ТЕМА ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗМЕРЕНИЙ ПЛАН 1 Меры центральной

ТЕМА: ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗМЕРЕНИЙ ПЛАН 1. Меры центральной тенденции 2. Меры изменчивости

Меры центральной тенденции это числовые характеристики совокупности переменных (признаков), указывающие на наиболее типичный, репрезентативный для изучаемой выборки результат. Среднее арифметическое Средняя геометрическая Средняя гармоническая Мода Медиана

Среднее арифметическое – это числовое значение, полученное при суммировании всех исходных значений (вариант) и как бы равномерное распределение общего количества измеренного показателя между вариантами (X 1+ X 2 + X 3 + X 4 + ……. + Xn) X N Средняя геометрическая – это центральное или медианное значение в такой выборке, в которой варианты представляют собой геометрическую прогрессию (всякая последующая варианта равна предшествующей, умноженной на некий коэффициент прироста). Вычисляется как корень степени N из произведений всех вариант. N fi G= Пxi Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической, вычисленной по обратному параметру 1/ xi. N H = 1 fi xi

Мода (Mₒ) числовое значение, которое в выборке встречается наиболее часто. Мода указывает наиболее типичное значение статистического признака и представляет интерес в распределении асимметричном, где вокруг значения моды концентрируются наибольшие частоты выборки. Правила нахождения моды Если в выборке все значения встречаются одинаково часто, то этот выборочный ряд не имеет моды. Когда два соседних (смежных) значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот других значений, то мода вычисляется как среднее арифметическое. Если два несмежных (не соседних) значения в выборке имеют равные частоты, которые больше частот любого другого значения, то выделяют две моды. Если мода оценивается по множеству сгруппированных данных, то для нахождения моды необходимо определить группу с наибольшей частотой признака. Эта группа называется модальной группой мультимодального распределения

Медиана (Md) ─ это значение, которое делит упорядоченное множество данных пополам. Это точка на измерительной шкале, выше которой находится точно половина наблюдений и ниже которой - точно половина наблюдений. Медиана это своеобразная золотая середина, справа и слева от которой остальные варианты располагаются поровну, при этом абсолютная величина каждой варианты как бы не принимается во внимание Медиана используется, как заменитель средней арифметической. Кроме этого медиана менее подвержена влияниям случайных колебаний вариант и выгодна в случае неточностей концов распределений. Медиана как параметр средней величины находит достаточно широкое распространение для скошенных распределений, например в психофизиологии, в психофизике при определении порогов чувствительности. Медиана совпадает со средним арифметическим в случае нормального распределения.

Правила использования и интерпретации мер центральной тенденции При определении средних величин соблюдать требования однородности переменных, репрезентативности и достаточности объема выборки. Расчету средних величин должна предшествовать предварительная разбивка изучаемой совокупности на качественно однородные группы Являясь обобщенной характеристикой ряда, меры центральной тенденции не позволяют учитывать его вариации, поэтому обязательное использование мер изменчивости. Медиана не зависит от величин и частот встречаемости признаков в рамках определенного множества переменных. В малых совокупностях мода не стабильна и может сильно изменяться при единичных и незначительных вариациях переменных. Каждое значение переменных влияет на величину сред них. Если какое-нибудь значение меняется на С единиц, среднее арифметическое изменяется в том же направлении на С: п единиц. Это свойство важно с точки зрения возникновения ошибок средних из-за выделяющихся значений переменных. В унимодальных, симметричных выборках среднее, мода, медиана совпадают.

Средняя арифметическая Средняя геометрическая мода Меры центральной тенденции Средняя гармоническая медиана

Меры изменчивости – статистические показатели вариации (разброса) признака (переменной) относительно среднего значения, степени индивидуальных отклонений от центральной тенденции распределений. Меры изменчивости позволяю судить о достоверности и однородности полученной эмпирически совокупности данных, существенности сходств и различий распределении и сравниваемых группах распределений, точности проведенных измерений. Меры изменчивости результатов, характеризуют степень рассеивания отдельных величин вокруг средней арифметической это: вариационный разах, среднее линейное (абсолютное) отклонение, среднее квартильное отклонение, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, линейным коэффициентам вариации, коэффициентом асцилляции, коэффициент асимметрии, эксцесс Е

Вариационный размах R – это разность между самым высоким и самым низким результатом. Среднее линейное (абсолютное) отклонение (d) учитывает разность между каждым индивидуальным результатом и средним значением по группе, но не учитывает знак отклонения. xᵢ X fᵢ d = N Среднее квартильное отклонение это мера разброса в распределениях, которые имеют параметром средней величины медиану Qв Q н Q = 2 Q в верхний квартиль это медиана половины выборки со значениями больше медианы. Q н нижний квартиль это медиана второй половины выборки.

Среднее квадратичное отклонение ( ) или стандартное отклонение (S) является классической мерой разброса симметричного распределения fᵢ (xᵢ - M)² = N– 1 Величина в квадрате называется дисперсией (флуктуацией, девиантой), чем больше дисперсия, тем больше разброс данных. Коэффициент вариации V это выраженное в процентах отношение стандартного отклонения к среднему арифметическому значению. Эта мера дает возможность сравнить в абсолютных единицах вариативность выборок независимо от их среднего значения: V = 100% M

Отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической, выраженной в процентах, называется линейным коэффициентам вариации d Vd = 100% M Отношение размаха вариации (R) к средней арифметической, выраженной в процентах, называется коэффициентом асцилляции R VR = 100% M

Коэффициент асимметрии А – это численная мера скошенности статистических распределений. fᵢ(xᵢ - M)³ А= N ³ Эксцесс Е – это количественная мера «горбатости» (крутости, остро- или туповершинности) симметричного распределения. fᵢ (xᵢ - M) 4 Е= - 3 N 4

эксцесс коэффициент вариации размах Коэффициент асимметрии среднее линейное отклонение линейный коэффициент вариации Меры изменчивости коэффициент асцилляции дисперсия стандартное отклонение