Тема Алгебра событий План 1 Сумма и

Тема. Алгебра событий План: 1. Сумма и произведение событий. 2. Теоремы сложения вероятностей. 3. Теоремы умножения вероятностей. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 1

1. Сумма и произведение событий Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 4

Если А и В совместные события, то их сумма A+В обозначает наступление события А или события В или обоих событий вместе. Если А и В несовместные события, то их сумма A+В обозначает наступление или события А или события В. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 5

Пример. Победитель соревнования награждается призом (событие А), денежной премией (событие В). Что представляют собой события A+B? Решение. Событие А+В состоит в награждении победителя или призом или денежной премией, или тем и другим. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 6

Произведением событий называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 7

Пример. Событие, состоящее в одновременной продаже в аптеке двух препаратов, является произведением событий А и В, где А - продажа одного препарата, В - продажа другого препарата. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 8

Вероятность наступления события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается Апостерио рная вероя тность — условная вероятность случайного события при условии того, что известны апостериорные данные, т. е. полученные после опыта. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 9

Пример. В коробке содержится 3 белых и 3 желтых таблетки. Из коробки дважды вынимают наугад по одной таблетке, не возвращая их в коробку. Найти вероятность появления белых таблеток при втором испытании (событие В), если при первом испытании была извлечена желтая таблетка (событие А). лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 10

Решение. После первого испытания в коробке осталось 5 таблеток, из них 3 белых. Искомое условие вероятности: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 11

2. Теоремы сложения вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 12

Теорема сложения вероятностей совместных событий Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 14

Пример. Вероятность попадания в опухолевую клетку «мишень» первого радионуклида равна - 0, 7, а второго - 0, 8. Найти вероятность попадания в клетку – мишень, если бы одновременно использовались оба препарата. Решение. P(A+B)=0, 7+0, 8 -0, 56=0, 94. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 16

Сумма вероятностей дискретных событий, образующих полную группу, равна единице лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 17

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 18

3. Теоремы умножения вероятностей Теорема умножения вероятностей независимых событий Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 21

Пример. Найти вероятность того, что в семьях из двух детей оба ребенка – мальчики. Вероятность рождения мальчика 0, 515. Решение. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 22

Теорема умножения вероятностей зависимых событий Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 23

Пример. Известно, что в 3 случаях из 250 на свет появляются близнецы, причем, в одном случае – это истинные (монозиготные) близнецы. Какова вероятность, что у определенной беременной женщины родятся близнецы мальчик и девочка. Решение. A – рождение близнецов; В – рождение дизиготных близнецов. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 24

Вероятность иметь дизиготных близнецов равна: где Искомая вероятность: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 25

Тема. Основные формулы для вычисления вероятностей событий План: 1. Формула полной вероятности. 2. Формулы Байеса. 3. Формула Бернулли. 4. Формула Пуассона. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 26

1. Формула полной вероятности Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 27

лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 28

Пример. На склад поступили хирургические зажимы с трех станков. На первом станке изготовлено 40% зажимов от их общего количества, на втором – 35% и на третьем 25%, причем на первом станке было изготовлено 90% зажимов высшего сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Какова вероятность того, что взятый наугад зажим окажется высшего сорта? лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 29

Решение. Введем обозначения: А – выбранный наугад хирургический зажим оказался высшего сорта; B 1 - зажим изготовлен на первом станке; B 2 - зажим изготовлен на втором станке; B 3 - зажим изготовлен на третьем станке; лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 30

P(B 1)=0, 4; P(B 2)=0, 35; P(B 3)=0, 25; лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 31

2. Формулы Байеса Пусть событие А происходит одновременно с одним из n несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 32

Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности. Требуется найти вероятность события Bi если известно, что событие А произошло: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 33

Полученные формулы называют формулами Байеса, по имени английского священника и математика (1702 -1761 гг. ), который их вывел; опубликованы в 1764 г. Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 34

Пример. В первом ящике имеются 8 белых и 6 черных шаров, а во втором 10 - белых и 4 черных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар – черный. Найти вероятность того, что был выбран первый ящик. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 35

Решение. А – при проведении двух последовательных испытаний выбора ящика и выбора шара, был вынут черный шар; B 1 - был выбран первый ящик; B 2 - был выбран второй ящик. P(B 1)=0, 5 и P(B 2)=0, 5. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 36

Вероятность извлечения черного шара после того, как выбран первый ящик, составляет Вероятность извлечения черного шара после того, как выбран второй ящик, составляет лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 37

Вероятность того, что вынутый шар оказался черным: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 38

Искомая вероятность, того что черный шар был вынут из первого ящика составит: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 39

3. Формула Бернулли Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 40

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p (где 0<p<1) событие А наступит ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли: Где лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 41

Пример. Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет р=0, 8. Найти вероятность четырех попаданий при шести выстрелах. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 42

Решение. n=6; k=4; p=0, 8; q=0, 2. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 43

4. Формула Пуассона Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит m раз приближенно равна: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 44

Пример. Предприятие изготовило и отправило заказчику 100000 пробирок. Вероятность того, что пробирка может оказаться битой, равна 0, 0001. Найти вероятность того, что в отправленной партии будет три битых пробирки. лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 45

Решение. По условию, n=100000; p=0, 0001; m=3. Воспользуемся формулой Пуассона: лекция № 2 Постникова Ольга Алексеевна 46