ТЕМА ЛЕКЦІЇ ПЕРВІСНА. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. БЕЗПОСЕРЕДНЕ ІНТЕГРУВАННЯ. ПЛАН ЛЕКЦІЇ 1. Первісна та невизначений інтеграл. 2. Теорема про існування невизначеного інтеграла та його основні властивості. 3. Таблиця інтегралів. 4. Безпосередне інтегрування.
1. ПЕРВІСНА ТА НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ В багатьох теоретичних та практичних питаннях математичного аналізу розв’язується задача, обернена диференціюванню, а саме: за заданою похідною F'(x) = f(x), або, що те ж саме, за заданим диференціалом d. F(x) = f(x)dx, знайти вихідну функцію, так звану первісну функцію F(x). Дія знаходження первісних функцій називається інтегруванням функцій. Функцію F(x) називають первісною для даної функції f(x), якщо F'(x) = f(x), або, що те ж саме, якщо d. F(x) = f(x)dx. Т е о р е м а (про первісну) Якщо функція f(x), яка визначена на деякому проміжку X, має одну первісну F(x), то вона має безліч первісних, які всі містяться в аналогічному виразі F(x) + C, де C – довільна стала
1. ПЕРВІСНА ТА НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. Сукупність всіх первісних для даної функції f(x), визначеної в деякому проміжку, називають невизначеним інтегралом від функції f(x) [або від виразу f(x)dx] і позначають символом Якщо F(x) є одна із первісних для f(x), то згідно з теоремою про первісну маємо (1) де C – довільна стала. В формулі (1) f(x) називають підінтегральною функцією, а f(x)dx – підінтегральним виразом.
1. ПЕРВІСНА ТА НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Геометрично невизначений інтеграл (1) представляє собою однопараметричну сім’ю плоских кривих у = F(x) + C (C – параметр), які мають наступну властивість: дотичні, що проведені до цих кривих в точках з однаковою абсцисою х = х0 паралельні між собою. у Кутовий коефіцієнт цих дотичних дорівнює х0 х Криві у = F(x) + C називають інтегральними кривими. Всі інтегральні криві можна одержати із однієї із них за допомогою паралельного переносу цієї кривої вздовж осі ОY. Вони не перетинаються між собою і не дотикаються одна до другої. Через кожну точку площини з абсцисою, що належить області визначення функції f(x), проходить одна і тільки одна інтегральна крива.
2. ТЕОРЕМА ПРО ІСНУВАННЯ НЕВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА ТА ЙОГО ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ Т е о р е м а (про існування) Будь-яка неперервна функція f(x) завжди має первісну F(x), причому F'(x) = f(x). Властивості невизначеного інтеграла 1. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу 2. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції u(x) дорівнює цій функції, складеній з деякою сталою
2. ТЕОРЕМА ПРО ІСНУВАННЯ НЕВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА ТА ЙОГО ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ Властивості невизначеного інтеграла 3. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює такій же самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожної із функцій 4. Сталий множник (що не дорівнює нулю) можна виносити за знак невизначеного інтеграла 5. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:
3. ТАБЛИЦЯ ІНТЕГРАЛІВ Значення інтегралів від основних елементарних функцій отримують за допомогою формул диференціювання цих функцій, застосування формули формул диференціювання цих функцій застосування формули du = u'dx властивості Наприклад, розглянемо формулу диференціювання степеневої функції Якщо m ≠ – 1 , то її можна переписати в виді Звідси інтегрування обох частин цієї рівності і використання другої і четвертої властивості невизначеного інтеграла дає
3. ТАБЛИЦЯ ІНТЕГРАЛІВ Таблиця основних інтегралів
4. БЕЗПОСЕРЕДНЕ ІНТЕГРУВАННЯ Обчислення інтегралів за допомогою безпосереднього використання таблиці основних інтегралів і основних властивостей невизначених інтегралів називають безпосереднім інтегруванням. Приклад 1. Обчислити Розв’язання. Приклад 2. Обчислити Очевидно, що в цьому випадку слід спочатку спростити Розв’язання. підінтегральний вираз, а потім здійснити інтегрування
Скачать презентацию ТЕМА ЛЕКЦІЇ ПЕРВІСНА НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ БЕЗПОСЕРЕДНЕ ІНТЕГРУВАННЯ ПЛАН
Lektsiya_Neopredelenniy_integral.ppt