Тема Центр тяжести Геометрические характеристики плоских сечений

Тема: «Центр тяжести. Геометрические характеристики плоских сечений»

План 1. Центр параллельных сил и его координаты. 2. Центр тяжести площадей. Статистические моменты площадей. 3. Решение задач на определение координат центра тяжести плоской составной фигуры. 4. Полярные и осевые моменты инерции. 5. Осевые моменты инерции относительно параллельных осей. 6. Определение моментов инерции составных сечений с помощью таблиц нормального сортамента.

1. Центр параллельных сил и его координаты А С а В а а F 2 F 1 FΣ рис. 1

Пусть задана система параллельных сил F 1, F 2 , F 3, . . . , Fn; координаты точек C 1 , С 2, С 3, . . . , Сп приложения этих сил известны (рис. 42, б). Обозначим точку приложения равнодействующей буквой С, ее координаты обозначим xс , yс. FΣ = F 1 + F 2 + F 3+…. + Fn= ΣFі. (1) FΣ хс = F 1 x 1 + F 2 x 2 + F 3 x 3 +… + Fnxn = Σ Fіxі , хc = F 1 x 1 + F 2 x 2 + F 3 x 3 +… + Fnxn / FΣ = Σ Fіxі / FΣ FΣ =F 1+ F 2+ F 3+…+ Fn = Σ Fіхc = =F 1 x 1 + F 2 x 2 + F 3 x 3 +… + Fnxn / F 1+ F 2+ F 3+…+ Fn = Σ Fіxі / Fі (2) ус = F 1 у1 + F 2 у2 + F 3 у3 +… + Fnуn / F 1+ F 2+ F 3+…+ Fn = Σ Fіуі / Fі (3)

Положение (координаты) центра пространственной системы параллельных сил определяют по формулам: хc = Σ Fіxі / FΣ уc = Σ Fіуі / FΣ zc = Σ Fіzі / FΣ (4) Часто бывает, что тело нельзя разбить на конечное число отдельных частей, центры тяжести которых легко определяются. Тогда переходят от конечных сумм к интегрированию, и формулы для определения координат центра тяжести принимают вид: хc = ƪd. F*x / d. F yc = ƪd. F*y / d. F zc = ƪd. F*z / d. F V V V

2. Центр тяжести площадей. Статистические моменты площадей. Для плоских тел интегрирование производят по их площади и соответственно центр тяжести определяется только двумя координатами: х c = ƪd. F * x / d. F y c = ƪd. F * y / d. F (6) А

Так, статический момент площади d. A относительно оси х d. Sx = d. A*у, а относительно оси у d. Sy = d. A*x. Сумма статических моментов всех частей фигуры называется статическим моментом площади фигуры относительно данной оси: Sх = ƪd. Sx= ƪd. A*у; Sу = ƪd. Sу= ƪd. A*х; (9) А А А Статический момент площади выражается единицами длины в третьей степени (см 3, м 3). Координаты центра тяжести плоской фигуры можно выразить через статические моменты площадей: xc = Sy/A; ус = Sx/A.

Центр тяжести треугольника лежит на пересечении медиан (рис. 1, б). Положение центра тяжести кругового сектора определяют по формуле (рис. 1, в) yc=4/3 r (sin a/2)/a (11) где а — центральный угол сектора, рад. Положение центра тяжести сегмента круга определяют по формуле (рис. 1, г) yc=4 r (sin 3 a/2)/3(a sin a) (12)

4. Полярные и осевые моменты инерции dв Р d. A О d. A Р О х dн d. A х d. A у О

Полярный момент инерции круга определяется по следующей формуле Jp = 3, 14 d 4/32 или приближенно Jp = 0, ld 4. (14) Полярный момент инерции кольца равен разности полярных моментов инерции двух кругов диаметрами d. H и d. B : Jp = (3, 14 d 4 н/32) (l a 4), где a = dв/dн. (15) Приближенно для кольца Jp = 0, 1 d 4 н (1 — a 4). (16)

Осевым моментом инерции сечения называется взятая по всему сечению сумма произведений или интеграл элементарных площадок на квадраты их расстояний до некоторой оси, лежащей в пло скости рассматриваемого сечения. Так, относительно осей х и у (рис. ) осевые моменты инерции определяются следующими выражениями: Jх= ƪ d. Aу2 Jу= ƪ d. Aх2. (17 А А

Для прямоугольного сечения осевой момент инер ции определяется по формуле: J х = bh 3/12 (18) Осевой мо мент инерции круглого сечения относительно центральной оси х и у: ƪ d. Ay 2 = Jх ƪ d. Aх2= Jy (19) А Для круга моменты инерции относительно любых осей, проходящих через его центр, равны между собой, т. е. Jx = Jу =0, 05 d 4 (20) Аналогично для кольцевого сечения: Jx = Jу =0, 05 d 4 (1 -а 4) , где а= dв/dн (21)

5. Осевые моменты инерции относительно параллельных осей.

Обозначим у расстояние элементарной площадки d. A от оси х, а у0 — расстояние от параллельной ей центральной оси х0; рас стояние между осями обозначим а; очевидно, что у = у0 + а (рис. ). Момент инерции рассматриваемого сечения относитель ной оси х: Jx = ƪd. Ay 2 = Jxо + Аа 2 (22) А

6. Определение моментов инерции составных сечений с помощью таблиц нормального сортамента Многие конструктивные элементы часто изготовляют из стандартного проката — уголков, двутавров, швеллеров и др. Все размеры, а также значения моментов инерции площадей и некоторых других геометрических характеристик прокатных профилей приведены в таблицах нормального сортамента (ГОСТ 8239— 72, ГОСТ 8240— 72).

осевой момент инерции: J=і 2 А (23) где J — осевой момент инерции; А — площадь сечения.