Тема Построение признаков делимости и их применение при

Тема: «Построение признаков делимости и их применение при решении задач» Мунгалов Руслан 8 «а» класс. 2014 год

«Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания и упражнения» . Д. Пойя

Проблема исследования: применение признаков делимости чисел при решении задач Гипотеза исследования: с помощью признаков делимости можно рациональнее решать различные задачи Объект исследования: признаки делимости чисел.

• Цель исследования: • изучить и рассмотреть применение признаков делимости для решения задач • Методы исследования: анализ теоретической литературы, практические методы. • Практическая значимость исследования: применение признаков делимости для решения школьных и олимпиадных задач

Основная теорема делимости Натуральное число раскладывается на произведение простых множителей единственным образом, с точностью до порядка множителей. Признак делимости - это алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.

Классификация признаков делимости Делимость по последним цифрам числа : 2, 4, 5, 8, 10, 25, 100 Делимость по сумме цифр числа: 3, 9, 11, 99 Собственные признаки делимости: 7, 11. 13, 19, 99 Делимость составных чисел: 6, 12, 14, 15, 50

1. Признаки делимости по последним цифрам числа: • Если число 10, делится на какое–либо натуральное число, то и число 10 , где n> k, делится на это число. • Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. 10 делится на 2, значит и 100, 1000, . . делятся на 2. Тогда число делится на 2, если его последняя цифра - 0 или делится на 2. • Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль. 10 делится на 10, значит и 100, 1000, … делятся на 10. Получается, число делится на 10, если его последняя цифра – ноль.

2. Признаки делимости чисел по сумме цифр чисел. • Признак Паскаля. Если сумма остатков при делении числа a по разрядам на число b делится на b , то и число a делится на b. • Признаки делимости на 3 и 9. • Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9. • Доказательство: • 1, 100, 1000, . . . при делении на 3, на 9 дают в остатке единицу. • Значит, число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 11: • Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11. • Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11. • Испытаем число 100397. • Нумерация идет слева направо. • 1+0+9=10 • 0+3+7=10 • 10 -10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11. • Можно проверить делимость числа на 11 другим способом: • Испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11. • Например, испытаем число 15235. • Разбиваем на группы • и складываем их: • 1+52+35=88. • 88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.

Признак делимости на 99: • Разобьём число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдём сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99. • Например, число 74547 делится на 99, т. к. 47 + 45 + 7 = 99, 99 делится на 99. Значит, число делится на 99.

3. Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число. Признак делимости на 6. Число делится на 6, если делится на 2 и на 3. Признак делимости на 14. Число делится на 14, если делится на 2, и на 7.

4. Метод построения признаков делимости по малой теореме Ферма. • Если p-простое число, a- натуральное число, не делящееся на p. То a при делении на p дает остаток 1. • Признак делимости на 17. Так как 17 -число простое, 10 – натуральное, не делящееся на 17, то число 10 при делении на 17 дает остаток 1. • Проверим и число 10. Оно при делении на 17 дает недостачу в 1. Значит, число делится на 17, если разбить его десятичную запись справа налево на группы по 8 цифры в каждой и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, с нечетными номерами со знаком плюс, и значение выражения будет делиться на 17, то и число делится на 17.

Признак делимости на 7: Чтобы узнать делится ли число на 7, надо: Число, стоящее до десятков умножить на два, К результату прибавить оставшееся число. Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет. • Например: • 4690 – 46*2 , 92+90=182, 182: 7=26, значит, 4690 делится на 7(проверяем делимость числа 1821*2, 2+82=84, 84: 7=12) • 3382 - 33*2, 66+82=148, 148 не делится 7 (делимость числа 148 проверяем также: , 2+48=50, 50 не делится на 7, значит и 148 не делится 7) и 3382 не делится на 7. • •

Признак делимости на 13, 19: • Признак делимости на 13: • Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13. • Например: • 858 делится на 13, так как 85 - 9*8=13 делится на 13. • Признак делимости на 19: • Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. • Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026. • 10 2 6 • + 1 2 • 1 1 4 делится на 19

Решение задач: • Пример 1: В числе 341*163 вместо звездочки поставьте такую цифру, чтобы это число делилось на 99. • Решение. Чтобы определить, делится ли число на 99, используем признак делимости. Разобьем на группы это число, получим 3|41|*1|63. • Вместо звездочки мы поставим 10 х, т. к. 3+41+10 х+1+63=10 х+108, ближайшее число, делящееся на 99, это число 198. Значит, 10 х+108=198, откуда х=9. • Ответ. х = 9.

• Пример 2. Пятизначное число вида 72 х3 у делится на 45. Найдите х и у. • Решение. Для того, чтобы определить число, воспользуемся признаками делимости. Чтобы число делилось на 45 необходимо, чтобы оно делилось на 5 и на 9. • Т. к. число делится на 5, если последняя цифра или 0 или 5, то у = 5 или у = 0. • а) Если у = 5, то найдем сумму цифр: 7 + 2 + 3 + 5 = 17, ближайшее число, делящееся на 9, будет 18, значит в этом случае х = 1. • Итак, мы получили число 72 135. • б) Если у = 0, то найдем сумму цифр: 7 + 2 + 3 +0 = 12, ближайшее число, делящееся на 9, будет 18, значит в этом случае х = 6. • Итак, мы получили второе число 72 630.

• Пример 3. Даны три последовательных натуральных числа, из которых первое - чётное. Докажите, что произведение их кратно 24. • Решение. • Из трёх последовательных натуральных чисел обязательно одно кратно трём, а из двух последовательных чётных – одно кратно 4. Следовательно, произведение этих трёх чисел делиться на 3, 2, и кроме того, на 4, т. е. на 3*2*4=24.

• Пример 4. Дети парами выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 орехов? Решение. Заметим, что на выходе из леса у каждой пары детей орехов такое количество, которое делится на 3. Так как, если у мальчика х – орехов, то у девочки 2 х – орехов, значит, вместе они собрали 3 х – орехов (это число обязательно делится на 3). А так как у каждой пары такое количество орехов, то и суммарное количество орехов, должно делиться на 3. А так как 1000 на 3 не делится, то у всех вышедших из леса пар, не может быть в сумме 1000 орехов. • Ответ. Не может.

Заключение • Познакомившись с признаками делимости чисел, можно сказать, что полученные знания можно применять самостоятельно для решения не только школьных и олимпиадных, но и жизненных задач, так как знание, основных признаков делимости значительно упрощает процесс вычисления.

Спасибо за внимание!