Тема Математические методы анализа карт 1 Картографируемое

Тема: Математические методы анализа карт 1

Картографируемое явление можно представить • либо как функцию z = F(x, y), где X и Y - координаты точки, • либо как поле случайных величин. В зависимости от этого представления при анализе карт используют следующие методы: • математического анализа (аппроксимация); • математической статистики: Ä построение гистограмм и получение статистики; Ä теория корреляции; Ä факторный анализ; • теории информации. 2

1. Аппроксимация - замена сложной или неизвестной функции другой, более простой, свойства которой известны. Любую сложную поверхность можно представить ( аппроксимировать) в виде z=f(x, y) + , где f(х, у) - некая аппроксимирующая функция, - остаток, не поддающийся аппроксимации. Для ее нахождения с карты снимают ряд значений zi и составляется система уравнений, решаемая способом наименьших квадратов: i 2 = [zi - f(хi, уi)]2 = min. Аппроксимирующие функции: алгебраические многочлены, тригонометрические функции и др. При анализе карт аппроксимацию используют: • для описания поверхностей, изображенных на картах, и выполнения с ними различных действий (суммирования, вычитания. . . ), • для подсчета объемов, ограниченных этими поверхностями, • для разложения поверхностей на составляющие - выделения нормальных и аномальных факторов явлений. 3

Аппроксимация поверхностей: Исходная поверхность A и модели аппроксимирующих поверхностей 1, 2, 3 порядков Тригонометрическая аппроксимация для моделирования сложных поверхностей 4

2. Приемы математической статистики для анализа карт а) Построение гистограмм и получение статистик - для изучения характеристик и функций распределения явления В основе статистического исследования карты лежит выборка подмножество однородных величин аi , снятых с карты: - по регулярной сетке точек (систематическая выборка), - в случайно расположенных точках (случайная выборка), - на ключевых участках (ключевая выборка), - по районам (районированная выборка). ü Выборочные данные группируются по интервалам, после чего составляются гистограммы распределения, показывающие кол-во или долю данных выборки со значениями, попавшими в эти интервалы, ü Вычисляются статистики для выборки - количественные показатели, характеризующие распределение явления (мин, мах, среднее значение, медиана, среднеквадратическое отклонение, дисперсия). 5

Приемы математической статистики (а) Карта рельефа с сеткой точек регулярной выборки (выходы сетки отмечены на рамке); (б) гистограмма и кривая распределения высот, построенные по данной выборке точек При решении задач ГИС наиболее часто встречается нормальное распределение (распределение Гаусса) (симметричное относительно средней величины) , где (x) – плотность распределения вероятностей случайной величины x; m - ее среднее значение (мат. ожидание), s - среднеквадратическое (стандартное) отклонение от среднего, 2 - дисперсия. 6

Приемы математической статистики б) Теория корреляции служит для оценки взаимосвязи между явлениями (корреляция - статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин): • необходимо иметь 2 выборки по сравниваемым явлениям, для этого на картах разной тематики в одних и тех же i-х точках берут значения аi и bi ; • по значениям пар (аi, bi) строят график поля корреляции; • если поле корреляции аппроксимируется прямой (линией регрессии), вычисляют коэффициент парной корреляции - показатель характера изменения двух случайных величин. Карты явлений и поле корреляции a b Поле корреляции a а) карта испарения с суши (мм/год) б) карта средней годовой температуры воздуха b 7

Приемы математической статистики: теория корреляции Коэффициент парной корреляции: где аi и bi - выборочные данные, полученные по картам А и В; п - объем выборки; ma и mb - средние значения: a и b - среднеквадратические отклонения от среднего: Свойства R: • R [-1, +1]; • при R = ± 1 между явлениями существует прямая (+) или обратная (-) линейная связь ( «+» - полож. корреляция, при которой увеличение корреляция одной переменной связано с увеличением другой, «-» - отриц корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с корреляция уменьшением другой); • если R 0 - связь между явлениями отсутствует; • при R > |0. 7| связь считается существенной. 8

Приемы математической статистики в) Факторный анализ служит для выделения основных факторов, определяющих развитие и размещение явления. Позволяет свести большие совокупности исходных показателей, характеризующих сложное явление, к 3 - 4 главным факторам. Уравнение факторного анализа в общем виде: аi - исходные показатели; fr - выделенные главные факторы, lir - “вес” каждого фактора; еi - остаток, характеризующий неучтенные отклонения. Применение: создание климатической карты, показывающей районы, однородные по всему комплексу показателей. 9

Приемы математико-картографического моделирования 3. Приемы теории информации служат для оценки степени • однородности / неоднородности явления, изучаемого по карте; • совпадения контуров явлений (что является показателем их взаимосвязи). Для оценки неоднородности картографического изображения используется энтропия - основная функция теории информации. Энтропия Е(А) некоторой системы А это сумма произведений вероятностей pi различных состояний этой системы на логарифмы вероятностей, взятая с обратным знаком: В картографическом анализе вероятность pi заменяется i - долей контуров, соответствующих i-ому состоянию (отношением площади контуров в i-ом состоянии Si к площади всех n контуров на карте): , где 10

Оценка степени неоднородности с помощью функции энтропии Свойства функции энтропии: · Е(А)>=0; · Е(А)=0 при n=1 - на карте изображен только один контур (или только одно состояние) - изображение в этом случае совершенно однородно; · с увеличением п энтропия возрастает от 0 до , т. е. увеличивается неоднородность явления; Увеличение энтропии Е (А) с возрастанием числа контуров на карте (а) и изменением соотношения их площадей (б). · при фиксированном n величина неоднородности зависит от относительных площадей контуров (долей i) и достигает max при равных долях 1= 2=…= n=1/n : E(A 1) < < E(A 2) < < E(A 3) <… < < E(An) ) E(A 4) = max 11