Тема лекции Средние величины Средние величины исчисляют

Тема лекции: Средние величины

Средние величины исчисляют для того, чтобы дать сводную обобщающую характеристику всей совокупности или ее отдельных групп по одному какому-либо признаку. Исчисление средних обобщающих показателей означает отвлечение (абстрагирование) от особенностей, отражающихся в величине признака у отдельных единиц, и выявление общих для данной совокупности типичных черт и свойств.

Таким образом, средняя величина является величиной абстрактной, так как она не подменяет конкретных индивидуальных значений признака, но именно в этой способности абстрагироваться от случайностей отдельных значений и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупности.

Средняя величина правильно характеризует только однородные (однотипные) по содержанию группы или совокупности: только такая средняя будет типичной. Если же средние исчисляются для разнокачественных, разнотипных явлений, то они теряют реальный смысл.

Средними величинами в статистике называют такие показатели, которые выражают типичные черты и дают обобщенную количественную характеристику однородных общественных явлений по какому-либо варьирующему признаку.

Уровень любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов: общих и типичных (например, при вычислении выработки необходимо сравнивать бригады, осуществляющие работу в течение рабочего дня одинаковой продолжительности, использующие одинаковые средства труда и т. д. ); индивидуальных, свойственных каждой единице совокупности (например, квалификация, стаж). Именно причины I порядка и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине.

В статистике применяются различные виды средних величин, основные из которых выводятся из общей формулы – степенной средней: z = -1 средняя гармоническая z = 0 средняя геометрическая z = 1 средняя арифметическая z = 2 средняя квадратическая

Наиболее простой и распространенной является средняя арифметическая. Она бывает простая и взвешенная. Средняя арифметическая простая вычисляется в тех случаях, когда каждое отдельное значение признака встречается один раз.

Например, имеются 5 работников одного отдела (или одной бригады), по каждому из них известна заработная плата за январь: Ф. И. О. Иванов О. П. Петров Н. Я. Козлов И. В. Сидоров Е. С. Якимов Т. В. Заработная плата, тысяч рублей 15, 2 8, 9 10, 8 11, 3 10, 9 Для того, чтобы рассчитать среднюю заработную плату в отделе (бригаде), следует значения заработной платы по всем пятерым работникам просуммировать и разделить на их общее количество – на 5 человек:

Средняя арифметическая простая _ х - средняя величина; х - варианты признака; n - численность совокупности (число вариантов из которых рассчитывается средняя).

Когда значения признака (варианты) встречаются по нескольку раз, применяется средняя арифметическая взвешенная. Возраст, лет xi 18 Число студентов, чел. fi 25 19 35 20 15 Итого 75

Средняя арифметическая взвешенная где f - веса. Название «вес» отражает тот факт, что разные значения признака имеют неодинаковую «важность» при расчете средней величины.

Рассчитаем среднюю заработную плату: Предприятия 1 2 3 4 5 Итого Численность Зарплата в среднем Фонд заработной работников, чел на одного платы, тыс. работника, рублей тыс. рублей 100 150 10 10 5 275 15, 9 22, 0 24, 5 28, 4 33, 2 20, 3 1590 3300 245 284 166 5585

Рассмотрим еще один пример: Предприятие Затраты на производство и реализацию продукции, тыс. рублей 1 Прибыль от реализации продукции, тыс. рублей Рентабельность продукции, % 2 3 = гр. 2 : гр. 1 * 100% 1 200 20 10, 0 2 500 60 12, 0 3 1200 600 50, 0 1. (10 + 12 + 50 ) : 3 = 24% 0, 10 * 200 + 0, 12 * 500 + 0, 50 * 1200 20 + 600 2. ------------------------- = 35, 8% 200 + 500 + 1200

В интервальном вариационном ряду за значение варьирующего признака принимается центр (середина) интервала. Среднее значение интервала находят как полусумму верхней и нижней границ. Если интервал открытый ( «до…» , «свыше…» ), то величиной первого интервала считают величину последующего интервала, а величиной последнего -- величину предыдущего

Рассчитаем средний возраст работника предприятия Возраст, лет Xi До 25 Середина интервала Число работников, чел. Xi Fi 22, 5 7 25 -30 27, 5 13 30 -40 35 38 40 -50 45 42 50 -60 55 16 60 и более 65 5

Естественно, что средняя, рассчитанная по интервальному ряду, будет иметь погрешности от действительной величины. Эта погрешность зависит: от числа случаев: чем их больше, тем меньше середина интервала будет отличаться от групповой средней; величины интервала: если верхняя граница не очень далеко отстоит от нижней, то и ошибка будет незначительна; характера распределения: чем более симметрично распределение, тем меньше ошибка; принципа построения интервального ряда: при равных интервалах центр его будет ближе примыкать к средней арифметической по данной группе.

Средняя гармоническая величина Заработная плата, руб. Фонд заработной платы, xi руб. xi * fi 3000 6000 4000 8000 5000 15000 6000 18000 -6000 + 8000 + 15000 + 18000 47000 X гарм = ----------------------- = 4700 руб. 6000 8000 15000 18000 10 ------- + ----3000 4000 5000 6000

Средняя гармоническая величина

В отделе работают два сотрудника. Один на обработку одной заявки тратит 30 мин. , а второй – 10 минут. Вычислить среднее время, затрачиваемое на обработку одной заявки. Решение (30 + 10) : 2 = 20 минут будет неверным. В данном случае надо решать не по формуле средней арифметической, а по формуле средней гармонической: 1 + 1 2 ------- = 15 минут 1 1 4 ---- + ------30 10 30

Средняя квадратическая величина Эта средняя величина используется для расчета показателей, характеризующих вариацию (степень различия) единиц совокупности по какому – либо количественному варьирующему признаку. Более подробно этот показатель будет рассмотрен в следующей теме, которая так и называется «Показатели вариации» .

Средняя квадратическая величина Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной

Пусть имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: х1=100 м; х2= 200 м; х3=300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы, очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100+200+300): 3=200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3*(200 м)2 = 120000 м 2. В то же время площадь исходных трех участков равна: (100 м)2+(200 м)2+(300 м)2=140000 м 2.

Правильный ответ дает квадратическая средняя: Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

Средняя геометрическая величина Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину = n - число значений признака; П - знак перемножения. Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.

Рассчитаем среднемесячный индекс потребительских цен в 2009 г. Месяц В%к предыдущему периоду январь 101, 5 июль 100, 4 февраль 102, 7 август 100, 1 март 101, 6 сентябрь 99, 8 апрель 100, 4 октябрь 100, 0 май 100, 8 ноябрь 100, 5 июнь 100, 2 декабрь 100, 4

Средняя хронологическая величина Если числовые значения признака (варианты) известны на определенные даты – моменты времени (среднегодовая стоимость основных фондов, среднесписочная численность персонала), то

Рассчитаем среднегодовую численность населения на 1 января каждого года. 2005 Численность населения на 1 января, тыс. чел 2006 2007 2008 2009 2010 996, 4 985, 0 974, 6 968, 2 958, 5 951, 2 Рассчитаем среднегодовую численность населения за пять лет (2005 -2009)

Структурные средние Мода (Мо) Медиана (Ме) значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемом явлении. это величина варьирующего признака, делящая совокупность (ранжированный ряд) на две равные половины

Возраст, лет 18, 19, 19, 19, 18, 22, 19, 18, 20, 22, 18, 19, 19, 20 Группировка Мода - 19 лет Возраст, лет Число студентов 18 5 19 9 20 2 22 2 Возраст, лет 18, 19, 19, 19, 18, 22, 19, 18, 20, 22, 18, 19, 19, 20 Группировка Медиана – 19 лет Возраст, лет Число студентов 18 5 19 9 20 2 22 2 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 22

Мода используется только в совокупностях большой численности. Если варианты в ряду распределения заданы в виде интервалов, то первоначально находится модальный интервал, т. е. интервал, обладающий наибольшей частотой, а затем приближенное значение модальной величины. хо - нижняя граница модального интервала; i - величина модального интервала. fмо - частота модального интервала; fмо-1 - частота интервала, предшествующего модальному; fмо+1 - частота интервала следующего за модальным;

Возраст Число работников До 25 7 25 -30 13 30 -40 38 40 -50 42 50 -60 16 60 и более Число работников 5 ИТОГО 121 (42 -38) Мо = 40+ 10 * ------------ = (42 -38) + (42 -16) = 41, 3 года Мо Возраст, лет

Медиана величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные половины. х0 - нижняя граница медианного интервала; fме - частота в медианном интервале; s- накопленная частота предшествующая медианному интервалу; - половина объема ряда; i – величина интервала.

Рассчитаем медиану урожайности Группа хозяйств по урожайности, ц/га Число хозяйств Накопленная частота 10 -15 6 6 15 -20 9 15 20 -25 20 35 25 -30 41 76 30 -35 26 102 35 -40 21 123 40 -45 14 137 45 -50 5 142 Итого 142

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!