Тема Метод координат на прямой и плоскости

Тема: «Метод координат на прямой и плоскости»

Цель исследования: • Систематизировать и обобщить сведения о системах координат на прямой и плоскости • Раскрыть сущность метода координат и показать его приложения к решению задач.

На современном этапе развития теории и практики тема по – прежнему актуальна. Вот, что об этом говорит Петр Константинович Рашевский: ". . . большую и часто ведущую роль в геометрии играет координатный метод. Здесь геометрические образы изучаются не непосредственно геометрически, а методами алгебры (аналитическая геометрия), а затем и анализа (дифференциальная геометрия). Огромная сила этого метода основана на то, что он применяет к геометрии сильный, хорошо развитый вычислительный аппарат алгебры и анализа. В результате удается ставить и решать вопросы, лишь малая часть которых укладывается в сравнительно узкие рамки прямых геометрических методов".

Французские математики XVII в Р. Декарт(1595 – 1650) П. Ферма(1601 – 1665)

Задача. Дан треугольник ABC; найти центр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение: Примем точку А за начало координат, ось абсцисс направим от A к B. Тогда точка В будет иметь координаты (c; 0), где c – длина отрезка AB. Пусть точка С имеет координаты(g; h), а центр искомой окружности – координаты(v; w). Радиус описанной окружности обозначим через R.

Запишем в координатах, что точки А(0; 0), В(с; 0), С(g; h) лежат на этой окружности.

Эта система трех уравнений с тремя неизвестными легко решается, и мы получаем:

Предыдущий пример показал, как метод координат позволяет применять алгебру к решению геометрических задач. С помощью метода координат иногда можно облегчить решение алгебраических задач, истолковав их геометрически. Приведем пример такой задачи.

Задача: При каких значениях параметра a система не имеет решений, имеет единственное решение, имеет бесконечное множество решений? Какие еще возможны случаи?

Решение:

Ответ: Система: • при имеет два решения; • при и имеет одно решение; • при и не имеет решений.

Этапы метода координат: 1. Перевод задачи на координатный язык(разместить фигуры на координатной плоскости так, чтобы более рационально можно было выразить в координатной форме как данные так и искомые) 2. Преобразование аналитического выражения 3. Обратный перевод ( т. е. перевод с координатного языка на язык задачи)

Системы координат • Координаты на прямой; • Прямоугольные и косоугольные; • Координаты на окружности; • Полярные координаты.

Числовая ось О – начало отчета, е – единица масштаба. Число, определяющее положение точки на числовой оси, называется координатой точки по этой оси. Употребляют обозначения М(-7), А(х) и т. д.

Прямоугольные и косоугольные координаты Чтобы определить координаты точки на плоскости, проведём в этой плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси. Одну из осей называют осью абсцисс или осью x (или Ox), другую — осью ординат или осью y (или Oy).

Точку пересечения осей называют началом координат и обозначают буквой O. Она является началом отсчёта для каждой из двух числовых осей Ox и Oy. Единицы масштаба на этих осях выбираются, как правило, одинаковыми.

Возьмём на плоскости некоторую точку M и опустим из неё перпендикуляры на ось Ox и ось Oy.

Оси координат делят плоскость на четыре четверти (квадранта). Такой метод очень удобен в том случае, когда нужно найти координаты построенной точки, или, наоборот, по известным координатам нужно построить точку.

Наряду с декартовой прямоугольной системой координат употребляется и другая система координат – косоугольная.

Полярные координаты. Кроме декартовых координат, для определения положения точки на плоскости часто используют полярную систему координат. Фиксируем на плоскости точку О и луч l с началом О. Точку О называют полюсом, а l – полярной осью. На луче l выбираем единичный отрезок OE.

Пусть М – произвольная точка плоскости, отличная от О. положение точки М однозначно определяется следующей парой чисел: расстоянием между точками О и М и величиной угла поворота луча l на луч ОМ в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки

• Если на плоскости ввести декартовы координаты так, чтобы начало координат совпало с полюсом, а положительная часть оси с полярной осью, то они, очевидно, будут связаны с полярными формулами: