ТЕМА ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Основные

ТЕМА: «ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ»

Основные понятия Параметрическое программирование представляет собой один из разделов математического программирования, изучающий задачи, в которых целевая функция или ограничения зависят от одного или нескольких параметров.

Необходимость рассмотрения подобных задач обусловлена различными причинами. Одной из основных является та, что исходные данные для численного решения любой реальной задачи оптимизации в большинстве случаев определяются приближенно или могут изменяться под влиянием каких-то факторов, что может существенно сказаться на оптимальности выбираемой программы (плана) действий. Соответственно, разумно указывать не конкретные данные, а диапазон возможного изменения данных, чтобы в результате решения иметь наилучшие планы для любого варианта исходных данных.

С математической точки зрения параметрическое программирование выступает как одно из средств анализа чувствительности решения к вариации исходных данных, оценки устойчивости решения.

Пример Разбить отрезок t [0; 8] на такие интервалы, в которых целевая функция Zt =4 * x 1 + (2+t) * x 2 достигает максимума в одной и той же вершине многогранника решений, и найти соответствующее значение переменных: 2 x 1 – 5 x 2 10; x 1 + x 2 5; - x 1 – x 2 4; 4 x 1 + 5 x 2 40; x 1 0; x 2 0.

РЕШЕНИЕ

приравняем Zt к нулю и находим уравнение разрешающей прямой при любом t: x 2 = - 4/(2+t) *x 1. Выпишем угловой коэффициент Kz этой прямой и исследуем его поведение при изменении параметра t: Kz = -4/(2+t) при t=0; Kz = -2. Найдем производную углового коэффициента по параметру t: (Kz)’ = -4(2+t)2.

Так как производная при любом t положительна, угловой коэффициент при увеличении t возрастает. Найдем предел его возрастания lim Kz = lim (-4/(2+t))=-0. t

При t + угловой коэффициент Kz приближается к нулю со стороны отрицательных значений, следовательно, разрешающая прямая поворачивается против часовой стрелки до предельного горизонтального положения. В процессе указанного анализа необходимо понять, что при вертикальном положении прямой угловой коэффициент как функция терпит разрыв. При вращении прямой против часовой стрелки от оси абсцисс до вертикального положения угловой коэффициент возрастает от 0 до + , при дальнейшем вращении прямой он возрастает от - до 0.

В рассматриваемом примере при изменении параметра t от нуля до некоторого значения максимальное значения целевой функции будет в вершине C, затем в некоторый фиксированный момент времени оптимум будет достигаться на отрезке BC, а затем он перейдет в точку B и останется в ней для всех значений t отрезка [0; 8]. Определим значение параметра t, при котором Z max будет соответствовать всем точкам отрезка BC. Поскольку в этот момент прямая BC и разрешающая прямая должны быть параллельны, приравниваем их угловые коэффициенты. Угловые коэффициенты прямой BC, KBC = -4/5, следовательно, -4/(2+t)=-4/5, откуда t = 3. Итак, при 0 t <3 оптимальное решение будет в вершине C (8, 3; 1, 3), при t=3 оно достигается на всем BC, а при 3< t 8 – в точке B(2, 2; 6, 2).