается совокупностью некоторого количества линий, принадлежащих поверхности. Другим способом образования поверхности и ее изображения на чертеже может служить каркас поверхности. Каркасом поверхности принято называть упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности. В зависимости от того, чем задается каркас поверхности, точками или линиями, каркасы называют точечными или линейными. Линейным каркасом называется множество таких линий, которые имеют единый закон образования и связаны между собой определенной зависимостью. Условия связи между линиями каркаса называются зависимостью каркаса. Эта зависимость характеризуется некоторой изменяющейся величиной, которая называется параметром каркаса. Если параметр линейного каркаса является непрерывной функцией, то каркас называется непрерывным, а если параметр − прерывная функция, то каркас называется дискретным.
Кинематический способ образования поверхности можно представить как множество положений движущейся линии или поверхности. Этот способ дает возможность сформулировать понятие определителя поверхности. Под этим понятием обычно подразумевают необходимую и достаточную совокупность геометрических фигур и кинематических связей между ними, которые однозначно определяют поверхность. В качестве определителя используют: • образующую; • направляющую или ось вращения. Образующая – прямая или кривая линия, движущаяся в пространстве по определенному закону. Направляющая – линия, которая задает направление движения в пространстве образующей. Ось вращения – прямая, вокруг которой в пространстве совершает вращательные движения образующая. Обычно поверхности обозначают заглавными буквами греческого алфавита, в скобках пишут определитель. Чтобы получить комплексный чертеж какой-либо поверхности, помимо проекций определителя необходимо дополнить его проекциями линий обрыва, линий контура и
Поверхность считается заданной на чертеже если: Можно построить любую ее образующую; По одной проекции точки, принадлежащей данной поверхности, можно построить ее вторую проекцию; Относительно любой точки, заданной на том же чертеже, можно однозначно решить, принадлежит ли она поверхности или нет.
Классификация поверхностей
Классификация поверхностей
Примечание. Все нелинейчатые поверхности являются неразвертывающимися. . . Дважды косой цилиндроид . Дважды косой коноид
Линейчатые поверхности К линейчатым поверхностям с одной направляющей относятся: 1. Поверхность с ребром возврата (торсовая) 2. Поверхность коническая 3. Поверхность цилиндрическая 4. Плоскость Рассмотрим первый тип линейчатых поверхностей - поверхность с ребром возврата. Поверхность с ребром возврата образуется при движении прямой, которая касается направляющей кривой (ребра возврата) в каждом своем положении. Так как в каждой плавной кривой можно провести только одну касательную, то при задании поверхности с ребром возврата – направляющую кривую а можно не указывать. Г (l, d, S) Закон движения образующей: li d = Si d, где d – пространственная кривая – ребро возврата; li – прямая-образующая; Si – точка, принадлежащая кривой d. .
Коническая поверхность образуется при движении прямой, которые пересекаются в собственной точке S, называемой вершиной, и пересекают направляющую а. Определитель поверхности Г (а, S), закон движения образующей: S li, li a. Если направляющая а – ломаная, то образуется пирамидальная поверхность.
Цилиндрическая поверхность получается в том случае, когда прямолинейная образующая при движении пересекает направляющую а и остается параллельной сама себе и указанному направлению S, стремящемуся к бесконечности. Определитель цилиндрической поверхности Г (а, l), li a, li | | l Если направляющая а – ломаная, то образуется призматическая поверхность,
Поверхности с плоскостью параллелизма При формировании линейчатой поверхности с помощью плоскости параллелизма образующие должны быть параллельны этой плоскости поэтому они пересекаются с ней в несобственных точках, множество которых образуют несобственную прямую. Эту прямую следует рассматривать как третью направляющую линейчатой поверхности. Определитель поверхности можно записать символически Q (а, b, Г), где а, b – направляющие, Г – плоскость параллелизма. Закон движения образующих li a, li b, li | | Г. В зависимости от вида направляющих а и b поверхность с плоскостью параллелизма называется цилиндроидом, коноидом или косой плоскостью. Цилиндроидом называется поверхность Каталана, у которой направляющие – кривые. Построить проекции каркаса образующих на ортогональном чертеже нетрудно, если плоскость параллелизма Г перпендикулярна плоскости проекций. В этом случае проекции прямолинейных образующих на одной плоскости проекций параллельны вырожденной проекции плоскости параллелизма, другие проекции образующих находят из условия их пересечения с направляющими а и b поверхностями. Построение фронтальной проекции А 2 по заданной горизонтальной проекции А 1 точки А принадлежащей цилиндру осуществлено проведением образующей l А.
Коноидом называют линейчатую поверхность с плоскостью параллелизма, у которой одно направляющая – кривая, а другая – прямая. Плоскость параллелизма может быть параллельной П 1 либо П 2. В этом случае прямолинейные образующие являются горизонталями либо фронталями. На рисунке коноид задается аналогично цилиндроиду. Косой плоскостью называется поверхность с плоскостью параллелизма, направляющими этой поверхности являются прямые а и b. Эта поверхность 2 -го порядка, она имеет другое название – гиперболический пароболоид, т. к. несет на себе каркасы парабол и гипербол кроме того два каркаса прямоугольных образующих. На рисунке показано построение проекций прямолинейных образующих поверхности и проекции точки В, принадлежащих поверхностей.
Винтовая поверхность образуется винтовым перемещением линии (образующей). Поверхность можно задать начальным положением образующей и направляющей – цилиндрической винтовой линией, которая называется гелисой. В технике часто встречаются винтовые поверхности, образованные при винтовом движении прямой. Такие поверхности называются геликоидами. В зависимости от величины угла наклона образующей к оси геликоиды бывают прямыми, если угол равен 90°, и наклонными (косыми), если угол – произвольный, отличный от 0 и 90°. Прямой геликоид имеет другое название – прямой коноид, т. к. прямолинейные образующие пересекают ось и винтовую направляющую, оставаясь параллельными одной и той же плоскости, перпендикулярной оси геликоида. Поэтому эта поверхность может быть задана двумя способами и иметь два определителя Г (i, l h), и Г (i, a, T), где i – ось геликоида, l – образующая прямая, h – шаг винтового движения, а – направляющая, T – плоскость параллелизма, которая может совпадать с П 1 либо с П 2. На рисунке показаны проекции элементов определителей, плоскость T совпадает с П 1, поэтому образующие поверхности являются горизонталями, пересекающими ось i. Для получения наглядного изображения поверхности ее задание проекциями геометрической части определителя следует расширить до задания каркасом, состоящим из последовательных положений прямолинейных образующих винтовых линий.
Наклонный, или архимедов, геликоид отличается от прямого геликоида тем, что его прямолинейная образующая пересекает ось i геликоида под постоянным углом b. Образующая геликоида пересекая две направляющие ось i и направляющую гелису а на цилиндре, остается параллельной образующим некоторого конуса вращения с вершиной S имеющего общую ось с винтовой линией и угол между образующей и осью, равный углу b. На рисунке показано построение каркаса прямоугольных образующих наклонного геликоида Г (i, l, a) на ортогональном чертеже очертание геликоида на фронтальной проекции получается как огибающая семейства прямолинейных образующих. В сечении геликоида плоскостью Q (Q 2) перпендикулярной его оси (нормальное сечение) получается спираль Архимеда.
Поверхности вращения Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси. В состав определителя поверхности вращения входит образующая l, ось вращения i и условие о том, что образующая вращается вокруг оси i: Г (l, i), [li = Ri (l)]. . Каждая точка образующей l (А, В, С, D, Е) при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями. Наибольшую и наименьшую параллель называют экватором и горлом. Плоскость a проходящую через ось i называют меридиальной, а линии по которым эта плоскость пересекает поверхность называются меридианом. Меридиан, расположенный в плоскости b, параллельной плоскости проекций, называется главным меридианом q. Главный меридиан q делит поверхность на две части: видимую и невидимую относительно той плоскости, которой параллельна плоскость главного меридиана.
Торовые поверхности 1. Если R < r, то образующая окружность l не пересекает ось вращения i, поверхность называется кольцом или открытым тором. 2. Если R > либо = R, то окружность касается оси или пересекает ее, поверхность называется закрытым тором.
3. Если r = 0, то образуется сфера. При вращении дуги окружности, плоскость которой может в общем случае пересекать ось вращения образуется поверхность, которая называется глобоид.
Поверхности 2 порядка Поверхности вращения 2 -го порядка образуются при вращении кривой 2 -го порядка вокруг своей оси. Эллипсоид вращения При вращении эллипса вокруг малой оси получается сжатый эллипсоид вращения. Когда эллипс вращается вокруг большой оси образуется вытянутый эллипсоид вращения.
Параболоид вращения Эта поверхность образуется при вращении параболы вокруг своей оси. Параболоид вращения неограниченная поверхность. В практике используют кусок поверхности, ограниченный параллелью. Гиперболоид вращения Гиперболоид имеет две оси – действительную и мнимую. При вращении гиперболы вокруг действительной оси – образуется однополостный гиперболоид вращения. При вращении гиперболы вокруг мнимой оси – образуется две полости гиперболоида или двуполостный гиперболоид вращения.
Циклические и трубчатые поверхности Циклической поверхностью называется поверхность, образованная непрерывным каркасом круговых сечений. На циклической поверхности расположено, по крайней мере, одно семейство круговых образующих (постоянного или переменного радиуса). Задание циклической поверхности должно однозначно определять положение плоскости каждой окружности, положение в плоскости и величину радиуса. Распространенные на практике разновидности циклических поверхностей - трубчатые поверхности переменного или постоянного радиуса.
• Спасибо за внимание
Скачать презентацию Тема Поверхности геом тела Цель Изучить способы
Начерталка Лекция 2 открытая пара.ppt