Тема 7 Симплекс-метод 1 Ідея симплекс-методу 2 Алгоритм

Тема 7 Симплекс-метод 1. Ідея симплекс-методу 2. Алгоритм знаходження початкового опорного плану 3. Алгоритм знаходження оптимального плану 4. Приклади знаходження опорного та оптимального плану симплекс-методом

Розглянемо задачу лінійного програмування (7. 1) (7. 2) (7. 3)

Екстремальна вершина Опорна вершина

Алгоритм знаходження початкового опорного плану Складаємо початкову жорданову таблицю

Знаходимо найменше симплексне відношення:

Алгоритм знаходження оптимального плану Нехай маємо опорний план

Приклад 7. 1. Знайти будь-який опорний розв'язок системи: Складаємо початкову жорданову таблицю Для елементів другого стовпчика складаємо симплексні відношення Розв'язуючий елемент (1, 2) = 2

З ним робимо один крок модифікованих жорданових перетворень і отримуємо таблицю Розв'язуючими стовпцями можуть бути перший або другий. Симплексні відношення для другого стовпчика Розв'язуючим елементом буде (2, 2) = 1

Робимо новий крок МЖП і отримуємо таблицю Приймаємо перший стовпчик за розв'язуючий і шукаємо в ньому розв'язуючий елемент за найменшим симплексним відношенням

Отже, елемент (3, 1) = -5. 5 ‑ розв'язуючий, з ним і робимо новий крок МЖП і отримаємо таблицю В отриманій таблиці вільні члени невід'ємні і опорним є план Опорний план надає наступні значення шуканим величинам:

Приклад 7. 2 Знайти максимум функціоналу: при виконанні обмежень: та умовах невід’ємності

Приведемо систему обмежень до виду: Складемо початкову симплекс-таблицю Знаходимо симплексні відношення

Візьмемо розв’язуючий елемент із стрічки з від’ємним вільним членом (тобто – 1), щоб на слідуючому етапі отримати там додатнє число. Зробивши один крок МЖВ, отримаємо таблицю В першій стрічці отримали вільний член, рівний нулю, тобто маємо виродження. Якщо б у попередній таблиці за розв’язуючий елемент взяти елемент з першої стрічки, то вільний член в третій стрічці став би рівний нулю, тобто знову мали б виродження. При неоднозначності вибору розв’язуючого елемента так буде завжди.

Приклад 7. 3 Знайти максимум функціоналу при обмеженнях та умовах невід’ємності

Приведемо систему нерівностей до виду Складемо початкову симплекс-таблицю Шукаємо симплексні відношення для другого стовпчика: За розв’язуючий візьмемо елемент (3, 2) = -1 та виконаємо один крок МЖВ.

В результаті отримаємо таблицю Шукаємо симплексні відношення для першого стовпчика: За розв’язуючий візьмемо елемент (2, 1) = 6 та виконаємо один крок МЖВ.

В результаті отримаємо таблицю Оптимальний план: Функціонал приймає найбільше значення