ТЕМА ЛЕКЦИИ: J ТЕ ОС ОР Н ИИ ОВ НЫ ВЕ РО Е П ЯТ ОН НО ЯТ СТ ИЯ ЕЙ
Определение: Вероятностью случайного события называется число, которое характеризует объективную возможности его наступления. Пусть имеется полня группа событий попарно несовместных и равновозможных. Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов (элементарных событий), благоприятствующих наступлению события А к общему числу исходов испытания. Если n общее число исходов испытания, а m число благоприятствующих исходов, то вероятность события А равна: P(A)=m/n
Cвойства вероятности: 1. Вероятность достоверного события равна 1. Действительно, если событие достоверное, то любой исход является благоприятствующим , тогда n = m, а значит Р = 1. 2. Вероятность невозможного события равна 0. Действительно, любой исход не будет благоприятствующим, т. е. m = 0, тогда Р = 0/n = 0. 3. Вероятность события А удовлетворяет неравенству: 0≤P≤ 1
ОПЕРАЦИИ НА СОБЫТИЯМИ Определение: Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания. Сумма событий А и В обозначается: А+В. Определение: Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в их совместном наступлении в результате испытания. Обозначение произведения событий: АВ.
Определение: Два события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятности наступления другого. Примеры: а) Два спортсмена стреляют по мишени. Событие А – попал первый стрелок, вероятность появления этого события Р(А) , В – попал второй стрелок, вероятность Р(В). Появление или не появление события, например, А не повлияет на вероятность появления события В. б) Бросают два одинаковых кубика. Событие С – выпало 2 очка на первом кубике, вероятность этого события Р(С). Событие D – 3 очка на втором кубике, вероятность – Р(D). Появление события D не повлияет на вероятность появления события С.
Определение: События А и В называются зависимыми, если наступление одного из них изменяет вероятность появления другого. Определение: Условной вероятностью Р(А(В)) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.
Пример: В урне 2 белых и 2 черных шара. Событие А – вынут 1 белый шар, событие В – вынут 1 черный шар. Вероятность их появления при испытании – из урны наудачу вынут один шар, одинакова и равна 1/2. Рассмотрим событие: первым вынут белый шар, т. е. происходит событие А, его вероятность 1/2, затем возвращается в урну и вторым вынимают черный шар, т. е. происходит событие В. Найдем вероятность события В в такой ситуации : Р(В)=2/4=1/2. Итак, появление события А не изменило появление события В. Теперь изменим условия: вынутый первым белый шар не будем возвращать в урну, тогда вероятность события В будет равна Р(В)=2/3, сравнивая результаты 1/2 и 2/3 можно сделать вывод, что появление события А изменило вероятность появления события В. Такие события называются зависимыми , а вероятность события В, в данном случае называется условной вероятностью и обозначается Р(А(В)), т. е. вероятность события В при условии, что А произошло.
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теорема 1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т. е. Р(АВ)= Р(А)Р(А(В)). Доказательство: Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению события А, их этих М - К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К. По классической формуле имеем: Р(АВ)=L/N. Умножим и разделим на М: Р(АВ)= Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т. е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.
Пример 1. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0, 7; 0, 8 и 0, 9. Найти вероятность того, что попадут все три. Решение: Пусть событие А – попал 1 -й, В – 2 -й и С – 3 -й. Эти события независимые, тогда применяя соответствующую теорему получим, что вероятность совместного появления всех трех событий равна: Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)= 0, 7· 0, 8· 0, 9 = 0, 504.
Пример 2. В урне находятся 3 белых, 2 черных и 4 синих шара. Какова вероятность того, что первым будет вынут белый шар, вторым- синий, третьимчерный. Шары не возвращаются. Решение: Пусть события: А – вынут белый шар, В – вынут синий, Счерный. Вероятность, что первым вынут белый равна Р(А)= Событие В происходит после события А, при этом условия меняютсяобщее количество шаров уменьшилось и стало равно 8, поэтому события А и В зависимые и речь идет об условной вероятности события В: Р(А(В))=4/8=1/2. Событие С происходит после событий А и В, поэтому вероятность его тоже условная Р(А(В(С)))=2/7. Вероятность же их совместного появления : Р(АBC)=
Теорема 2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В). Доказательство: Т. к. события независимые, то верно равенство РА(В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В).
ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теорема 1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Доказательство: Пусть результатом опыта (эксперимента) могут быть n элементарных событий (случаев). Предположим, что из этих случаев m - благоприятны событию А, а k – событию В. Тогда : P(A) = m/n; P(B) = k/n По условию события А и В несовместны, значит m+k случаев благоприятны событию (А+В). Имеем: Р(А + В) = (m+k)/n = m/n + k/n = Р(А) + Р(В). Теорема доказана.
Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая событие А+В буквой D и присоединяя к сумме еще одно событие С, которому благоприятны l случаев: P(C) = l/n , P(D) = (m+k)/n , докажем, что P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). Действительно P((A+B)+C)=P(D+C) = (m+k)/n + l/n = m/n + k/n + l/n = Р(А)+Р(В)+Р(С). Методом индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число событий. Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий.
Следствие 1. Если события А 1, А 2, …, Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице. Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: P(A) + P(Ā) = 1 Поскольку противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу, то это следствие есть частный случай следствия 1.
Теорема 2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т. е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Доказательство: Всего исходов N, благоприятствующих событию А – К, событию В – L, совместному появлению А и В – М. Следовательно, благоприятных исходов для события А+В : K+L-M. Откуда вероятность события А+В: Р(А+В)=
Пример 1. В урне 3 красных, 5 синих и 2 белых шара. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется цветным? Решение: Пусть событие А – вынут синий шар, событие В – красный шар. Эти события несовместны. Интересующее событие- вынут цветной шар, означает, что вынут красный или синий, т. е. событие А+В. используем теорему о сумме несовместных событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В). вычислим вероятности событий А и В: Р(А)=5/10=1/2; Р(В)=3/10. Тогда искомая вероятность равна Р(А+В) = 1/2+3/10= 8/10=0, 8.
Пример 2. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0, 7; 0, 8 и 0, 9. Найти вероятность того, что попадут какие – либо два стрелка. Решение: Пусть события А – попал 1 -ый стрелок, В – попал 2 -ой, С – попал 3 -ий. События независимые. Событие D – попадут только два стрелка выразим через А, В и С: D= Применяя теоремы умножения независимых событий и сложения несовместных событий получим: P(D)=
http: //apollyon 1986. narod. ru/docs/TVi. MS/NP/lekziitv/LEKZIYA 3. HTM#1 http: //www. pm 298. ru/verstat. php http: //igriki. narod. ru/slog_i_umnog_ver 1. htm http: //main. rudn. ru/_new/russian/win/departments/med_inf/statbook/el_tv 3_3. html http: //www. nuru. ru/teorver/003. htm