ТЕМА. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ТЕМА. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1. Первообразная функция. 2. Понятие неопределенного интеграла и его свойства. 3. Таблица основных интегралов.

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной или дифференциала заданной функции. Обратная задача: по заданной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой была бы равна функции f(x), т. е. F′(x) = f(x). Например, если известна скорость ʋ = ʋ(t) протекания химической реакции, показывающая количество вещества, реагирующего в единицу времени, то законом реакции будет функция m = m(t), такая, что m′(t) = ʋ(t).

Вопрос 1. Первообразная функция О. 1. 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если для всех х Х выполняется равенство F′(x) = f(x) Т. 1. 1. Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то для нее на этом промежутке существует первообразная.

Пример 1. Для функции f(x) = х2, х R, первообразной является функция , так как Очевидно, что первообразными будут так же любые функции вида , где С – постоянная, т. к.

Т. 1. 2. (о множестве всех первообразных) Пусть функция F(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке Х. Тогда на данном промежутке функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, и все эти первообразные имеют вид F(x) + С, где С – произвольная постоянная. Из теоремы 1. 2 следует, что если известна какая-нибудь первообразная F(x) для данной функции f(x), то все множество первообразных для f(x) исчерпывается функциями вида F(x) + С.

Вопрос 2. Понятие неопределенного интеграла и его свойства О. 2. 1. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных данной функции, т. е. множество функций вида F(x) + С. Обозначение: f(x)dx. По определению f(x)dx = F(x) + С (1)

В равенстве (1): F(x) - первообразная, C - произвольная постоянная, f(x) - подынтегральная функции, f(x)dx - подынтегральное выражение, - знак интеграла, х - переменная интегрирования. О. 2. 2. Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием, а раздел математики, изучающий интегрирование, называется интегральным исчислением.

Геометрический смысл неопределенного интеграла Геометрически неопределенный интеграл (1) представляет собой семейство «параллельных» кривых y = F(x) + С (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства). График каждой кривой y = F(x) + С (первообразной) называется интегральной кривой.

Свойства неопределенного интеграла Свойство 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: Свойство 2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и постоянной: Свойство 4. Неопределенный интеграл от производной функции равен самой функции плюс произвольная постоянная:

Свойство 5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: Свойство 6. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: где k≠ 0 – const.

Свойство 7. Если f(x)dx = F(x) + С, то справедливы формулы:

Вопрос 3. Таблица основных интегралов 1 5 2 6 3 7 4 8

9 14 10 15 11 16 12 17 13 18

Кроме того, полезно использовать формулы: и Интегралы, содержащиеся в данной таблице, называются табличными. Замечание Переменную u, входящую в формулы таблицы, можно заменить любой другой переменной или выражением.

Пример 2.