ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ТЕМА: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. 2. Основные сведения о дифференциальных уравнениях. 3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

Вопрос 1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Задача 1. Найти уравнение кривой, в каждой точке которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам точкой касания. Решение Пусть M(x, y) - произвольная точка данной кривой, y = kx + b - уравнение касательной к кривой в точке М. Тогда B(0, b) - точка пересечения касательной с осью Оу.

По условию, АМ = ВМ. Так как MK AO, то ОК = ВК = у. Отсюда OB = b = 2 OK = 2 y. Следовательно, уравнение касательной y = kx + b примет вид y = kx + 2 y Так как угловой коэффициент касательной k = tg = y , то получим уравнение вида

Решением полученного дифференциального уравнения являются функции вида где С – произвольная постоянная (т. е. гипербола).

Задача 2. Последовательно включены: источник тока, напряжение которого меняется по закону E = Vsin t; сопротивление R и емкость C. Найти силу тока в цепи при установившемся режиме (это такой режим, при котором сила тока постоянна или меняется периодически).

Решение Сила тока I = I(t) на любом участке цепи одна и та же (по закону о последовательном соединении). Падение напряжения на сопротивлении равно RI, а на емкости q/C, где q - заряд. Следовательно, Так как то, дифференцируя последнее равенство по переменной t, получим

где I = I(t) - сила тока в данный момент времени t. Полученное уравнение является линейным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами.

Вопрос 2. Основные сведения о дифференциальных уравнениях О. 2. 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции. О. 2. 2. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких переменных, то уравнением в частных производных.

В общем случае дифференциальное уравнение может быть записано в виде (1) где F – некоторая заданная функция; х – независимая переменная; у – искомая функция; - ее производные. О. 2. 3. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

О. 2. 4. Степенью дифференциального уравнения называется степень старшей производной, входящей в это уравнение. Пример 1. - дифференциальное уравнение 2 -го порядка 2 -ой степени. 2. - дифференциальное уравнение 4 -го порядка 1 -ой степени. 3. Уравнение (1) – уравнение n-го порядка.

О. 2. 5. Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Пример 2. Решением дифференциального уравнения y ‒ y = 0 является функция y = ex, так как y = ex и ex ‒ ex = 0. Легко видеть, что решением данного уравнения будет так же любая функция вида y = Cex, где С – некоторая постоянная.

О. 2. 6. Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения y = (x) дифференциального уравнения – его интегральной кривой.

Вопрос 3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия О. 3. 1. Уравнение вида F(x, y, y ) = 0, (2) где х – независимая переменная, у – искомая функция, y - ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (2) можно разрешить относительно y , то его записывают в виде y = f(x, y) (3) и называют дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Уравнение (3) устанавливает связь между координатами точки (х, у) и значением производной y - угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Т. о. , в каждой точке (х, у) определяется направление касательной к искомой интегральной кривой. Значит, ДУ(3) определяет совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Оху. В этом состоит геометрическая интерпретация ДУ первого порядка.

Дифференциальное уравнение (3) можно записать в дифференциальной форме P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (4) где P(x, y) и Q(x, y) - известные функции. Форма (4) удобна тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. О. 3. 2. Условие, что при x = x 0 функция у примет определенное значение y 0, т. е. y = y 0, называется начальным условием.

Начальное условие записывается в виде y(x 0) = y 0 или (5)

О. 3. 3. Общим решением дифференциального уравнения (3) называется функция y = (x, C), (6) содержащая одну произвольную постоянную С и удовлетворяющая условиям: 1. Эта функция является решением уравнения (3) при каждом фиксированном значении постоянной С. 2. Каково бы ни было начальное условие (5), можно найти такое значение постоянной C = C 0, что функция y = (x, C 0) (решение) удовлетворяет данному начальному условию.

О. 3. 4. Частным решением дифференциального уравнения (3) называется любая функция y = (x, C 0), (7) полученная из общего решения (6) при конкретном значении постоянной C = C 0. О. 3. 5. Если общее решение дифференциального уравнения (3) найдено в неявном виде, т. е. в виде уравнения (x, y, C) = 0, то такое решение называется общим интегралом дифференциального уравнения. Уравнение (x, y, C 0) = 0 в этом случае называется частным интегралом дифференциального уравнения.

С геометрической точки зрения, общее решение (6) дифференциального уравнения (3) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, а частное решение (7) – одну кривую из этого семейства, проходящую через заданную точку (x 0, y 0). О. 3. 6. Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения (3), удовлетворяющего заданному начальному условию (5), называется задачей Коши.

Т. 3. 1. (теорема существования и единственности решения задачи Коши) Если в уравнении (3) функция f(x, y) и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости Оху, содержащей точку M 0(x 0, y 0), то существует единственное решение y = (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (5). Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы существует единственная интегральная кривая дифференциального уравнения (3), проходящая через точку M 0(x 0, y 0) D.

О. 3. 7. Точки, в которых условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши нарушаются, называются особыми точками дифференциального уравнения. В этих точках функция f(x, y) терпит разрыв, или ее производная терпит разрыв. Через особые точки проходит или несколько интегральных кривых, или ни одной кривой.

О. 3. 8. Решение дифференциального уравнения, состоящее из одних особых точек, называется особым решением дифференциального уравнения. Особые решения не могут быть получены из общего решения (6) ни при каких значениях постоянной С.