Тема Методика изучения функций в школьном курсе математики

Тема: «Методика изучения функций в школьном курсе математики »

Алгебра: учеб. пособие для 7 -го кл. общеобразоват. Учреждений с рус. яз. обучения / Е. П. Кузнецова [ и др. ]; под. ред. Шнепермана. – Минск : Нар. Асвета, 2009. – 318 с. П. 2. 4. Понятие функции

Методическая схема изучения функции: 1 этап: подготовительная работа. 2 этап: определение функции, формула, исследование входящих в формулу параметров. 3 этап: построение графика по точкам (таблиц значений функции). 4 этап: исследование основных свойств функции (по графику). 5 этап: рассмотрение задач на применение изученных свойств функции.

1 этап: подготовительная работа. Задача 1. Автомобиль едет из города А в город В, расстояние между которыми 400 км, с постоянной скоростью 80 км/ч. На каком расстоянии s км от города В будет автомобиль через t ч? Задача 2. Пусть длина прямоугольника x (м), а ширина – на 3 м меньше. Чему равна площадь y (м 2) прямоугольника?

2 этап Определение. Закон (правило), по которому каждому значению переменной x из некоторого множества чисел D ставится в соответствие одно определенное значение переменной y, называется функцией на этом множестве D.

П. 2. 5. Функция у=kx Определение. Функция y=kx (k ≠ 0) называется прямой пропорциональностью; ее область определения состоит из всех чисел. Прямая y называется прямо пропорциональной переменной x, а число k – коэффициентом прямой пропорциональности.

Теорема. Если переменная y пропорциональна переменной x с коэффициентом k, то переменная x пропорциональна y с коэффициентом

3 этап Рассмотрим функцию y=2 x Свойства x -2 -1 0 1 2 3 y -4 -2 0 2 4 6

4 этап «Исcледование свойств функции по графику»

3 этап Рассмотрим функцию y=-2 x x -2 -1 0 1 2 3 y 4 2 0 -2 -4 -6

4 этап «Иследование свойств функции по графику»

Геометрический смысл числа k 1. k>0 - график расположен в I и III координатных четвертях; 2. k<0 – график расположен во II и IV координатных четвертях;

Линейная функция (п. 2. 5) 2 этап Определение. Линейной называется функция вида y=kx+b, где k и b- числа; ее область определения состоит из всех чисел.

3 этап y=0, 5 x-2 Все отмеченные точки лежат на одной прямой. Вывод: графиком линейной функции является прямая. Общий вывод: графиком линейной функции является прямая.

Этап 4 y=2 x+3 Свойства: n 1) D(y)=R; n 2) E(y)=R; n 3) возрастающая; n 4) у=0 при х=-3/2; n 5) y>0 при x>-3/2, y<0 при x<-3/2; n 6) при х=0 y=3; n 7) общего вида.

Пример 2. y=-0, 8 x+1 Свойства: n 1)D(y)=R; n 2) E(y)=R; n 3) убывающая; n 4) у=0 при х=1, 25; n 5) y>0 при x<1, 25, y<0 при x>1, 25; n 6) при х=0 y=1; n 7) общего вида.

Связи между числами k и b b) k=0, y=b Линейная функция принимает одно и то же значение при любом х;

Связи между числами k и b a) b=0, y=kx – линейная функция, называемая прямой пропорциональностью.

Взаимное расположение графиков линейных функций n n пересекаются (k 1≠k 2), взаимноперпендикулярные (k 2=-1/k 1); параллельные (k 1=k 2, b 1≠b 2, ), совпадают (k 1=k 2 и b 1=b 2).

Геометрический смысл числа k: k – угловой коэффициент прямой. Заметим, n если k>0 угол наклона графика функции к оси ОХ острый; n если k<0 угол наклона графика функции к оси ОХ тупой.

1. 2. 3. 5. 6. k 1≠k 2 – графики пересекаются; k 1=k 2 – графики параллельные; k>0 - угол наклона графика функции к оси ОХ острый; k<0 - угол наклона графика функции к оси ОХ тупой; k 1

Геометрический смысл числа b При х=0, у=b. Значит, график функции y=kx+b пересекает ось OY в точке с координатами (0; b).

5 этап у=0, 5 х-1 n n n n 1) D(y)=R; 2) E(y)=R; 3) возрастающая; 4) 0, 5 x-1=0; x=2; 5) y>0 при x>2, y<0 при x<2 ; 6) при х=0 у=-1; 7) общего вида.

Схема изучения линейной функции в 9 классе 1) напоминается определение у=kx+b, где k≠ 0; 2) строится график функции; 3) D(y) и E(y); 4) определение нулей функции; 5) промежутки знакопостоянства: y>0 y<0 k>0 kx+b>0, x>-b/k kx+b0, x<-b/k kx+b<0, x>-b/k

6) а) при k>0 функция возрастает Доказательство: Пусть х1 и х2 – произвольные значения аргумента, причем х2 > х1. Тогда соответствующие значения функций будут y 1=kx 1+b 1 и y 2=kx 2+b 2. Рассмотрим разность y 2 -y 1=(kx 2+b 2)(kx 1+b 1)= =kx 2 -kx 1=k(x 2 -x 1). Т. к. х2 > х1, то x 2 x 1>0 и знак произведения зависит от знака k. Если k>0, то k(x 2 -x 1)>0, y 2 y 1>0, y 2>y 1, значит функция возрастает.

6) б) при k<0 функция убывает Доказательство: Пусть х1 и х2 – произвольные значения аргумента, причем х2 > х1. Тогда соответствующие значения функций будут y 1=kx 1+b 1 и y 2=kx 2+b 2. Рассмотрим разность y 2 -y 1=(kx 2+b 2)-(kx 1+b 1)= =kx 2 -kx 1=k(x 2 -x 1). Т. к. х2 > х1, то x 2 -x 1>0 и знак произведения зависит от знака k. Если k<0, то k(x 2 -x 1)<0, y 2 -y 1<0, y 2

7) четность функции Определение. D –симметричное множество. f(-x)=f(x). График симметричен относительно оси ОУ. нечетность функции Определение. D –cимметричное множество. f(-x)=-f(x). График симметричен относительно начала координат.